MP-Review: : (Matroids Matheplanet)

Klappentext: "Dieses Lehrbuch ist der erste Band einer dreiteiligen Einführung in die Analysis. Es ist durch einen modernen und klaren Aufbau geprägt, der versucht, den Blick auf das Wesentliche zu richten. Anders als in den üblichen Lehrbüchern wird keine künstliche Trennung zwischen der Theorie einer Variablen und derjenigen mehrerer Veränderlichen vorgenommen. Es wird viel Gewicht auf die frühzeitige Entwicklung solider topologischer Grundlagen gelegt, und die komplexe Analysis wird in elementaren Teilen mitentwickelt. Der Leser soll in dem Erkennen der wesentlichen Inhalte und Ideen der Analysis geschult werden und sich ein solides Fundament für das Studium tieferliegender Theorien erwerben. Das Werk richtet sich an Hörer und Dozenten der Anfängervorlesungen der Analysis. Durch zahlreiche Beispiele, Übungsaufgaben und Ergänzungen zum üblichen Vorlesungsstoff ist der Text außerdem zum Selbststudium, als Vorlage für vertiefende Seminare und als Grundlage für das gesamte Mathematik- bzw. Physikstudium geeignet Kommentar: Das Buch hält, was es im Klappentext verspricht. Für ein Lehrbuch der Analysis ist es verhältnismäßig abstrakt gehalten, geizt aber keineswegs mit Beispielen, so dass eine gute Balance erzielt wird. Aber gerade der abstrakte, moderne Zugang gefällt mir sehr gut: man wird darin geschult, die wesentlichen Dinge zu erkennen und mit ihnen umzugehen. Eine wesentliche Angelegenheit der Analysis (zumindest was die Konvergenz und Stetigkeit angeht) ist die Topologie. So wird grundsätzlich alles in metrischen Räumen (bzw. in normierten Räumen bei der Differenzierbarkeit) entwickelt. Danach wird in der Regel in Beispielen auf spezielle Situationen wie IR oder IR^n eingegangen. In den üblichen Lehrbüchern ist die Entwicklung meistens umgekehrt, was ich persönlich unschön finde. Mit der allgemeinen Theorie gewappnet, geben die Autoren an manchen Stellen des letzten Kapitels, der in dem Satz von Stone-Weierstraß gipfelt, funktionalanalytische Einblicke (die sich im zweiten und dritten Band verstärken). Ein weiteres kleines Highlight ist für mich auch das erste Kapitel, wo die Analysis noch nicht beginnt, aber wichtige Grundbegriffe aus der Mengenlehre und der (linearen) Algebra behandelt werden - von diesen Begriffen wird in den späteren Kapiteln ausgiebig Gebrauch gemacht. Man könnte diesen Kapitel als den "Vorkurs" der Reihe bezeichnen. Für mich ist dieses Buch der Anfang der besten Analysis-Reihe überhaupt. So sollte jede Analysis-Ausbildung aussehen. Die Kapitel: I Grundlagen 1 Logische Grundbegriffe 2 Mengen 3 Abbildungen 4 Relationen und Verknüpfungen 5 Die natürlichen Zahlen 6 Abzählbarkeit 7 Gruppen und Homomorphismen 8 Ringe, Körper und Polynome 9 Die rationalen Zahlen 10 Die reellen Zahlen 11 Die komplexen Zahlen 12 Vektorräume, affine Räume und Algebren II Konvergenz 1 Konvergenz von Folgen 2 Das Rechnen mit Zahlenfolgen 3 Normierte Vektorräume 4 Monotone Folgen 5 Uneigentliche Konvergenz 6 Vollständigkeit 7 Reihen 8 Absolute Konvergenz 9 Potenzreihen III Stetige Funktionen 1 Stetigkeit 2 Topologische Grundbegriffe 3 Kompaktheit 4 Zusammenhang 6 Funktionen in IR 6 Die Exponentialfunktion und Verwandte IV Differentialrechnung in einer Variablen 1 Differenzierbarkeit 2 Mittelwertsätze und ihre Anwendungen 3 Taylorsche Formeln 4 Iterationsverfahren V Funktionenfolgen 1 Gleichmäßige Konvergenz 2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit bei Funktionenfolgen 3 Analytische Funktionen 4 Polynomiale Approximation Anhang Einführung in die Schlußlehre

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