MP-Review: : (Matroids Matheplanet)

Bei diesem dünnen (120 Seiten) Buch handelt es sich um Vorlesungsnotizen zur modularen Theorie, wie sie von Tomita im Jahr 1967 in zwei Papers entwickelt wurde. Dabei geht es um eine algebraische Relation zwischen einer von Neumann-Algebra und ihrer Kommutante in der GNS-Darstellung eines normalen Zustands auf der Algebra mittels des Begriffes der modularen Hilbert-Algebra. Takesaki arbeitete dies aus und schuf damit dieses Büchlein, welches bis heute (im Gegensatz zu den beiden Papers von Tomita) als Standardwerk zu diesem Thema verwendet wird. Aufgrund der Relevanz wird die Theorie heute auch "Tomita-Takesaki Modular Theory" genannt. Insbesondere ist das Werk nicht nur wegen des systematischen und gut strukturierten Aufbaus interessant, sondern auch wegen der Verbindung zu Anwendungen in der Physik. In erster Linie sei hier die KMS-Bedingung (Kubo-Martin-Schwinger) genannt, eine Erweiterung der Gibbs-Bedingung für Gleichgewichtszustände unendlich ausgedehnter Systeme (im thermodynamischen Limes) im Rahmen der quantenstatistischen Mechanik. Dies führte auch zu einem breiten Anwendungsgebiet in der algebraischen Quantenfeldtheorie. Inhalt: 1. Preliminaries 2. Modular Hilbert Algebras 3. Generalized Hilbert Algebras 4. The Commutation Theorem for Modular Hilbert Algebras 5. Self-Adjoint Subalgebras of Generalized Hilbert Algebras 6. The Spectral Algebra 7. The Modular Operator 8. The Resolvent of the Modular Operator 9. The One-Parameter Automorphisms defined by the Modular Operator 10. Formulation of the Modular Hilbert Algebra 11. Tensor product and Direct Sum of Modular Hilbert Algebras 12. The Standard Representation of von Neumann Algebras 13. The Modular Automorphism Group and the Kubo-Martin-Schwinger Boundary Condition 14. Semi-Finiteness and the Modular Automorphism Group 15. The Radon-Nikodym Theorem and the Modular Automorphism Group Das Buch ist klar aufgebaut und der Autor schreibt stets zu welchem Zweck nun jedes Konzept eingeführt wird. Zahlreiche Beispiele untermauern die aufgebaute Theorie. Der Leser sollte aber bereits ein fundiertes Wissen an Funktionalanalysis, Theorie der von Neumann-Algebren und Topologie besitzen, denn es wird Einiges vorausgesetzt. Leider ist die momentan verfügbare Ausgabe vom Springer-Verlag ein Facsimile der Originalausgabe und dementsprechend sind die mit Schreibmaschine getippten Gleichungen etwas schwer zu lesen und gewöhnungsbedürftig. Ich würde mich über eine geTeXte Neuauflage freuen. Außerdem ist das Büchlein eher wie ein Vorlesungsskript gestaltet; es gibt z.B. kein Stichwortverzeichnis zum Nachschlagen. FAZIT: Ein Standardwerk von einem der Begründer der modularen Theorie. Wegen des altmodischen Schriftsatzes und des fehlenden Stichwortverzeichnisses ziehe ich einen Punkt ab. Ansonsten ist das Buch für den interessierten Leser - sei es ein Mathematiker oder ein mathematischer Physiker - sehr zu empfehlen und bietet einen fundierten Einstieg in die mathematischen Grundlagen der modularen Theorie.

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