Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes

Wußing, Hans

BuchcoverWarum nennt man eigentlich eine Menge G zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung o mit gewissen Eigenschaften eine Gruppe? Woher kommt dieser Begriff? "Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes" von Hans Wußing (1927 - 2011) aus dem Jahre 1969 beleuchtet sehr ausführlich die Entstehung des Gruppenkonzeptes, die sich über das gesamte 19. Jahrhundert erstreckt. Auf 258 Seiten arbeitet der Mathematikhistoriker zunächst das Aufkeimen des implizit gruppentheoretischen Denkens, dann die Verdichtung zu den Konzepten der Permutations- und Transformationsgruppen und schließlich die Abstraktion zum Begriff der Gruppe heraus. Im Mittelpunkt stehen die relevanten Arbeiten von Euler, Gauss, Plücker, Möbius, Vandermonde, Lagrange, Ruffini, Galois, Abel, Cauchy, Jordan, Serret, Cayley, Klein, Lie, Dyck, Kronecker und Weber. Neben der Quellenarbeit werden auch größere Zusammenhänge besprochen, zum Beispiel die drei historischen Wurzeln der Gruppentheorie (Zahlentheorie, Gleichungstheorie und Geometrie) und inwiefern der Gruppenbegriff als frühestes Beispiel einer abstrakten algebraischen Struktur als Schrittmacher für die sich im 20. Jahrhundert vollzogenen Herausbildung der modernen Algebra fungiert hat und welche parallelen Einflüsse aus anderen Gebieten wie z.B. der mathematischen Logik dafür notwendig waren. Wohlbemerkt handelt es sich hierbei nicht um ein populärwissenschaftliches Buch, das einem die Gruppentheorie näherbringen soll, sondern die viel zitierte Habilitationsschrift von Hans Wußing, die mittlerweile auch ins Englische übersetzt worden ist; vielleicht kann jemand etwas zu den Unterschieden sagen? Die Lektüre lohnt sich sicherlich nicht nur für Historiker, weil man damit die Ergebnisse einer modernen Einführung in die Algebra besser einordnen kann und vielleicht auch anders wertschätzt als vorher. Für mich war es teilweise wirklich eine Offenbarung. Man lernt auch einiges über die oben genannten Mathematiker, deren Zusammenarbeit untereinander und allgemein über die Mathematik des 19. Jahrhunderts. Erwähnenswert ist, dass Cayley bereits 1854 als erster eine abstrakte Gruppendefinition vorgeschlagen hat, welche aber so gut wie unbeachtet geblieben ist und erst 25 Jahre später einen Einfluss auf die sich dann rasche Entwicklung der Gruppentheorie geübt hat; siehe dazu auch Hans Wußings Artikel Arthur Cayley, die Gruppentafel und der abstrakte Gruppenbegriff. Inhaltsverzeichnis: • Kapitel I. Implizite gruppentheoretische Denkformen im Bereich der Geometrie und der Zahlentheorie §1. Divergenz der verschiedenen der Entwicklung der Geometrie während der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts innewohnenden Tendenzen. Die neue Auffassung vom Wesen der Geometrie §2. Das Streben nach Ordnungsprinzipien der Geometrie mittels des Studiums geometrischer Verwandtschaften §3. Implizite Gruppentheorie im Bereich der Zahlentheorie. Die Theorie der Formen und die erste Axiomatisierung des impliziten Gruppenbegriffes • Kapitel II. Herausbildung des Begriffes der Gruppe im Sinne von Permutationsgruppe §1. Die Entedeckung des Zusammenhanges zwischen der Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen und der Theorie der Permutationen §2. Die Durchbildung der Theorie der Permutationen §3. Die gruppentheoretische Formulierung des Auflösungsproblems algebraischer Gleichungen §4. Die Herausbildung des permutationstheoretischen Gruppenbegriffes §5. Der Übergang zur Theorie der Permutationsgruppen als einer selbständigen und weitgreifenden Forschungsrichtung • Kapitel III. Übergang zum Begriff der Transformationsgruppe und die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffes §1. Die Invariantentheorie als Mittel der Klassifizierung der Geometrie §2. Die gruppentheoretische Klassifizierung der Geometrie. Das Erlanger Programm von 1872. §3. Gruppen geometrischer Bewegungen. Die Klassifizierung der Transformationsgruppen $4. Die Herausbildung und Axiomatisierung des abstrakten Gruppenbegriffes • Schlussbetrachtung Ich hätte mir noch mehr Hinweise über die außermathematischen Anwendungen der Gruppentheorie zur Wende des 20. Jahrhunderts gewünscht und ein paar Bilder der Mathematiker; das hätte die Darstellung wohl etwas lebhafter gemacht. Außerdem wurde ich bei manchen Passagen über "veraltete" Mathematik wie z.B. der Invariantentheorie etwas abgehängt. Daher "nur" 8/10 Punkte. Übrigens, wem ein solches Buch zu ausführlich ist, der kann den hervorragenden Artikel The Evolution of Group Theory: A Brief Survey von Israel Kleiner zu Rate ziehen.

Hinzugefügt am: 2011-08-14
Kritiker: Martin_Infinite
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Weitere Kommentare:
Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes
Bewertung von Phi1 am 16.08.2011

Phi1 schreibt:

Ich müsste mich schwer irren, wenn das Buch nicht die Habilitationsschrift von Wussing ist.


(Dieser Kommentar wurde zu dieser Besprechung geschrieben)

Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes
Bewertung von Anonymous am 09.12.2015


(Dieser Kommentar wurde zu dieser Besprechung geschrieben)

Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes
Bewertung Keine Wertung von weird am 10.12.2015

weird schreibt:

@Phi

Ja, du irrst dich, denn es ist die Habilitationsschrift von Wußing. Falls du eh diesen gemeint und dich nur im Namen vertippt hast, dann bitte diesen Kommentar als gegenstandslos zu betrachten. :)


(Dieser Kommentar wurde zu dieser Besprechung geschrieben)

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Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes


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