Introduction to Lie Algebras

Erdmann Karin, Wildon Mark J.

BuchcoverMan muss nicht lügen, um Lie (Algebren) zu verstehen. Wenn dir dieses Wortspiel zu viel war, dann lasse mich dich zumindest beruhigen, dass keine weitere schlechte Witze in diesem Review auftauchen werden. Das Buch Introduction to Lie Algebras von Karin Erdmann und Mark J. Wildon richtet sich vor allem an Bachelorstudenten um die Grundlagen der Lie Theorie zu lernen, aber meiner Meinung nach sollte man auch nicht davon scheuen, wenn man kein Bachelorstudent mehr ist. Ich selbst habe es zwecks einer Mastervorlesung nebenbei gelesen und fand das Buch wirklich schön. 1. Introduction 2. Ideals and Homomorphisms 3. Low-Dimensional Lie Algebras 4. Solvable Lie Algebras and a Rough Classification 5. Subalgebras of $\mathfrak{gl}(V)$ 6. Engel's Theorem and Lie's Theorem 7. Some Representation Theory 8. Representations of $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$ 9. Cartan's Criteria 10. The Root Space Decomposition 11. Root Systems 12. The Classical Lie Algebras 13. The Classification of Root Systems 14. Simple Lie Algebras 15. Further Directions 16. Appendix A: Linear Algebra 17. Appendix B: Weyl's Theorem 18. Appendix C: Cartan Subalgebras 19. Appendix D: Weyl Groups 20. Appendix E: Answers to Selected Exercises Erdmann und Wildon beginnen mit den absoluten Basics zu Lie Algebren von der Definition bis zu Idealen und Morphismen von Lie Algebren. Da dieser Teil zudem klar geschrieben ist, ist es leicht zu lesen. Mir gefällt, dass gleich dann erste niedrig-dimensionale Beispiele von Lie Algebren der Dimension $\leq 3$ gegeben werden. Zu diesem Zeitpunkt können wir bereits erste Sätze der Lie Theorie formulieren und beweisen. Wir betrachten Lösbarkeit, Nilpotenz und die dazugehörigen Sätze von Engel und Lie. Als nächstes wird erstmals in die Darstellungstheorie eingegriffen und dabei die wichtige Klassifikation von irreduziblen $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$-Darstellungen gegeben. Dieser Teil ist verständlich geschrieben und wichtig für das weitere Studium der Lie Theorie. Danach werden die Kriterien von Cartan sowie die Jordan-Chevalley Zerlegung behandelt. Hiermit steigen wir dann in das Gebiet der Wurzelsysteme ein und beginnen mit der Wurzelraumzerlegung einer Lie Algebra. Die klassischen Beweise dieser Zerlegung sind in diesem Buch klar formuliert und haben mir geholfen, sie zu verstehen. Wir abstrahieren dann und betrachten abstrakte Wurzelsysteme, allerdings nicht über allgemeine Körper. Für unseren Zweck geht aber nur wenig verloren. Das wird gleich eingesetzt um klassische Lie Algebren zu klassifizieren. Danach werden Wurzelsysteme klassifiziert und dabei die berühmten Dynkin Diagramme thematisiert, woraufhin Serres Sätze einen Abschluss der Klassifikationstheorie mittels Wurzelsystems bildet. In einem letzten Kapitel werden einige Ausblicke gegeben, von der universell einhüllenden Algebra, Kac-Moody Lie Algebren, der Monster Gruppe oder Gabriels Satz von Dynkin Diagrammen zu Köchern. Meiner Meinung nach ist das Buch wirklich gut geschrieben und es war meine Lieblingslektüre zu Lie Algebren. Das Buch schiebt kurze Übungsaufgaben im Text ein, wo oft kurze Details gezeigt werden sollen oder Beispiele nachgerechnet werden, und schwierigere (aber machbare) Aufgaben am Ende jedes Kapitels. Meist wird nur über $\mathbb{C}$ oder $\mathbb{R}$ gearbeitet, aber zum Zweck dieses Buches verlieren wir nicht viel, sodass mich das nicht gestört hat. Der Schreibstil der Autoren ist großartig. Oft wird konversationell dem Leser einige Ideen vermittelt, es werden Motivation und Intuition klar geschildert und sie scheuen nicht davor einen Ausblick auf weiterführende Themen zu geben. Erfahrenere Mathematiker schrecken eventuell davor zurück, dass das Buch primär für Bachelorstudenten gedacht ist, da es Teil des Springer Undergraduate Mathematics Series ist. Hier muss man sein Ego aber zurücklassen: Diese Kennzeichnung bedeutet nicht, dass ein erfahrenerer Mathematiker dieses Buch nicht lesen darf. Das Buch richtet sich vor allem an Bachelorstudenten, da einige fortgeschrittene Themen nicht behandelt werden. So werden beispielsweise Verma Moduln nur im Ausblickskapitel angesprochen und auch klassische Konstruktionen wie Tensorprodukte oder die universell einhüllende Algebra (und z.B. das mit eingehende PBW-Theorem) werden dorthin verschoben. Das ist teilweise ein bisschen schade, zumal universell einhüllende Algebren wirklich nicht schwieriger als die restlichen Themen dieses Buches ist. Die tatsächlich behandelten Themen werden aber wirklich schön dargestellt und oft es ist oft klarer als in klassischen Lehrbüchern wie das von Humphreys geschrieben. Wenn man auch nur die grundlegenden Werkzeuge der Lie-Theorie benötigt und nicht unbedingt Lie-Theoretiker werden möchte, dann reichen die Methoden in diesem Buch auch sicher als ersten Einblick. Ich kann das Buch also nur empfehlen.

Hinzugefügt am: 2022-08-03
Kritiker: Kezer
Bewertung

Zugehöriger Link: Mark Wildon's Website: Introduction to Lie algebr
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Suchbegriffe : Lie :: Lie-Algebren :: Erdmann :: Wildon :: Darstellungstheorie :: Lie Algebra :

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