MP-Review: : (Matroids Matheplanet)

Beschreibung vom Verlag: Das Buch ist Teil einer Vorlesungsreihe, die sich über die ersten vier bis fünf Semester erstreckt. Es wendet sich in erster Linie an Studierende der Ingenieurwissenschaften, darüber hinaus aber allgemein an Studierende aller technischen und physikalischen Fachrichtungen sowie an Studierende der Angewandten Mathematik. Dabei ist der Einstieg gezielt elementar gehalten, um allen Lesern einen möglichst schnellen Zugang zur Mathematik und einen erfolgreichen Start ins Studium zu ermöglichen. Das Standardwerk der Ingenieur-Mathematik, mit neuem Abschnitt zur numerischen Integration Ein weiterer Zugang zu Folgen auf der Basis des bereits in der Schule genutzten Bisektionsverfahrens Ein praxisorientiertes Lehrbuch, fundiert und mit vielen Beispielen Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1.1 Die Zahlengerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Rechnen mit reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Ordnung der reellen Zahlen und ihre Vollständigkeit . . . .8 1.1.4 Mengenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.1.5 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.1.6 Potenzen, Wurzeln, Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . .21 1.1.7 Summenformeln: geometrische, binomische, polynomische 25 1.2 Elementare Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.1 Fragestellungen der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . .32 1.2.2 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.3 Permutationen mit Identifikationen . . . . . . . . . . . .33 1.2.4 Variationen ohne Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . 35 1.2.5 Variationen mit Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . .38 1.2.6 Kombinationen ohne Wiederholungen . . . . . . . . . . . . 39 1.2.7 Kombinationen mit Wiederholungen . . . . . . . . . . . . .40 1.2.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 1.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.2 Reelle Funktionen einer reellen Variablen . . . . . . . . 45 1.3.3 Tabellen, graphische Darstellungen, Monotonie . . . . . . 47 1.3.4 Umkehrfunktion, Verkettungen . . . . . . . . . . . . . . .52 1.3.5 Allgemeiner Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . 55 1.4 Unendliche Folgen reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .57 1.4.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . .57 1.4.2 Nullfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 1.4.3 Konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 1.4.4 Ermittlung von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . .63 1.4.5 Häufungspunkte, beschränkte Folgen . . . . . . . . . . . .67 1.4.6 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.4.7 Lösen von Gleichungen durch Iteration . . . . . . . . . . 72 1.5 Unendliche Reihen reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .75 1.5.1 Konvergenz unendlicher Reihen . . . . . . . . . . . . . . 75 1.5.2 Allgemeine Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . .80 1.5.3 Absolut konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . .83 1.5.4 Konvergenzkriterien für absolut konvergente Reihen . . . .86 1.6 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 1.6.1 Problemstellung: Lösen von Gleichungen . . . . . 90 1.6.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.6.3 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.6.4 Regeln für stetige Funktionen . . . . . . . . . . . 98 1.6.5 Maximum und Minimum stetiger Funktionen . . . 100 1.6.6 Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . 103 1.6.7 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . 106 1.6.8 Pole und Grenzwerte im Unendlichen . . . . . . . 110 1.6.9 Einseitige Grenzwerte, Unstetigkeiten . . . . . . . 113 2 Elementare Funktionen 117 2.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.1.2 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.1.3 Quadratische Polynome, Parabeln . . . . . . . . . . . . 123 2.1.4 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.1.5 Berechnung von Polynomwerten, Horner-Schema . . . . . . 130 2.1.6 Division von Polynomen, Anzahl der Nullstellen . . . . . 134 2.2 Rationale und algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . 137 2.2.1 Gebrochene rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . 137 2.2.2 Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2.2.3 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2.3 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.3.1 Bogenlänge am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . 149 2.3.2 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.3.3 Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2.3.4 Arcus-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 2.3.5 Anwendungen: Entfernungsbestimmung, Schwingungen . . . . 166 2.4 Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen . . . 171 2.4.1 Allgemeine Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . 171 2.4.2 Wachstumsvorgänge. Die Zahl e . . . . . . . . . . . . . 174 2.4.3 Die Exponentialfunktion exp(x) = ex und der natürliche Logarithmus . 177 2.4.4 Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . 182 2.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2.5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2.5.2 Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . 186 2.5.3 Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen . . 193 2.5.4 Polarkoordinaten, geometrische Deutung der komplexen Multiplikation, Zeigerdiagramm . 195 2.5.5 Fundamentalsatz der Algebra, Folgen und Reihen, stetige Funktionen im Komplexen . . . 198 3 Differentialrechnung einer reellen Variablen 201 3.1 Grundlagen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . 201 3.1.1 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 3.1.2 Differenzierbarkeit, Tangenten . . . . . . . . . . . . . 204 3.1.3 Differentiationsregeln für Summen, Produkte und Quotienten reeller Funktionen . . . 213 3.1.4 Kettenregel, Regel für Umkehrfunktionen, implizites Differenzieren . . . 216 3.1.5 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . 222 3.1.6 Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen . . . 225 3.1.7 Ableitungen der Exponential- und Logarithmus-Funktionen 228 3.1.8 Ableitungen der Hyperbel- und Area-Funktionen . . . . . 232 3.1.9 Zusammenstellung der wichtigsten Differentiationsregeln 232 3.2 Ausbau der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . 234 3.2.1 Die Regeln von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . 234 3.2.2 Die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 3.2.3 Beispiele zur Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . 242 3.2.4 Zusammenstellung der Taylorreihen elementarer Funktionen 248 3.2.5 Berechnung von π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 3.2.6 Konvexität, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung 252 3.2.7 Das Newtonsche Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 257 3.2.8 Bestimmung von Extremstellen . . . . . . . . . . . . . . 263 3.2.9 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 3.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 3.3.1 Bewegung von Massenpunkten . . . . . . . . . . . . . . . 275 3.3.2 Fehlerabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 3.3.3 Zur binomischen Reihe: physikalische Näherungsformeln . 280 3.3.4 Zur Exponentialfunktion: Wachsen und Abklingen . . . . . 281 3.3.5 Zum Newtonschen Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . 284 3.3.6 Extremalprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 4 Integralrechnung einer reellen Variablen 291 4.1 Grundlagen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . 292 4.1.1 Flächeninhalt und Integral . . . . . . . . . . . . . . . 292 4.1.2 Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen . . . 296 4.1.3 Graphisches Integrieren, Riemannsche Summen, numerische Integration mit der Tangentenformel . 298 4.1.4 Regeln für Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 4.1.5 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . 305 4.2 Berechnung von Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 4.2.1 Unbestimmte Integrale, Grundintegrale . . . . . . . . . 308 4.2.2 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 4.2.3 Produktintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 4.2.4 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . 325 4.2.5 Integration weiterer Funktionenklassen . . . . . . . . . 330 4.2.6 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 4.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 4.3.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 352 4.3.2 Rechenregeln und Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . 355 4.3.3 Integralkriterium für Reihen . . . . . . . . . . . . . . 362 4.3.4 Die Integralfunktionen Ei, Li, si, ci, das Fehlerintegral und die Gammafunktion 365 4.4 Anwendung: Wechselstromrechnung . . . . . . . . . . . . . . 369 4.4.1 Mittelwerte in der Wechselstromtechnik . . . . . . . . . 369 4.4.2 Komplexe Funktionen einer reellen Variablen . . . . . . 371 4.4.3 Komplexe Wechselstromrechnung . . . . . . . . . . . . . 375 4.4.4 Ortskurven bei Wechselstromschaltungen . . . . . . . . . 380 5 Folgen und Reihen von Funktionen 385 5.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen . . 385 5.1.1 Gleichmäßige und punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen . 385 5.1.2 Vertauschung von Grenzprozessen . . . . . . . . . . . . 389 5.1.3 Gleichmäßig konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . 392 5.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 5.2.1 Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 5.2.2 Addieren und Multiplizieren von Potenzreihen sowie Differenzieren und Integrieren .399 5.2.3 Identitätssatz, Abelscher Grenzwertsatz . . . . . . . . 400 5.3 Der Weierstraß’sche Approximationssatz . . . . . . . . . . . 403 5.3.1 Bemerkung zur Polynomapproximation . . . . . . . . . . . 403 5.3.2 Approximation von stetigen Funktionen durch Bernstein-Polynome . 404 5.4 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 5.4.1 Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 5.4.2 Splineinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 5.5 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 5.5.1 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 5.5.2 Trigonometrische Reihen, Fourier-Koeffizienten . . . . . 436 5.5.3 Beispiele für Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . 438 5.5.4 Konvergenz von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . 446 5.5.5 Komplexe Schreibweise von Fourierreihen . . . . . . . . 451 5.5.6 Anwendung: Gedämpfte erzwungene Schwingung . . . . . . . 454 6 Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler 459 6.1 Der n-dimensionale Raum Rn . . . . . . . . . . . . . . . 459 6.1.1 Spaltenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 6.1.2 Arithmetik im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 6.1.3 Folgen und Reihen von Vektoren . . . . . . . . . . . . 466 6.1.4 Topologische Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 6.1.5 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 6.2 Abbildungen im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 6.2.1 Abbildungen aus Rn in Rm . . . . . . . . . . . . . . . 475 6.2.2 Funktionen zweier reeller Variabler . . . . . . . . . . 476 6.2.3 Stetigkeit im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 6.3 Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen . . 484 6.3.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 6.3.2 Ableitungsmatrix, Differenzierbarkeit, Tangentialebene 488 6.3.3 Regeln für differenzierbare Abbildungen. Richtungsableitung 494 6.3.4 Das vollständige Differential . . . . . . . . . . . . . 498 6.3.5 Höhere partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . 502 6.3.6 Taylorformel und Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . 504 6.4 Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen . . . . . . 507 6.4.1 Newton-Verfahren im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 6.4.2 Satz über implizite Funktionen, Invertierungssatz . . . 512 6.4.3 Extremalprobleme ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . 517 6.4.4 Extremalprobleme mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . 520 7 Integralrechnung mehrerer reeller Variabler 527 7.1 Integration bei zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . 527 7.1.1 Anschauliche Einführung des Integrals zweier reeller Variabler . 527 7.1.2 Analytische Einführung des Integrals zweier reeller Variabler . 537 7.1.3 Grundlegende Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 7.1.4 Riemannsche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 7.1.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 7.1.6 Krummlinige Koordinaten, Transformationen, Funktionaldeterminanten .556 7.1.7 Transformationsformel für Bereichsintegrale . . . . . . 561 7.2 Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen . . . . . 567 7.2.1 Riemannsches Integral im Rn . . . . . . . . . . . . . . 567 7.2.2 Grundlegende Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 7.2.3 Krummlinige Koordinaten, Funktionaldeterminante, Transformationsformeln . 572 7.2.4 Rauminhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 7.2.5 Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 7.2.6 Anwendungen: Schwerpunkte, Trägheitsmomente . . . . . . 584 7.3 Parameterabhängige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 592 7.3.1 Stetigkeit und Integrierbarkeit parameterabhängiger Integrale . 592 7.3.2 Differentiation eines parameterabhängigen Integrals . . 593 7.3.3 Differentiation bei variablen Integrationsgrenzen . . . 594 Anhang 597 A Lösungen zu den Übungen 599 Symbole 605 Literaturverzeichnis 607 Stichwortverzeichnis 611 Meine Bewertung: Für Studierende der Ingenieurwissenschaften bietet dieser Band eine fundierte Einführung in die Analysis. Der Band I enthält die Differential- und Integralrechnung einer und mehrerer Veränderlicher. Die wesentlichen Sätze werden bewiesen. Bei einigen Beweisen wird, mit Zitat, auf die Literatur verwiesen. Meiner Meinung nach sind mathematische Strenge, Verständlichkeit und Anwendungen gut ausgewogen. Im Anhang sind u.a. Lösungen zu den Aufgaben enthalten.

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