Algebraic Topology

Hatcher, Allen

BuchcoverZu Hatchers Buch pflege ich eine ziemlich komplizierte Beziehung. Wir haben schon oft Schluss gemacht und doch haben wir immer wieder zueinander gefunden. Ich finde, dass Hatcher Buch verdienterweise das Standardwerk zur Einführung in die algebraischen Topologie ist und möchte euch in dieser Buchbesprechung davon überzeugen. Gleichzeitig ist es aber auch eines der ersten schwierigeren Werke in einem Mathematikerleben, also möchte ich auch einige Startschwierigkeiten diskutieren. Chapter 0. Some Underlying Geometric Notions Chapter 1. The Fundamental Group 1.1. Basic Constructions 1.2. Van Kampen's Theorem 1.3. Covering Spaces Chapter 2. Homology 2.1. Simplicial and Singular Homology 2.2. Computations and Applications 2.3. The Formal Viewpoint Chapter 3. Cohomology 3.1. Cohomology Groups 3.2. Cup Product 3.3. Poincaré Duality Chapter 4. Homotopy Theory 4.1. Homotopy Groups 4.2. Elementary Methods of Calculation 4.3. Connections with Cohomology Zusätzlich gibt es nach jedem Kapitel einen Teil zu "Additional Topics" sowie einen Anhang zum Schluss. Da es sehr viele "Additional Topics" gibt, zähle ich sie hier nicht auf, sie sind aber durchaus lesenswert. Das Buch ist kostenlos auf der Webseite des Autors verfügbar. In Kapitel 0 beginnt Hatcher eher informell mit einigen Standardkonstruktionen aus der Topologie. Er behandelt CW Komplexe, Einhängungen, Kegeln, Abbildungszylinder/-kegel, Homotopieäquivalenzen, Deformationsretrakte sowie Homotopie-Erweiterungseigenschaften. Er wählt hier wirklich schöne Beispiele und Propositionen, allerdings ist es auch ein ganz schön steiler Einstieg. Man muss zu Beginn nicht alles aus diesem Kapitel lesen, sondern kann darauf zurückgreifen, wenn man die Theorie benötigt. In Kapitel 1 geht es um die Fundamentalgruppe $\pi_1$. Er beginnt mit einer Einführung in Homotopie, $\pi_1$, der Berechnung von $\pi_1(S^1)$ und kann hier bereits sehr charmante Anwendungen der algebraischen Topologie zeigen. So werden sofort der Fundamentalsatz der Algebra, Brouwers Fixpunktsatz und der Satz von Borsuk-Ulam anhand topologischer Argumente demonstriert. Danach wird der Satz von Seifert-van-Kampen behandelt und schließlich wird alles Wichtige zu Überlagerungsräumen erklärt. In Kapitel 2 geht es um Homologie $H_{\bullet}$. Er beginnt mit der simplizialen und singulären Homologie und wählt hier einen Zugang über semi-simplizialen Mengen (statt simplizialen Mengen oder simplizialen Komplexen). Er beweist also erstmal die üblichen Eigenschaften: Homotopieinvarianz, lange exakte Sequenzen, Ausschneidung (engl. excision). Danach wird zelluläre Homologie eingeführt und schließlich gibt es eine (sehr) kurze Einführung in die Kategorientheorie und in die Eilenberg-Steenrod Axiome von Homologie. In Kapitel 3 geht es um Kohomologie $H^{\bullet}$. In einem kurzen Unterabschnitt bespricht Hatcher zügig die analogen Eigenschaften von Kohomologie zur Homologie, wobei ein erster Höhepunkt der Satz über universelle Koeffizienten ist, welche die Kohomologie mit der Homologie verbindet. Danach geht es ausführlich um den wesentlichen Unterschied von Kohomologie zur Homologie: Das Cup Produkt. Das Kapitel wird mit einem Teil zur Orientierbarkeit von topologischen Mannigfaltigkeiten und der Poincaré Dualität abgeschlossen. Die Orientierbarkeit wird mit algebraischen Methoden abgehandelt, so wird eine Orientierung von lokalen Homologieklassen bestimmt. In Kapitel 4 geht es um höhere Homotopiegruppen $\pi_{\bullet}$. Er beginnt damit $\pi_n$ für $n \geq 2$ zu konstruieren und führt danach wichtige Werkzeuge zu CW Komplexen ein: Satz von Whitehead, Zelluläre Approximation, CW Approximation. Danach fängt er endlich damit an, einige Rechen-Techniken einzuführen: Er beweist Blakers-Massey, Freudenthal Einschränkung, den Satz von Hurewicz, führt lange exakte Sequenzen von Faserungen ein und gibt noch einen Exkurs zu stabilen Homotopiegruppen. Das Buch schließt er mit Zusammenhängen der Kohomologie mit der Homotopie ab. Er diskutiert, dass die Eilenberg-MacLane Räume $K(\pi,n)$ den Kohomologiefunktor darstellen und führt dabei wichtige Objekte der Homotopietheorie ein: reduzierte Einschränkungen $\Sigma$, Schleifenräume $\Omega X$, Puppe Sequenz. Danach wird mehr auf Faserungen eingegangen und gezeigt, dass es sich um die homotopie-theoretische Variante der Faserbündeln handelt. Auch hier werden wichtige Objekte wie etwa die Homotopie-Faser $\operatorname{hofib}(f)$ eingeführt. Schließlich gibt es einen Exkurs zu Postnikov-Türmen und der Obstruktionstheorie. Hatcher beginnt jedes Kapitel mit einer ausführlichen Motivation der Theorie, was ich sehr schön finde. Nach jedem Unterkapitel gibt es 20-40 schöne Aufgaben, die teilweise aber auch ziemlich schwierig sind. Ich finde, dass Hatcher wirklich sehr anschaulich schreibt, viele interessante Beispiele gibt und thematisch eine großartige Auswahl getroffen hat. Es macht auf jeden Fall Lust auf mehr Topologie und mit Hatchers ständigen Exkursen auf weiterführende Themen sieht man ansatzweise, wieviel mehr noch geht. Das Buch ist aber nicht perfekt: Meiner Meinung nach ist das größte Probleme die fehlende Kategorientheorie, denn es wird wirklich kaum mit Kategorientheorie gearbeitet. Diese würde aber einige Themen klarer machen und darüber hinaus ist die Kategorientheorie unabdingbar im weiteren Studium der algebraischen Topologie. Das merkt man bereits bei der Einführung von Homologietheorien, wo die falsche Definition gegeben wurde. Denn im Buch wurden the Verbindungshomomorphismen nicht als Daten einer Homologietheorie gegeben (S. 160). Merkwürdigerweise gibt Hatcher allerdings die korrekte Definition für Kohomologietheorien (S. 202). Das zeigt vielleicht, dass dem Autor diese Unterscheidung nicht völlig bewusst ist. Noch entscheidender fühlt man dieses Problem in Kapitel 4, wo es nicht immer eindeutig ist, in welchen Kategorien man arbeitet. In der Homotopietheorie sollte man genau erklären, ob man in punktierten oder unpunktierten Kategorien arbeitet, aber in Hatchers Buch ist das teilweise schwammig. Manche Aufgaben oder Argumente scheinen für punktierte Räume oder für schöne Räume (wie wohlpunktierte Räume) gedacht zu sein, doch Hatcher geht nie darauf ein. Das war für mich ein großes Manko und hat für einige Verständnisprobleme gesorgt. Im Teil zu Mannigfaltigkeiten von Kapitel 3 gibt es einige Argumente, die ziemlich knapp gehalten sind. Hier hätte ich mir ein wenig mehr Ausführlichkeit gewünscht. Und dass gleich schon so rasant in Kapitel 0 gestartet wird, finde ich auch abschreckend für den Leser, zumal einige (sehr nützliche!) Techniken direkt benötigt werden. Ich finde, man hätte das Buch hier anders gliedern sollen, die Argumente sind schlicht zu schwierig für den Anfang. Zu guter Letzt ist eine typische Beschwerde bei diesem Buch, dass einige Beispiele zu schwammig beschrieben wird. Da stimme ich großteils zu, oft ist es mir auch zu hand-wavy und hätte mich über rigorosere Argumente gefreut. Allerdings sollte man hier nicht alles auf das Buch schieben, sondern sollte auch die Probleme bei sich selbst suchen. Dass ich dieses Buch oft beiseite gelegt haben und es erst neuerdings durchgearbeitet habe, liegt mehr an mir als an das Buch. Ich war zu ungeübt mit der Quotiententopologie und hatte kaum Aufgaben gemacht, sodass mein Verständnis mit der Homotopie auch nicht optimal war. Doch mit mehr Erfahrung konnte ich dieses Problem einigermaßen überbrücken und habe die Materie auch besser verstehen können, nachdem ich den Großteil der Übungsaufgaben versucht habe. Wenn man also hinreichend geübt ist, sollte man viele der hand-wavy Argumente selber rigoros machen können. Falls du also momentan Schwierigkeiten mit diesem Buch hast, siehst du es vielleicht in einem Jahr anders. Es ist nämlich definitiv lesenswert und eine wunderbare erste Einführung in die Welt der algebraischen Topologie.

Hinzugefügt am: 2022-01-19
Kritiker: Kezer
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