Antworte auf:  Bijektivität einer mehrdimensionalen Funktion zeigen von oli_1993
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2145
 Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-24 00:09    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Man kann es auch so sagen: Im Kindergarten lernt man ja, dass Funktionen $f\colon A \to B$ spezielle Relationen "sind", also Teilmengen $f \subseteq A \times B$. Nämlich solche mit den Eigenschaften 1. "Funktionalität": $\forall x \in A.\, \forall y, y' \in B.\, (x,y) \in f \land (x,y') \implies y = y'$, 2. "Totalität": $\forall x \in A.\, \exists y\in B.\, (x,y) \in f$. Nun kann man jede Relation $R \subseteq A \times B$ einfach umdrehen: $R^\text{op} \subseteq B \times A; (y,x) \in R^\text{op} :\Leftrightarrow (x,y) \in R$. Und daraus folgt: eine Funktion $f\colon A \to B$ ist bijektiv, gdw. $f^\text{op}$ eine Funktion ist.\(\endgroup\)

oli_1993
Neu
Dabei seit: 23.06.2021
Mitteilungen: 4
 Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-23 19:52    [Diesen Beitrag zitieren]
Super, danke vielmals für die schnelle Hilfe

StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7077
Wohnort: Milchstraße

 Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-23 19:42    [Diesen Beitrag zitieren]
\quoteon(2021-06-23 19:14 - oli_1993 in Beitrag No. 4) 1) Also ist \(f\) gleichzeitig auch seine eigene Umkehrfunktion? So drückt man das bestimmt nicht mathematisch aus, aber stimmt das so inhaltlich? 2) Und da die Umkehrfunktion immer auch bijektiv ist, folgt somit dann auch direkt die Bijektivität von \(f\) oder? \quoteoff 1) Doch, das kann man durchaus so sagen. 2) Ich würde es so sagen: Da die Umkehrfunktion existiert, ist die Funktion bijektiv. Sicherlich kann man auch irgendwie aus deinen beiden Gleichungen im Themenstart herleiten, dass \(x_1=x_2\) und \(y_1=y_2\) ist. Aber dabei habe ich mich auch verfranzt 🙃

oli_1993
Neu
Dabei seit: 23.06.2021
Mitteilungen: 4
 Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-23 19:14    [Diesen Beitrag zitieren]
Jup danke, das merke ich mir. So und wenn ich mich nicht verrechnet habe, müsste folgendes gelten: \(f(f(x,y))=(x,y)\) Also ist \(f\) gleichzeitig auch seine eigene Umkehrfunktion? So drückt man das bestimmt nicht mathematisch aus, aber stimmt das so inhaltlich? Und da die Umkehrfunktion immer auch bijektiv ist, folgt somit dann auch direkt die Bijektivität von \(f\) oder?

StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7077
Wohnort: Milchstraße

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-23 19:00    [Diesen Beitrag zitieren]
\quoteon(2021-06-23 17:35 - oli_1993 in Beitrag No. 2) Oh das hatte ich vergessen hinzuschreiben. Von \(\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\rightarrow f(\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\})\). Ich hoffe, das ist so verständlich. \quoteoff Schreibe es besser so: \(f:\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\) Tipp: Rechne mal f(f(x,y)) aus.

oli_1993
Neu
Dabei seit: 23.06.2021
Mitteilungen: 4
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-23 17:35    [Diesen Beitrag zitieren]
Oh das hatte ich vergessen hinzuschreiben. Von \(\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\rightarrow f(\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\})\). Ich hoffe, das ist so verständlich.

StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7077
Wohnort: Milchstraße

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-23 17:07    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo oli_1993 und willkommen auf dem Matheplaneten! Von wo nach wo soll die Funktion denn abbilden? f(0,0) ist ja bspw. gar nicht definiert.

oli_1993
Neu
Dabei seit: 23.06.2021
Mitteilungen: 4
 Themenstart: 2021-06-23 16:57    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo, ich versuche mich gerade daran die Bijektivität der Funktion: f(x,y)=(x/(x^2+y^2), y/(x^2+y^2) zu zeigen. Ich habe mit der Injektivität begonnen und kam folglich auf: x_1/((x_1)^2+(y_1)^2)=x_2/((x_2)^2+(y_2)^2) und y_1/((x_1)^2+(y_1)^2)=y_2/((x_2)^2+(y_2)^2) Irgendwie komme ich von hier gerade nicht weiter. Was wären jetzt die nächsten Schritte? Mit freundlichen Grüßen Oli

 
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