In diesem Artikel soll es darum gehen den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen \(a,~b~> ~0\) mit dem Satz von Pick zu berechnen. Nachfolgendes Theorem verzichtet dabei auf herkömmliche Methoden: a) euklidischer Algorithmus b) Primfaktorzerlegung c) Beziehung zum kgV 1.1 Theorem: Für zwei natürliche Zahlen \(a,~b~> ~0\) gilt: \[ \mathrm{ggT}(a,b) = {a-b-ab+2 \ ...

Ich habe mir einen einfachen Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie überlegt. Er kommt gänzlich ohne Dimensionsargumente aus. Die eine Hälfte des Beweises ergibt sich letztlich aus Grundlagen über Homomorphismen in einen algebraischen Abschluss, wohingegen die andere Hälfte auf einem kombinatorischen Resultat basiert, nämlich dass ein Körper nicht als Vereinigung von endlich viel ...

Grundlagen der linearen Algebra über $\mathbb{F}_1$ Es gibt verschiedene Definitionen eines "Körpers mit einem Element", notiert mit $\IF_1$. In diesem Artikel stellen wir die wohl einfachste davon vor und betreiben etwas lineare Algebra darüber: Ein $\IF_1$-Vektorraum ist ganz einfach eine punktierte Menge, und $\IF_1$ ist $(\{0,1\},0)$. Lineare Algebra über $\IF_1$ ist also eng mit Kombin ...

Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Ko ...

Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace Der Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildung ...

Zu den fundamentalen Aussagen in der gesamten Mathematik gehört die Dreieckungleichung aus der Geometrie. Man möge sich also fragen: Gibt es eine "Vierecksungleichung"? Antwort: Ja. Eigentlich ist es aber auch "nur" die Dreiecksungleichung. Das richtige Analogon der Dreiecksungleichung für Vierecke ist der Satz von Ptolemäus. Sei $ABCD$ ein Viereck. Es gilt $$ |AB| \cdot |CD| + |BC| \ ...

Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des N ...

Einleitung Es seien $X$ und $Y$ die Mengen $$X=\{24n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{24n+17:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+13:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+29:n\in\mathbb N\}\cup\{96n+37:n\in\mathbb N\}\cup\{192n+181:n\in\mathbb N\}$$ $$Y=\{6n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{6n+5:n\in\mathbb N\}$$ Aus der Menge $X$ entsteht durch Collatziteration die Menge $Y$. Aus der Menge $Y$ wiederum lässt sich die M ...

Der Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von ...

Abstract The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) lists under the identifier A108235 the following sequence: $a(n)=$ Number of partitions of $\{1,2,...,3n\}$ into $n$ triples $(X,Y,Z)$ each satisfying $X+Y=Z$. The following values can be found there (status on Apr 18 2020) \sourceon n a(n) 1 1 2 0 3 0 4 8 5 21 ...

- Wesentliches über die Mathematik von Parabeln Elementare Beweise für quadratische Funktionen und Parabeln diesseits und jenseits der Schulmathematik: Geometrie, Algebra, Koeffizientenvergleich, Lösungsmethoden, Vieta jumping, Tangenten, Brennpunkt-Eigenschaft, die Parabel als echter Kegelschnitt, Quadratur des Archimedes und Parabeln mit beliebigen Achsen in der x-y-Ebene. Für jeden, d ...

Ramsey-Zahlen Silvester steht vor der Tür. Auf so einer Silvesterparty sehen sich manche Gäste zum ersten mal und kannten sich vorher nur über Ecken. Es gibt also unterschiedlich große Gruppen von einander Bekannten und Gruppen von einander Fremden. Wie groß können diese Gruppen sein? Oder genauer gesagt, wie groß muss die Anzahl der Gäste überhaupt sein, damit es auf jeden Fall eine G ...

Anzahl der Abbildungen $f$ mit $f^p=f^q$ Für feste natürliche Zahlen $n,p,q$ bestimmen wir die Anzahl der Abbildungen $f : \{1,\dotsc,n\} \to \{1,\dotsc,n\}$ mit $f^p = f^q$, wobei $f^p$ die $p$-fache Verkettung von $f$ sei. Wir leiten insbesondere für festes $p \geq 2$ und $q=1$ die erzeugende Funktion $\exp(\sum_{d ~\mid~ p-1} \frac{1}{d} (z \cdot \exp(z))^d)$ für die Anzahlen her. Am End ...

Auf der Wikipediaseite "Internationale Mathematik-Olympiade" werden die zwei schwersten Probleme genannt, die je auf einer IMO gestellt worden sind. Beide Aufgaben konnten nur von 11 Schülern gelöst werden, einmal (1986) bei insgesamt 210, das zweite Mal (1988) bei insgesamt 268 Teilnehmern. Während für die erste dieser Aufgaben auch eine Lösung verlinkt wurde, habe ich für die zweite ...

Ausgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. Insbesondere finden wir damit einen konzeptionellen Beweis für eine ganze Reihe von Charakterisierungen von injekt ...

Wie man 4-reguläre planare Graphen nur aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken konstruiert Lassen sich kongruente gleichseitige Dreiecke in der Ebene ohne Überschneidungen derart aneinanderlegen, dass sich immer genau zwei Ecken berühren ohne dabei größere Dreiecke zu bilden? Und wenn ja, wie viele Dreiecke benötigt man mindestens dafür? Eine Aufgabe, die mit entsprechendem Mater ...

In diesem kurzen Artikel werden die Flächeninhalte der Koch-Kurve und der Koch-Schneeflocke berechnet, ohne Grenzwerte oder unendliche Reihen zu benutzen. > ...

Gemeint ist, in kleinlich ernsthafter Genauigkeit: "Drei meiner Meinung nach schwerwiegende und fast überall beobachtete didaktische Fehlverhalten von Schullehrern der zwölften Klasse und darüber beim Unterrichten des Wahlfachs Lineare Optimierung". Der verkürzte Artikelname ist also ganz unmöglich, führt aber hoffentlich verzweifelte Fragesteller auf die richtige Spur. Ich beobachte zwar ke ...

Der Eine oder die Andere kennt möglicherweise den folgenden Gesprächsverlauf aus eigener Erfahrung. A: Was machst du beruflich/ studierst du/ ist dein Hobby? B: Mathematik A: Rechnen ist nicht so meins. B: Kann ich verstehen, aber Mathematik ist deutlich mehr als Rechnen. A: Inwiefern? B: Es geht hier eher um Mustererkennung. A: Ok. Sag mal ein einfaches Beispiel. B: Kein Problem. D ...

In der Schule lernen wir in der Regel nur die schriftliche Berechnung der 4 Grundrechenoperationen. Hier in diesem Artikel wird das schriftliche Radizieren beispielhaft für das quadratische bzw. kubische Wurzelziehen erläutert. Grundlage dafür ist wahlweise die erste binomische Formel \((a+b)^2 =a^2 +2ab +b^2\) bzw. das kubische Pendant \((a+b)^3 =a^3 +3a^2 b +3ab^2 +b^3\). Wurzeln höherer ...