MP-Review: : (Matroids Matheplanet)

In diesem Buch geht es vor allem um Fragen der Körpertheorie. Galoissche Theorie, Auflösbarkeit von algebraischen Gleichungen, Transzendenzbasen von Körpern und der algebraische Abschluß eines Körpers, das sind seine Themen. Das, was über Gruppen gesagt wird, dient dazu, die galoissche Theorie mit Leben zu erfüllen. Unter anderem wird die Einfachheit der alternierenden Gruppe bewiesen, so daß man in den symmetrischen Gruppen nicht auflösbare Gruppen erhält, wenn nur ihr Grad mindestens fünf ist. Um die einschlägigen Sätze über Transzendenzbasen zu beweisen und um den algebraischen Abschluß eines Körpers zu konstruieren, bedarf es transfiniter Methoden, die zu Beginn bereitgestellt werden. Die Stichworte hier sind das Auswahlaxiom, das Zornsche Lemma, das Lemma von Teichmüller-Tukey und der Zermelosche Wohlordnungssatz sowie die transfinite Form des Heiratssatzes. Für alles braucht man die Polynomringe in einer und mehreren Unbestimmten, die mit aller Sorgfalt definiert werden. Auch die symmetrischen Polynome finden ihren Platz und ihre Anwendung. Schließlich findet der Leser am Ende jeden Abschnitts eine bewußte Auswahl lohnender Aufgaben, die den Text ergänzen und vertiefen. So schreibt Lüneburg auf der Rückseite seines Algebra-Werkes, was er auf seiner Homepage weiter vertieft, siehe hier. Die feine Unterteilung der Kapitel finde ich besonders gut, weil man so einen besseren Überblick behält:

1. Relationen und Abbildungen 2. Das Auswahlaxiom 3. Weiteres Werkzeug aus der Mengenlehre 4. Unabhängigkeitsstrukturen 5. Gruppen 6. Homomorphismen 7. Operatorgruppen 8. Die symmetrische Gruppe 9. Ringe 10. Die Sylowgruppen der symmetrischen Gruppe 11. Die Einfachheit der alternierenden Gruppen 12. Nilpotente Gruppen 13. Auflösbare Gruppen 14. Polynomringe 15. Symmetrische Polynome 16. Erweiterungskörper 17. Der Zerfällungskörper eines Polynoms

18. Galoisfelder 19. Separable und inseparable Erweiterungen 20. Der Satz vom primitiven Element 21. Die Galoisgruppe 22. Der Hauptsatz der Galoistheorie 23. Der Fundamentalsatz der Algebra 24. Gleichungen 2., 3. und 4. Grades 25. Die Kreisteilungspolynome 26. Endliche abelsche Gruppen 27. Noethersche Gleichungen 28. Kummersche Erweiterungen 29. Der Translationssatz 30. Auflösbarkeit durch Radikale 31. Irreduzible Gleichungen von Primzahlgrad 32. ggT-Bereiche 33. Transzendenzbasen 34. Der algebraische Abschluß eines Körpers

Das macht dann ziemlich genau 200 Seiten Algebra. Ich möchte noch einiges zum Stil dieses Buches loswerden, der wohl typisch für den Autor ist, den man aufgrund dessen, seiner Mails und anderer Texte als selbstherrlich und linientreu charakterisieren kann. Der Stil entspricht dem des später verfassten LA-Buches von Lüneburg, das ich hier rezensiert habe. Es ist schon richtig, daß die erwähnten Themen mit großer Sorgfalt behandelt werden. Jedoch wird wenig Wert auf die Veranschaulichung der Beweise gelegt. Die besten Formulierungen und Formel-Ungetüme nützen nichts, wenn nicht einmal ansatzweise darauf hingewiesen wird, was der Ansatz, die Grundidee, der Kern eines Beweises ist. Manchmal ist das wirklich unmöglich, aber beim Lesen merkt man immer wieder, daß man hier und da noch einige Bemerkungen zum besseren Verständnis des Inhaltes einstreuen hätte können. Entsprechend sind die Übungsaufgaben ziemlich anspruchsvoll. Dabei werden in den Beweisen selber schon viele Übungsaufgaben verteilt, da der Autor nicht jedes kleinste Details ausführen möchte, und das dann z.B. mit einer am Ende des Kapitels gegeben Übungsaufgabe aufräumt: "Kommen sie allen im Text verstreuten Aufforderungen "Dies sei dem Leser als Übungsaufgabe überlassen." nach." Die Frage, ob man dieses Buch als Anfänger lesen sollte, kann ich nicht ganz eindeutig beantworten: Einerseits wird wirklich beim Urschleim des Studiums angefangen, es werden alle erwähnten Begriffe eingeführt. Andererseits merkt man keinerlei Unterstützung des Autors für den Anfänger. Beispielzitate: " Langweilige, aber banale Rechnungen zeigen, daß ... " " Dies hat für K[x] die aus dem Anfängerunterricht bekannten Folgen, daß ... " " Soviel an Vorwarnungen an den Leser, daß ihn nun nicht mehr Alltägliches erwartet. " Vielmehr steht zwischen den Zeilen "Das kennen Sie ja schon alles, da muß ich nicht mehr zu sagen". In den Übungsaufgaben wird aber explizit klar, daß Grundkenntnisse in Linearer Algebra und Graphentheorie erwünscht sind. Graphentheorie ist jedoch nicht erforderlich, um dem roten Faden, der Algebra, folgen zu können. Hinzu kommt die bereits angesprochene fade Beweisstruktur. Ein weiteres Manko ist der zwar theoretisch wertvolle Verallgemeinerungsprozess, der in diesem Buch jedoch so weit gediehen ist, dass das Studium von konkreten algebraischen Strukturen viel zu kurz gekommen ist. Normalerweise wird dies vor allem mit Übungsaufgaben betrieben, diese sind hier jedoch wieder für allgemeine Aussagen gedacht. Was mich letztlich doch zur guten Bewertung geführt hat, ist die Ausführlichkeit, die auch von der angesprochenen Verallgemeinerung von bestimmten Eigenschaften herrüht. Da wirkt der Untertitel "Die grundlegenden Strukturen der Algebra" doch viel zu bescheiden. Lüneburg untersucht diese Strukturen sehr, sehr genau, und versteht es, sie mit anderen Teilgebieten der Mathematik, besonders der Linearen Algebra, der Graphentheorie und der Mengenlehre, in eine schöne Verbindung zu bringen. Auch werden immer wieder Ansatzpunkte für nicht im Buch behandelte Theorien gegeben, für die jeweils weiterführende Literatur angegeben ist.

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