Bei einer früheren Gelegenheit [1] beschäftigte ich mit den Einhüllenden von Kurvenscharen. Hier folgt ein weiteres Beispiel, das wahrscheinlich schon längst bekannt ist, mir aber bisher noch nicht auffiel. (Ich habe auch nicht danach gesucht, weder in Büchern noch im Internet.) > ...

Teil 1: Motivation zur Fouriertransformation Gegen das mathematische Ende des Elektrotechnik-Studiums wird man zu den gelangen. Es ist ein wichtiges Ziel der Ausbildung diese Transformationen anwenden zu können. Sie sind sozusagen das Schweizer Sackmesser des Elektroingenieurs. Diese Artikel zielen in erster Linie auf die praktische Anwendung ab. Die Transformationen wurden in Artikeln ...

Zahlreiche Studenten der Naturwissenschaften müssen sich mit dem Aufstellen von Fourier-Polynomen auseinandersetzen. Während für Mathematik- und Physikstudenten die formale Sprache der Mathematik meist keine große Hürde mehr darstellt, haben viele Biologie- und Chemie-Studenten oder andere Studenten, die sich mit dieser Thematik zu befassen haben, bereits einige Schwierigkeiten die mathematis ...

da_bounce und FlorianM schreiben: §4 Folgen Nachdem der letzte Teil Nummer 3 sehr abstrakt war, wird es jetzt wieder etwas anschaulicher werden. In diesem Artikel tauchen wir eigentlich erst richtig in die Analysis I ein. Wir werden hier das erste Mal Kontakt mit dem Unendlichen und den Grenzwertbegriffen von Folgen haben. Folgen werden euch im ersten Semester sehr oft be ...

Ich möchte in diesem Artikel als verallgemeinerte Zahlen betrachten. Eine natürliche Zahl n stellen wir p-adisch wie folgt dar: n = a k p k + a k-1 p k-1 + ... + a 1 p + a 0 = a k a k-1 ... a 1 a 0 |p dabei nehmen die Koeffizienten a i Werte zwischen 0 und p-1 an. Da solche Zahlen meist im Positionssystem dargestellt sind, also nur als Folge dieser Koeffizienten, ist ...

Globale Analysis Abschnitt 2: Elie Cartan Nach all der Mühe mit der Linearen Algebra kommen wir nun endlich dazu den Begriff Differentialform zu definieren, um den es sich in den folgenden Artikeln immer wieder drehen wird. Weiterhin wollen wir auch die Cartan Ableitung einführen und den Pullback einer Differentialform erklären. Mit diesen Begriffen ausgerüste ...

Die Sätze von Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß und Montel Ein leider sehr verbreitetes (und durch ungeschickte Definitionen in manchen Büchern/Einführungsvorlesungen gefördertes) Missverständnis ist das Gleichsetzen von "kompakt" mit "beschränkt und abgeschlossen". Es ist zwar in vielen sinnvollen Räumen richtig, dass jede kompakte Menge beschränkt und abgeschlossen ist, ...

Globale Analysis Kapitel 1: Differentialformen Abschnitt 1: Multilineare Algebra Hermann Grassmann In diesem und den folgenden Artikeln wollen wir die Grundlagen legen für das Rechnen mit Differentialformen und ihre Anwendungen in der Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten, wobei wir hoffen, einmal bis zum Satz von Stokes zu kommen. Wir konstruier ...

Globale Analysis Was steckt hinter diesen beiden Worten? Die Artikel, die in der nächsten Zeit unter diesen Stichworten erscheinen werden, wenden sich an diejenigen Leser, die zumindest mit dem letzten Wort Analysis vertraut sind und über den Kenntnisstand einer Analysis 2 Vorlesung verfügen. Zum Inhaltsverzeichnis > ...

da_bounce und FlorianM schreiben: §2 Die Beweisverfahren Im ersten Teil unserer Vorlesung über die Analysis I haben wir schon einige Sätze und Behauptungen bewiesen. Nun wollen wir nacheinander verschiedene Beweismethoden der Mathematik motivieren und einführen, damit wir ab Kapitel 3 diese dann im Schlaf beherrschen. Vor allem die vollständige Induktion muss euch in ...

da_bounce und FlorianM schreiben: §1 Einführung und Grundlagen Die Analysis I - Vorlesung gehört zu den Grundvorlesungen eines jeden Mathematikers und Ingenieurs, wobei bei den Ingenieuren mehr gerechnet wird. Deswegen werden wir auch eine Vielzahl an Aufgaben zur Verfügung stellen, die einerseits für Mathestudenten geeignet sind, aber auch Aufgaben, die ein Ingenieursstudent ...

Das Bochner-Integral Vor einiger Zeit bin ich mal auf das Buch "Real and Functional" Analysis von Serge Lang gestoßen. Darin habe ich eine sehr schöne und elegante Einführung in die Integrationstheorie von Funktionen von Maßräumen nach Banachräumen entdeckt. Serge Lang benutzt eine ad-hoc-Definition der Intergrierbarkeit ohne auf die Theorie des Lebesgue-Integrals zurückzugreifen. Da ...

Fixpunktsätze sind oftmals das Mittel der Wahl, um zu zeigen, dass ein kompliziertes Gleichungssystem Lösungen hat, wenn man nicht in der Lage ist, "auf direktem Wege" eine zu finden. Aufgrund des Erfolgs, den man mit einem solchen Vorgehen hat, gibt es auch entsprechend viele Varianten von Fixpunktsätzen und artverwandten Konzepten, die einem die Lösbarkeit diverser Gleichun ...

In diesem Artikel soll an einem Beispiel gezeigt werden, wozu der Residuensatz fähig ist. Einleitend wird eine Darstellungsmöglichkeit der Theta-Funktion (oben im Bild) gezeigt. Die dadurch gewonnene Erkenntnis wird eingesetzt, um ein komplizierteres Integral zu berechnen. Dabei gelangt man unter anderem zu der Formel: \ \ sum((\lambda_i-1)^(n-1)*produkt(1/(\lambda_i-\lambda_j ...

\ \ In der Regel wird zusätzlich zur Definition der Fakultät als \forall\ n\in\IN: n! := produkt(k,k=1,n) noch 0! =1 festgelegt; plausibel wird diese Definition von 0! u.a. mit 0! =1!/1=1 gemacht. Prinzipiell scheint aber wegen des definitorischen Charakters von 0! dieser Wert frei wählbar zu sein. Tatsächlich ist dem nicht so, man kann 0! berechnen, die übliche (zusätzliche) Defin ...

50 Stammfunktionsbeispiele für Funktionen > ...

In der Schule wird häufig auf das systematische Behandeln von Funktionen mehrerer Veränderlicher verzichtet, daher möchte ich dieses Thema hier auch für Schüler verständlich behandeln. Auch wenn vielleicht nicht alles im kleinsten Detail nachvollzogen werden kann, soll der Artikel dennoch dazu dienen Interesse und Lust an der Theorie hinter den Schemata zur Untersu ...

ntegration vektorwertiger Funktionen I: Das Bochner-Integral Die Integrationstheorie, die man im Grundstudium kennenlernt, beschränkt sich meist auf das Lebesgue-Integral. Dieses hat sich in der Vergangenheit als äußerst zufriedenstellender Integralbegriff für reellwertige Funktionen herausgestellt, der etwa gegenüber dem Riemann-Integral klar im Vorteil ist, z.B. durch die ...

Finite Time Blow-up Oder "Hey! Da geht was mächtig in die Hose." \ \ \ Ich möchte beispielhaft ein paar Worte über die Differentialgleichungen y'(x) = y(x)^2 und Varianten davon verlieren. Der Fokus soll hierbei nicht auf der Lösbarkeit der Gleichung liegen, sondern es geht mir eher darum, ein paar qualitative Aussagen zu treffen. \ > ...

Notiz zum Konvergenzradius einer Potenzreihe Einleitung Vor kurzem ist mir eine geringfügige Verallgemeinerung eines grundlegenden Satzes über den Konvergenzradius einer Potenzreihe aufgefallen. Ich wundere mich, dass ich sie in keinem Analysisbuch ausgesprochen finde, und möchte sie hier vorstellen. Entweder sie wird immer wieder übersehen, oder sie ist einfach zu ...