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  Gefunden in Artikeln von shadowking:
Stern Apfelmännchen algebraisch von shadowking
       am Fr. 16. Oktober 2015 19:43:06 - 2723 mal gelesen - 8 Kommentare
\huge{\textsf{Das Apfelmännchen aus algebraischer Sicht}} Wie die Mandelbrotmenge aussieht, brauche ich jemandem, der auf diesen Seiten regelmäßig aktiv ist, nicht mehr zu erklären. Diese äußerst komplizierte fraktale Menge ist zu einem Aushängeschild für die moderne rechnergestützte Mathematik und Algorithmik geworden. Ob ein wissenschaftlicher Themenbereich "populär" wird, ...
Die Lemniskate von shadowking
       am Di. 21. Juli 2015 22:12:16 - 2674 mal gelesen - 5 Kommentare
\color{blue}\textsl{\huge{\bf{}}} Dieser Artikel gilt einer faszinierenden algebraischen Kurve vierten Grades, die in verschiedenen Bereichen auftaucht und forschungsgeschichtlich von Bedeutung ist. Ihr Name leitet sich von lateinisch „lemniscus“ ab, was „Schleife“ bedeutet. Sie symbolisiert die Unendlichkeit, weshalb das mathematische Symbol für „Unendlich“ (∞) eine ...
Die Pseudosphäre von shadowking
       am Di. 16. Juli 2013 14:05:43 - 3156 mal gelesen - 14 Kommentare
\textbf{\huge{Signore Beltramis Pseudosphäre}} 1. Motivation Wir wollen uns einmal Gedanken machen über die Geometrie zweidimensionaler Hyperflächen im \mathbb{R}^3 und deren Krümmung. Die Situation ist ein wenig verwickelter als im eindimensionalen Fall. Krümmung im Zweidimensionalen ist nicht einfach eine Größe, die man in Abhängigkeit vom Parameter "Bogenlänge" angeben k ...
Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion von shadowking
       am Mo. 18. März 2013 15:07:46 - 2524 mal gelesen - 3 Kommentare
Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion Alles beginnt mit der Fourierreihe einer Rechteckpulsfunktion: \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}=\frac{\pi}{4} im Bereich ]0,\pi[ . Bild 1: Fouriersumme der Rechteckfunktion bis zum 23. Summanden. Im Grenzfall unendlich vieler Summanden erhält man den Rechteckpuls. ...
Brachistochrone revisited von shadowking
       am So. 24. Juni 2012 12:00:40 - 1577 mal gelesen - 0 Kommentare
Als ich mir zuletzt das Brachistochronenproblem wieder durch den Kopf gehen ließ, ist mir ein schnellerer und unkomplizierterer Weg eingefallen, das Endergebnis zu erhalten. Insbesondere kann auf den Apparat der Variationsrechnung ganz verzichtet werden, wenn man das Snellius'sche Gesetz als Resultat eines Minimalprinzips auffaßt.> ...
Stern Das regelmäßige 17-Eck von shadowking
       am So. 23. Oktober 2005 12:09:58 - 30911 mal gelesen - 19 Kommentare
Das regelmäßige Siebzehneck Carl Friedrich hat seinen 17. Geburtstag. Zur Feier hat er 16 Gäste eingeladen, und es soll einen runden Kuchen geben. Nun sind die Gäste eifersüchtig darauf bedacht, alle ein Kuchenstück in exakt der gleichen Form wie das von Carl Friedrich zu bekommen, denn keiner möchte sich ungerecht behandelt fühlen. Und da die Gäste alle glühende Vereh ...
Superellipsen von shadowking
       am Do. 30. Juni 2005 06:48:13 - 4076 mal gelesen - 8 Kommentare
Wir leben in einer Welt 2. Typs; das erkennt man an folgendem: 1. Der Satz des Pythagoras gilt 2. Es gibt bewegungsinvariante Flächenmaße 3. Mit jedem Zirkel kann man Kreise zeichnen Doch was wäre, wenn wir etwa in einer Welt 3. Typs leben würden? Wenn der "Satz des Pythagoras" etwa lauten würde: a 3 + b 3 = c 3 für rechtwinklige Dreiecke? > ...
Einführung in die Stochastik von shadowking
       am Sa. 21. Mai 2005 14:31:52 - 32803 mal gelesen - 7 Kommentare
Ich hoffe, ich habe mir mit diesem Projekt nicht zu viel vorgenommen. Aufgrund des starken Interesses an den Grundlagen der Wahrschein- lichkeitsrechnung und einem gewissen Mangel an Material hier auf dem Planeten sehe ich es aber als eine gute Idee an, hier etwas Abhilfe zu schaffen. Was ich fürs erste anvisiere, ist folgendes: 1. Ereignisräume und Gleichwahrscheinlichke ...
Betrügt uns die Zahnpastaindustrie? von shadowking
       am Do. 03. März 2005 06:47:20 - 11035 mal gelesen - 29 Kommentare
Matroids Matheplanet deckt Riesenskandal auf! Verbraucherschutzministerin Künast auf den Barrikaden! Nützt die Bildungskatastrophe den Kosmetikmultis? Nein, es geht diesmal nicht um Dioxin oder Anabolika oder sonstige potenziell krebserregende Inhaltsstoffe, sondern schlicht darum, dass die Fluoridmixer uns das Zeug in zu kleinen Mengen verkaufen, bzw. die Inhaltsangaben sch ...
Stern Das Kugelwunder von shadowking
       am Fr. 03. September 2004 20:44:00 - 23446 mal gelesen - 18 Kommentare
Das Kugelwunder Der Satz von Banach-Tarski Übersicht ______________________________________________________________________ Einleitung Die freie Gruppe mit zwei Erzeugern Paradoxe Zerlegung einer löchrigen Sphäre Von der löchrigen Sphäre zur Vollkugel Abschluss Quellenverzeichnis __________________________________________________ ...
Selbstverständliches über e und Pi, Teil 2 von shadowking
       am So. 22. August 2004 16:01:25 - 6979 mal gelesen - 4 Kommentare
Die Transzendenz von Pi Als Ferdinand LINDEMANN 1882 die Transzendenz von Pi bewies, hatte er ein zwei Jahrtausende altes Problem erledigt: Die Quadratur des Kreises, oder, in heutiger Sprache, die Konstruktion zweier Strecken mit dem Längenverhältnis Pi nur mit Zirkel und Lineal. \ \ Man kann nämlich Strecken mit Längenverhältnis z dann und nur dann mit ...
Selbstverständliches über e und Pi, Teil 1 von shadowking
       am Mi. 28. Juli 2004 22:22:22 - 9155 mal gelesen - 3 Kommentare
Jeder von uns kann es wohl im Schlaf auswendig sagen: die Zahlen e und Pi sind nicht nur irrational, sondern sogar transzendent, also nicht algebraisch über Q. Nachdem ich nun schon über algebraische Zahlen geschrieben habe, möchte ich für die beiden "Klassiker" e und Pi die Irrationalität zeigen und schließlich einen Beweis für die Transzendenz von e angebe ...
Stern Geometrie in der Teetasse von shadowking
       am So. 30. Mai 2004 16:35:23 - 16043 mal gelesen - 15 Kommentare
Geometrie in der Teetasse Manchmal erwischt einen die Mathematik im unpassendsten Moment. Da sitzt man völlig arglos mit seiner Familie an einem sonnigen Tag draußen am Teetisch und freut sich des Lebens. Wie durch Zufall fällt der Blick in die Teetasse - und es ist um die Harmonie geschehen. Was erblickt man dort? Aus: Ucke/Engelhardt, Physik in unserer Zeit 29 ( ...
Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen von shadowking
       am Fr. 07. Mai 2004 20:27:35 - 18238 mal gelesen - 9 Kommentare
Was hat es mit dem sogenannten "Körper der algebraischen Zahlen über Q" auf sich, wie zeigt man dessen Körpereigenschaften und wie bestimmt man das Minimalpolynom einer gegebenen algebraischen Zahl? \ \ Was in der Schulmathematik üblicherweise "in einem Aufwasch" erledigt wird, nämlich die Vervollständigung vom Körper \IQ der rationalen Zahlen zum Körper \I ...
Von Lichtwegen und optimalen Rutschbahnen. Die Variationsrechnung von shadowking
       am Fr. 19. September 2003 21:37:51 - 12497 mal gelesen - 6 Kommentare
Das Brachistochronenproblem In diesem meinem ersten Artikel für den Matheplaneten geht es um eine der faszinierendsten Anwendungen analytischer Prinzipien in der Physik, die Variationsrechnung. Ihre Entstehung aus einem scheinbar einfachen Problem der Differentialrechnung und die Genialität ihrer Schöpfer Bernoulli, Lagrange und Euler sticht daraus hervor. Dies ist das Ergebnis ein ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Das regelmäßige 17-Eck
      von shadowking am Fr. 25. Oktober 2019 03:05:30
Hallo Bernhard, gut aufgepasst! Ich bin der Sache einmal nachgegangen und habe gefunden, dass dieser seltsame Tippfehler (O liegt auf Standardtastaturen recht weit entfernt von S) in den allerersten Versionen des Artikels von 2005 gar keiner ist – in der in diesen enthaltenen Skizze heißt die entsprechende Halbgerade tatsächlich "o1". Später muss für die Veröffentlichung hier auf dem MP ...
Re: Das regelmäßige 17-Eck
      von shadowking am Sa. 17. Dezember 2016 00:50:13
Gauß selbst war es nicht, der auf die am Ende des Artikels dargestellte Konstruktion kam; die stammt von Herbert William Richmond (1895). Gauß hat, soweit mir bekannt, selbst keine Konstruktion des Siebzehnecks gefunden (das war wohl auch nicht sein Ehrgeiz; sollten das andere tun). Er hat gezeigt, daß ein regelmäßiges n -Eck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn \displa ...
Re: Von Lichtwegen und optimalen Rutschbahnen. Die Variationsrechnung
      von shadowking am Mi. 04. Mai 2016 00:33:26
Wie vermutlich die Methode aussah, mit der Jakob Bernoulli selbst dieses klassische Problem angegangen ist, ohne bereits einen ausgearbeiteten Apparat an Variationsrechnung zu besitzen, kann man in einem Nachfolgeartikel von mir aus dem Jahr 2012 lesen: Brachistochrone revisited > ...
Re: Verleihung der 14. MP-Awards
      von shadowking am Mo. 25. Januar 2016 19:32:55
Herzlichen Glückwunsch den diesjährigen Preisträgern. Diejenigen, die sowieso jedes Jahr ausgezeichnet werden, haben zwar wieder abgeräumt, aber die Neulinge sind doch eine ziemliche Überraschung. Danke sehr an alle, die mich nominiert und/oder mir ihre Stimme gegeben haben, auch wenn es für mich, wieder einmal, nicht zu einem Titel gereicht hat. Vierter in der Wertung "Beste Information" ...
Re: Zum Neuen Jahr
      von shadowking am Mo. 04. Januar 2016 19:03:45
@Gerhardus: Dadurch, daß ich etwas schreibe, wird niemand daran gehindert, etwas zu lernen - eher erhoffe ich davon das Gegenteil. Und auch ich bin nicht dagegen, hier etwas dazuzulernen, aber Dinge wie Volk und Nation (wo ganz handfeste Biologie und Genetik hintersteckt, die man im Fall von Tieren auch nicht ignorieren würde) wiederholt und ohne jede weitere Begründung als "Fiktionen" zu diffa ...
Re: Zum Neuen Jahr
      von shadowking am Mo. 04. Januar 2016 02:32:26
@weird: Danke vielmals. Deine Zustimmung verleiht meinen Gedanken doppeltes Gewicht. @Gerhardus: Die Aussage "Wegen der Globalisierung hat nur die Multikulti-Gesellschaft eine Zukunft" ist viel eher ein Dogma als jede gegenteilige Aussage. Zwar habe ich genug Beispiele für das regelmäßige Versagen multikultureller Staatswesen gebracht und könnte noch mehr nennen, und dennoch wird gebetsmüh ...
Re: Zum Neuen Jahr
      von shadowking am Sa. 02. Januar 2016 03:26:31
Nun gut, zunächst einmal viel Wasser in den Wein von Beitrag Nr. 1. Da hat wohl das volle Herz über den kühlen Verstand gesiegt. "Kampf auf Leben und Tod" hätte ich doch besser nicht geschrieben. Ich hoffe, der Chef überlegt es sich doch noch mit der Absicht, den Kommentar und die folgenden zu löschen. Egal welchen Verlauf eine solche Debatte nimmt, und auch wenn sich der halbe MP gegen m ...
Re: Zum Neuen Jahr
      von shadowking am Fr. 01. Januar 2016 22:04:23
Jammerschade. Aber bist Du wirklich der Auffassung, daß ein Kommentar wie der obige Dich schon dazu berechtigt, ihn als Administrator zu löschen und damit eine Diskussion zu unterdrücken? Ich mag mich ja irren, aber genau um das herauszubringen, sollte eine Diskussion erfolgen. Nicht unbedingt hier, da hast Du schon recht. Aber eine Mißbilligung gehört sich, meiner bescheidenen Meinung nach, ...
Re: Zum Neuen Jahr
      von shadowking am Fr. 01. Januar 2016 20:23:56
"Friedlich" wird es 2016 und in den folgenden Jahren, soweit ich fähig bin zu erkennen, beim besten Willen nicht bleiben. Nein, ich erkenne es wirklich nicht mehr. Der Friede ist zu lange und zu gründlich von all jenen sabotiert worden, die wir "völlig demokratisch" Jahr für Jahr wählen durften. Und alle haben mitgemacht und sich beteiligt. Ausnehmen kann ich davon leider keine einzige Gruppe ...
Re: Apfelmännchen algebraisch
      von shadowking am Di. 22. Dezember 2015 10:32:54
Mir sind sie eigentlich noch zu fett; besser wäre es, sie als Linien zu erzeugen. Die Funktion implicit_plot in wxMaxima ist dazu auch prinzipiell fähig, jedoch scheitert es an der Darstellung der sechsten Lemniskate. http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7597_sechslemniskatenimplicit.png Besser und zudem noch in viel geringerer Zeit kam damit wieder einmal Derive 5.1 ...
Re: Apfelmännchen algebraisch
      von shadowking am Mo. 21. Dezember 2015 00:36:57
Noch eine letzte Gnuplot-Graphik, die mit diesem Thema locker zusammenhängt und die ich, da sie einfach zu ästhetisch geworden ist, Euch nicht vorenthalten möchte: Die meisten farbigen Darstellungen der Mandelbrotmenge stufen nach der Anzahl Schritte, nach denen die Iteration z \, \rightarrow\, z^2+c für den Startwert z=0 den Betrag 2 überschreitet, farblich ab. Die feinen Grenzlinien ...
Re: Apfelmännchen algebraisch
      von shadowking am Fr. 18. Dezember 2015 20:52:36
Und noch eine letzte Verbesserung, die jetzt die \mathcal{H}_6 -Knospe direkt auf der "Kardioide" des \mathcal{H}_3 -Satelliten aufsitzen läßt: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/7597_mandelbrotmit345und6bulbswin.png Gnuplot-Graphik > ...
Re: Apfelmännchen algebraisch
      von shadowking am Sa. 12. Dezember 2015 19:13:16
Ich konnte nun doch noch die Randkurven von \mathcal{H}_5 und \mathcal{H}_6 bestimmen. Ich habe mir dabei zunutze gemacht, daß das Polynom, welches die Randkurven erzeugt, letztlich immer nur der kleinere Faktor unter zumeist zweien in dem Polynom ist, das man mit der geschilderten, algebraisch exakten Methode erhält. Man konnte also für \mathcal{H}_5 den Ansatz für ein Faktorpolynom sec ...
Re: Apfelmännchen algebraisch
      von shadowking am Di. 08. Dezember 2015 03:12:09
Ich liefere noch zwei Bilder nach: Die hyperbolische Menge \mathcal{H}_4 ist, wie erwähnt, nicht mehr algebraisch bestimmbar. Dennoch kann man den Verlauf ihrer Randkurven näherungsweise nachzeichnen, indem man in F_3(c,w)\,=\,w^3+c^2\cdot w^2-(c^4+c^3-3c^2)\cdot w-(c^6+3c^5+4c^4+4c^3) für w sukzessive -1+\frac{1}{16},\;-1+\frac{1}{16}\exp(\frac{\mathrm{i}\pi}{12}),\;-1+\frac{ ...
Re: Kombinatorische Herleitung von Potenzsummen
      von shadowking am Mo. 03. August 2015 02:57:41
Wenn ich schnell mal eine Potenzsumme \sum_{k=0}^N k^m benötige (und mein Rechner gerade läuft), dann entwickle ich die Funktion f_N\,:=\left{\begin{cases} \,\frac{\mathrm{e}^{(N+1)\cdot x}-1}{\mathrm{e}^x-1} &\: x\neq 0 \\ N+1 &\: x=0 \end{cases} in eine MacLaurin-Reihe (also eine Taylorreihe um x =0). Deren m -ter Koeffizient ist gerade \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^N k^m . Das kann man unt ...
Re: Die Lemniskate
      von shadowking am Fr. 24. Juli 2015 18:31:39
Ich habe hier wieder einmal das Gauß zugeschriebene Ergebnis verwendet, das auch im Artikel "Superellipsen" ohne Beweis angewendet wurde und wonach \displaystyle _2F_1\left(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1\right)\,=\,\frac{\Gamma(1+\frac{1}{a})\cdot\Gamma(1+b)}{\Gamma(1+\frac{1}{a}+b)} gilt. Die Herleitung würde nicht in diesen Artikel passen, soll den Lesern aber dennoch nicht vorentha ...
Re: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
      von shadowking am Do. 18. Juni 2015 09:07:24
Was den Punkt "dynamisches System" angeht, muß ich Martin zustimmen. Denn in welchem Verständnis von "Dynamik" wäre das Muster, das entsteht, "dynamisch"? Dynamik bedeutet, egal ob diskret oder kontinuierlich, irgendeine Zeitabhängigkeit, während das Zahlenmuster statisch ist und höchstens optisch den komplizierten Attraktoren in chaotisch werdenden dynamischen Systemen ähnelt*. Inhaltlich ...
Re: Herzkurven
      von shadowking am So. 14. Juni 2015 22:02:36
@Anonymous, 12. 06. 2015 Naphthalins Term r(\varphi) kann sehr leicht in eine Parameterkurve umgewandelt werden. Nach dem Satz des Pythagoras ist bekanntlich r(\varphi)\,=\,\sqrt{x^2(\varphi)+y^2(\varphi)} , so daß man mit x(\varphi) = r(\varphi)\cdot\cos(\varphi),\;y(\varphi)\,=\,r(\varphi)\cdot\sin(\varphi) bereits das Gewünschte hat. Gruß shadowking > ...
Re: Das Minimalpolynom algebraischer Zahlen
      von shadowking am Mi. 25. Februar 2015 02:08:51
Hallo Anonymous, ich fürchte, so wird Ihnen hier beim besten Willen niemand helfen können. Sie haben vermutlich per Suchmaschine nach "algebraische Zahl" o.Ä. gesucht und so diesen Artikel gefunden. Algebraisch (genauer: algebraisch über einem Ring wie z.B. dem der ganzen Zahlen) zu sein ist eine Eigenschaft, die gewissen Zahlen an sich zukommt, aber es gibt keine algebraischen Zahlen ...
Re: Superellipsen
      von shadowking am Fr. 05. September 2014 18:49:35
Es bleibt noch das Ergebnis von Gauß nachzurechnen, das ich hier verwendet habe, demnach _2F_1(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1)\,=\,\frac{\Gamma(1+\frac{1}{a})\cdot\Gamma(1+b)}{\Gamma(1+\frac{1}{a}+b)} ist. Dies kann gezeigt werden durch die Auswertung eines Doppelintegrals auf 2 Arten. Seien zunächst a, b \in \mathbb{R}^{+}, a, b \neq 0. \int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\exp(-x^a-y^{\frac{1 ...
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