The Axiom of Choice

Jech, Thomas

Dieses Buch ist eine Art Bestandsaufnahme des axiom of choice, dem Auswahlaxiom, im Jahre 1973. Dabei sind keine Vorkenntnisse über das Auswahlaxiom erforderlich, schließlich wird es gleich im 1. Kapitel vorgestellt, und unangenehme Folgerungen werden dargestellt. Den praktischen Anwendungen werden dagegen zu Recht gleich zwei Kapitel gewidmet. Dabei zeigt das 2. Kapitel, wie angenehm die Anwesenheit des Auswahlaxioms ist, und das 10., wie unangenehm dessen Abwesenheit ist und dass gewisse Folgerungen, die im 2. Kapitel gemacht wurden, auch umkehrbar sind.Die Unabhängigkeit und Konsistenz des Auswahlaxioms werden im 3. und 5. Kapitel ausgeführt. Im 4. Kapitel werden die Permutationsmodelle eingeführt, die im Folgenden immer wieder verwendet werden, um die relative Schwäche bzw. Stärke von bestimmten Aussagen nachzuweisen. Das 6. Kapitel hat Jech u.a. dem Embedding Theorem gewidmet. Dieses Monstrum wird immer wieder in den historischen Anmerkungen besprochen, er ist wohl mit aller Berechtigung stolz auf seine eigene Errungenschaften, die für die Beziehungen zwischen Permutationsmodellen von ZFA und den symmetrischen Modellen von ZF eine sehr wichtige Rolle spielen.Das 7. Kapitel beschäftigt sich mit mit dem Primideal- und Wohlordnungssatz sowie dem Auswahlaxiom für endliche Zielmengen, das 8. u.a. mit dem countable Axiom of Choice (abzählbares Auswahlaxiom) und dem Principle of Dependent Choices. Im 9. Kapitel werden u.a. das Axiom of multiple Choice und der Unterschied zwischen Permutationsmodellen von ZFA und den symmetrischen Modellen von ZF untersucht. Das 11. Kapitel geht auf die Theorie der Kardinalzahlen ohne Auswahlaxiom ein. Schließlich behandelt das 12. Kapitel Aussagen, die dem Auswahlaxiom widersprechen, besonders das Axiom of Determinateness. Das alles inklusive Zusammenfassungen und Ausblicken am Anfang und vieler Übungsaufgaben, von denen die schweren mit Anleitungen versehen sind, und historischer Anmerkungen bezüglich des Inhaltes am Ende eines jeden Kapitels passt auf 200 Seiten. Das hat mindestens zwei Gründe: Zum einen stellt Jech die Beweisidee, nicht die Beweisausführung in den Vordergrund, ohne dabei an Präzision zu verlieren, zum anderen wird nicht immer beim Urschleim angefangen.Das hängt auch damit zusammen, dass nahezu alle Teilgebiete der Mathematik ((Boolesche/Lineare) Algebra, Analysis, Maßtheorie, Topologie) mit einbezogen werden, vor allem in den Übungsaufgaben, um die gewaltige Bedeutung des Auswahlaxioms darzustellen. Vorkenntnisse in diesen Gebieten sind daher nicht erforderlich, um dem roten Faden folgen zu können. Vielmehr nehmen die Mengenlehre und die Logik die wichtigste Rolle ein. Teilweise sind dafür Grundkenntnisse benötigt, manchmal werden diese auch wieder kurz aufgefrischt. Fazit: Eine tiefschürfende und äußerst ausführliche Abhandlung über die Stellung und Bedeutung des Auswahlaxioms und Derivaten in den Teilgebieten Mathematik. Man kann damit arbeiten, undzwar optimal entsprechend dem Schwierigkeitsgrad des Inhaltes. Damit kommt auch die maximale Wertung zu Stande.

Hinzugefügt am: 2004-12-21
Kritiker: Martin_Infinite
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