Antworte auf:  Isomorphismus von lokalen Ringen impliziert ein-elementige Faser von Kezer
Forum:  Algebraische Geometrie, moderiert von: Buri Gockel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet] [Themenstart einblenden]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 

Erledigt J


Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
 Show Preview      Write using fedgeo formula editor or Latex.

Smilies for your message:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1413
 Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-04 17:31    [Diesen Beitrag zitieren]
Das sieht gut aus, danke!

KarlRuprecht
Aktiv
Dabei seit: 01.03.2017
Mitteilungen: 194
 Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-01 23:23    [Diesen Beitrag zitieren]
Hi, hatte vor ein Paar Jahren dieselbe Denkblockade an dieser Stelle. Das lässt sich mit dem Bewertungskriterium für eigentliche Morphismen 3.3.26 auf S 117 lösen. Es besagt, dass die kanonische Abbildung $X(O_K) \to X(K)$, für jeden Bewertungsring $O_K$ mit Struktur eines $Y$-Schemas, eine Bijektion ist. Inb ist jeder Lift von $X(K)$ zu $X(O_K)$ eindeutig! Nun wähle $O_K= O_{X,y} \cong O_{X,x}$. Dann $Frac(O_K)= K(X)=K(Y)$ und der Lift von natürlichem $Spec(K(X)) \to X$ zu $Spec(O_K) \to X$ ist eindeutig. Punkt $y$ kann als das eindeutige max Ideal von $O_K$ gedeutet werden, dessen Bild unter obigen Abb gerade $x$ ist. Wegen Eindeutigekeit kann es kein $x' \neq x$ in $X_y$ geben, da wir dann zwei verschiedene Lifts zu $Spec(K(X)) \to X$ hätten, denn $O_{X,x'} \cong O_{X,y} \cong O_{X,x}$, Widerspruch zur Eindeutigkeit.

Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 768
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-29 11:53    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\) \quoteon(2021-06-24 17:34 - Kezer in Beitrag No. 1) Ich müsste es noch ganz genau nachprüfen, aber ich denke da $Y$ lokal Noethersch ist und auch $X$ lokal Noethersch ist (da $f$ vom endlichen Typ ist), kann man aus dem Isomorphismus $\OO_{Y,y} \xrightarrow{\ \sim \ } \OO_{X,x}$ einen Isomorphismus von offenen Umgebungen um $x,y$ schließen. \quoteoff Ja, das ist ein "spreading out" Argument. Die genaue Aussage findest du in Lius Exercise 3.2.4. Vgl. auch QPoints, Thm.3.2.1. ist nicht zielführend.\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1413
 Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-24 17:34    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Ich müsste es noch ganz genau nachprüfen, aber ich denke da $Y$ lokal Noethersch ist und auch $X$ lokal Noethersch ist (da $f$ vom endlichen Typ ist), kann man aus dem Isomorphismus $\OO_{Y,y} \xrightarrow{\ \sim \ } \OO_{X,x}$ einen Isomorphismus von offenen Umgebungen um $x,y$ schließen. Damit folgt zumindest schon mal, dass $x$ isoliert in der Faser $f^{-1}(y)$ ist. Das ist immerhin genau das, was man in dem Beweis benötigt.\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1413
 Themenstart: 2021-06-22 11:00    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Hi, es folgt ein Beweisschritt in Lius Buch zur algebraischen Geometrie, S.151. (Es ist im Kapitel zu Zariskis Hauptsatz.) Ich gebe alle Voraussetzungen an, die gegeben sind, sicher braucht man nicht alle für den Schritt, den ich hier zitiere. Sei $f:X \to Y$ ein eigentlicher, birationaler Morphismus zwischen integralen Schemata $X,Y$ mit $Y$ normal und lokal Noethersch. Wenn für $y \in Y$ gilt $\dim{\mathcal{O}_{Y,y}} = 1$ und $\OO_{Y,y} \xrightarrow{\ \sim \ } \OO_{X,x}$, dann gilt $f^{-1}(\{y \}) = \{x \}$. Wie folgt das? Liu verweist auf den Reduced-to-Separated Satz, also dass Morphismen von reduzierten Schemata nach separierten Schemata bereits durch dichte offene Räume bestimmt sind. Aber ich sehe nicht, wo hier der Zusammenhang ist. [Vermutlich braucht man nur wenige der Bedingungen. Alle Voraussetzungen sind zunächst dafür da, um den $\OO$-Zusammenhang (also $\OO_Y \xrightarrow{\ \sim \ } f_* \OO_X$) zu zeigen und anschließend ein Resultat bzgl. des $\OO$-Zusammenhangs zu verwenden.]\(\endgroup\)

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]