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Eifallzahlen von Nuramon
       am So. 17. April 2022 20:18:43 - 262 mal gelesen - 1 Kommentare
Erst vor wenigen Tagen hat der Postillon über die bizarren Brauchtümer des "offenbar schwer gestörten Ehepaars" Sabrina und Dennis M. aus Kaiserslautern berichtet. Und jetzt sind die beiden Eifallspinsel schon wieder mit einem neuen Ritual aufgefallen: Sie suchen sich ein Hochhaus vor dem Dennis wartet, während Sabrina sich mit einem Korb voll Eier Zugang zum Balkon eines von ihr gew ...
Teilbarkeit von Binomialkoeffizienten durch Primzahlen und Primzahlpotenzen von Nuramon
       am Mi. 23. Februar 2022 18:00:03 - 424 mal gelesen - 4 Kommentare
Die Aussage, dass für eine Primzahl $p$ der Binomialkoeffizient $\binom pk$ für $1\leq k \leq p-1$ durch $p$ teilbar ist, ist für die meisten auf dem Matheplaneten wohl nicht neu. Weniger bekannt dürfte sein, wie man für einen beliebigen Binomialkoeffizienten $\binom nk$ effizient herausfinden kann, mit welchem Rest er durch $p$ teilbar ist, oder wie man die größte Potenz von $p$ findet, ...
Die trigonometrische Form der Fibonacci-Zahlen von easymathematics
       am Fr. 04. Februar 2022 20:49:17 - 398 mal gelesen - 4 Kommentare
In diesem kleinen, kurzen Artikel möchte ich eine besondere Form der Fibonacci-Zahlen vorstellen. \[ F_n = \frac{(-i)^{n+1} 2 \sqrt{5}}{5} \sin\bigl(in \ln(i \phi)\bigr), \] wobei \[ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \] (goldener Schnitt), \[ i^2 = -1 \] (imaginäre Einheit). Voraussetzungen: – Grundkenntnisse Fibonacci-Zahlen (Binet's Form) – Komplexe Zahlen – Bez ...
Hamilton's Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen von easymathematics
       am Di. 28. Dezember 2021 08:10:14 - 507 mal gelesen - 3 Kommentare
Hamilton's Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen Wir definieren "trikomplexe" Zahlen \(t\) der Form \(t = a + ib + jc\) mit reellen \(a,b,c\) und hyperkomplexen Einheiten \(i\) und \(j\) mit gewissen Eigenschaften. Wir diskutieren grundlegende Operationen (Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division), Eigenschaften, etwa Kommutativität und Assoziativität. Ferner definieren wir exp( ...
Von Schlangen und Hunden in Penrose-Parkettierungen von Slash
       am Fr. 29. Oktober 2021 17:54:00 - 440 mal gelesen - 4 Kommentare
In diesem Artikel werden aperiodische Kachelsätze aus je zwei Kacheln vorgestellt, die auf der bekannten Penrose-Rauten-Parkettierung basieren und bisher nicht veröffentlicht oder im Internet erwähnt wurden. Es wird auch eine Näherungslösung für eine sogenannte aperiodische Monokachel vorgestellt, deren Parkett fünf Arten von Lücken besitzt. Sätze von Protokacheln, welche d ...
Polynomdivision - Direkte Berechnung beliebiger Koeffizienten von easymathematics
       am Mo. 16. August 2021 18:59:39 - 416 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel möchte ich ein Verfahren vorstellen, welches mathematisch gesehen gewisse Ästhetik hat. Gegeben seien zwei Polynome \( a(x)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_i x^i \) und \( b(x)=b_1 x + b_0\). Dann gibt es bekanntlich zwei eindeutige Polynome \( q(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1} q_i x^i \) und \(r(x) = r\), s. d. \[a(x) = q(x)b(x) + r(x)\] gilt. Die Koeffizienten \(q_i\) kö ...
Stern Typische Beweismotive von Triceratops
       am So. 20. Juni 2021 16:23:34 - 1108 mal gelesen - 5 Kommentare
Typische Beweismotive Dies ist die Fortsetzung des Artikels Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann . Dort ging es um einfache Beweise, die sich schon alleine durch eine gute "Buchführung" der Definitionen, Voraussetzungen und Behauptungen hinschreiben lassen. In diesem Teil soll es nun um Beweise gehen, wo mehr Kreativität benötigt wird. Dazu stelle ich einige Beweismotive vor und ...
Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen von Triceratops
       am Do. 20. Mai 2021 12:49:04 - 753 mal gelesen - 1 Kommentare
Matrizen lernt man in Vorlesungen zur linearen Algebra üblicherweise als "rechteckige Zahlenschemata" kennen. In diesem Artikel werden Matrizen hingegen ausgehend von der Bestimmung der linearen Abbildungen zwischen direkten Summen von Vektorräumen hergeleitet. Die Matrixmultiplikation entsteht in diesem Kontext aus der Komposition von linearen Abbildungen. Damit bekommt man ein gutes Vers ...
Hüllenoperatoren von Triceratops
       am Mi. 21. April 2021 13:00:05 - 507 mal gelesen - 1 Kommentare
Mit Hüllenoperatoren lassen sich verschiedene Begriffe von Erzeugendensystemen (erzeugte Untergruppe, erzeugte $\sigma$-Algebra, konvexe Hülle, erzeugte Topologie, uvm.) und entsprechender abgeschlossener Mengen vereinheitlichen. Wir schauen uns auch die Rekursion an, welche die erzeugte Struktur schrittweise erzeugt. Bei Verknüpfungen unendlicher Stelligkeit wie zum Beispiel $\sigma$-Alg ...
Auf der Suche nach einer guten Strategie für das Spiel Isola auf dem 6x8 Brett von Delastelle
       am So. 18. April 2021 21:29:31 - 222 mal gelesen - 2 Kommentare
Die nachfolgenden Ideen sind nicht gänzlich neu ich möchte sie aber einmal in einem Artikel zusammenfassen. Ich habe 3 Rot-Isola-Strategien jeweils 10000 mal gegen 3 Blau-Isola-Strategien spielen lassen. Ich sehe Fortschritte in den Strategien, bin aber vom Ziel: "Wer gewinnt Isola Rot oder Blau?" noch einiges entfernt.> ...
Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes von easymathematics
       am Mo. 05. April 2021 20:51:12 - 563 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel soll es - anlässlich des Pi-Tags - um einen historischen Meilenstein in der Mathemtatik gehen. Aber "Fehler" und "Archimedes" in einer Überschrift? Wenn jemand 250 v. C. nur mit Stift und Papier die ein oder andere Nachkommastelle von Pi berechnet, können wir dann von "Fehler" reden? Ja! Aber in einem anderen Sinne. Es soll darum gehen ein Gefühl dafür zu bekomme ...
Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien von Triceratops
       am Sa. 20. März 2021 11:04:58 - 270 mal gelesen - 0 Kommentare
Üblicherweise studiert man universelle Eigenschaften von Objekten innerhalb einer festen Kategorie. Weil aber unter geeigneten Größenannahmen auch Kategorien eine Kategorie bilden (genauer gesagt, eine $2$-Kategorie), kann man auch universelle Eigenschaften von Kategorien selbst untersuchen. Wir beschäftigen uns hier ausschließlich mit kovollständigen Kategorien. Konkret fragen wir uns a ...
Über die Adjunktion von Wurzeln von Triceratops
       am Sa. 20. Februar 2021 08:27:16 - 347 mal gelesen - 0 Kommentare
Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der F ...
Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz von easymathematics
       am Fr. 29. Januar 2021 08:31:10 - 1139 mal gelesen - 19 Kommentare
Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz Hallo, in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen. (1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen? (2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen? (3) Sind beide Sätze sogar äquivalent? Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent. Anmerkung: Wir reden ...
Über Berührungen und Ableitungen von Triceratops
       am Di. 19. Januar 2021 06:36:43 - 372 mal gelesen - 0 Kommentare
In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relati ...
Optimale Steuerung bzw. Neuronales Netz mit variablen Gewichten - ein Beispiel von Delastelle
       am Mi. 06. Januar 2021 19:41:41 - 237 mal gelesen - 0 Kommentare
Im Artikel berechne ich die Lösung eines Problems der Optimalen Steuerung. Die Steuerungen u kann man auch als Gewichte w eines Neuronalen Netzes mit variablen Gewichten sehen. Gelöst wird das Achtproblem - hier mit 4 gewöhnlichen Differentialgleichungen. Zur Lösung werden Fortran und Matlab/Octave eingesetzt.> ...
Berechnung des ggT´s mit dem Satz von Pick von easymathematics
       am Mo. 04. Januar 2021 20:20:17 - 1049 mal gelesen - 4 Kommentare
In diesem Artikel soll es darum gehen den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen \(a,~b~> ~0\) mit dem Satz von Pick zu berechnen. Nachfolgendes Theorem verzichtet dabei auf herkömmliche Methoden: a) euklidischer Algorithmus b) Primfaktorzerlegung c) Beziehung zum kgV 1.1 Theorem: Für zwei natürliche Zahlen \(a,~b~> ~0\) gilt: \[ \mathrm{ggT}(a,b) = {a-b-ab+2 \ ...
Ein einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie von Triceratops
       am So. 20. Dezember 2020 06:01:00 - 785 mal gelesen - 0 Kommentare
Ich habe mir einen einfachen Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie überlegt. Er kommt gänzlich ohne Dimensionsargumente aus. Die eine Hälfte des Beweises ergibt sich letztlich aus Grundlagen über Homomorphismen in einen algebraischen Abschluss, wohingegen die andere Hälfte auf einem kombinatorischen Resultat basiert, nämlich dass ein Körper nicht als Vereinigung von endlich viel ...
Grundlagen der linearen Algebra über F_1 von Triceratops
       am Fr. 20. November 2020 14:29:42 - 461 mal gelesen - 0 Kommentare
Grundlagen der linearen Algebra über $\mathbb{F}_1$ Es gibt verschiedene Definitionen eines "Körpers mit einem Element", notiert mit $\IF_1$. In diesem Artikel stellen wir die wohl einfachste davon vor und betreiben etwas lineare Algebra darüber: Ein $\IF_1$-Vektorraum ist ganz einfach eine punktierte Menge, und $\IF_1$ ist $(\{0,1\},0)$. Lineare Algebra über $\IF_1$ ist also eng mit Kombin ...
Einführung in q-Binomialkoeffizienten von Triceratops
       am Di. 20. Oktober 2020 06:42:45 - 732 mal gelesen - 3 Kommentare
Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Ko ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Magic Numbers
      von wladimir_1989 am Sa. 23. April 2022 00:43:23
Herzlichen Glückwunsch!!!> ...
Re: Eifallzahlen
      von Slash am Mo. 18. April 2022 08:58:26
Schön, dass du dich des Oster-Themas angenommen hast und danke für diesen kurzweiligen Artikel. 👍 In diesem Sinne: Frohe Ostern! 😎> ...
Re: Tanzende Kreise
      von easymathematics am Mo. 11. April 2022 16:46:58
Sehr schön gemacht. Danke hierfür.> ...
Re: Schiefer Wurf mit Luftwiderstand - Teil III
      von am Mo. 11. April 2022 16:18:52
Ich bin auf diesen Artikel gestoßen, bei der Frage wie weit ein Geschoß (KE-Munition Leopard 2 z.B., kein Drall, flügelstabilisiert) tatsächlich fliegt (wenn Luftreibung eine Rolle spielt). Die Elevation der waffe ist zwischen -6° und +20° limitiert. Die Daten sind leicht zufinden: V0=1750m/s, "Abwurfwinkel" 20° ergibt für die Wurfhöhe 18,2591 km und für die Wurfweite 200,666 km (beim id ...
Re: Tanzende Kreise
      von Slash am Sa. 09. April 2022 00:49:56
Klasse Artikel! Genau mein Ding. 👍 😎 Gruß, Slash> ...
Re: Tanzende Kreise
      von Diophant am Fr. 08. April 2022 22:37:36
Cool (und klasse umgesetzt), vielen Dank dafür! Gesehen habe ich so etwas noch nie. Gruß, Diophant> ...
Re: Transformationsgleichungen für die kinetische Energie
      von Roland17 am Do. 07. April 2022 09:45:28
An zippy von Roland17: In der Tat habe ich einen alten, nicht veröffentlichten Aufsatz zu dem Thema ohne das einführende Paradox. Als ehemaliger Lehrer habe ich dann aber dieses Motivationsbeispiel vorangestellt. Es hat bei Ihnen ja auch gewirkt - nur leider nicht so weit wie gewünscht. Bei künftigen Artikeln werde ich darauf verzichten. Hätten Sie weitergelesen, hätten Sie gesehen, dass a ...
Re: Jahrtausendproblem gelöst?
      von Dixon am Mi. 06. April 2022 04:32:45
Verehrter Herr ver Wuenschmi, wo sie waren weiß ich auch nicht, aber sie aßen wohl zu Mittag, 22.Jahrhundert und bewunderten Einen Gut Eingerichteten Planeten namens Leonida: irgendwo in ihren Köpfen. Mit der Flagge der Fährtensucher (dt. Übersetzung). Mahlzeytliche Grüße Dixon> ...
Re: Transformationsgleichungen für die kinetische Energie
      von zippy am So. 03. April 2022 15:11:55
Ich habe den Artikel nur bis zu der Aussage "Das ist doch paradox" gelesen, denn dieses scheinbare Paradoxon beruht lediglich auf einem Fehler bei der Berechnung eines inelastischen Stoßes. Ich sehe keinen Sinn darin, mit einem Fehler zu starten, um diesen eigenen Fehler dann unter Trommelwirbel wieder zu beseitigen. In beiden Fällen (also Stoß des PKW gegen den LKW und Stoß des PKW gegen d ...
Re: Jahrtausendproblem gelöst?
      von Leonardo_ver_Wuenschmi am Sa. 02. April 2022 22:48:54
Verehrter Herr Dixon, vielleicht waren die Herren A. und B. damals nicht nahe des Atomvulkans Golkonda, sondern auf der Rückseite unseres MP?? Man weiß es nicht. Freundlichst Leonardo ver Wuenschmi > ...
Re: Jahrtausendproblem gelöst?
      von matroid am Sa. 02. April 2022 11:44:54
Ja Wahnsinn! Und das genau an dem Tag „900 Mio Jahre nach dem Urknall“, an dem der entfernteste Stern entdeckt wurde. Das hat ja sicherlich einen Zusammenhang, zumindest inspiriert es. Gruß Matroid > ...
Re: Jahrtausendproblem gelöst?
      von Dixon am Sa. 02. April 2022 03:13:42
Höchstvereherter buh, "Das regelmäßige Siebeneck ist vermutlich Grundlage einer reversen Ingenieurskunst.*** ***: Deren hervorstechendes Merkmal ist die Verwendung von Siebenkantmuttern," - das kenne ich doch irgendwoher. Es könnte ein Roman von den Strugatzkis sein, in welchem die Fahne mit einer Siebenkantmutter darauf das Erkennungszeichen der Sucher nach intelligentem Leben ist (ode ...
Re: Magic Numbers
      von buh am Mi. 23. März 2022 07:40:59
Da habe ich wohl die Prägestempelsätze verwechselt. 🤯 Gruß von buh 2k+22 > ...
Re: Magic Numbers
      von Slash am Mi. 23. März 2022 07:19:36
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/8038_kerze_artikel.jpg Ist tatsächlich 'ne 5, aber im Gegensatz zum "4²" wurde das "+5" der Krümmung der Kerze angepasst, was im Zusammenspiel mit einem Nicht-Arial-Zeichensatz dann zu dieser Verzerrung bzw. Verengung führte. Das wäre meine Theorie dazu 😎. Gruß, Slash> ...
Re: Magic Numbers
      von Dixon am Mi. 23. März 2022 02:15:02
Einen Herzlichen Glückwunsch auch von mir. :-) Allerdings: Steht da wirklich 4²+5 auf der Kerze? Die 5 sieht für mich irgendwie wie eine 6 aus... Grüße Dixon> ...
Re: Magic Numbers
      von buh am So. 20. März 2022 22:10:16
> ...
Re: Elemente der Kategorientheorie
      von Triceratops am Sa. 19. März 2022 23:15:03
Weil es noch niemand gesagt hat: Das ist ein richtig toller Artikel. Erwähnenswert ist noch, dass der allgemeine Elementbegriff auch einige Konzepte aus der Topologie vereinheitlicht: Für einen topologischen Raum $X$ haben wir die folgende Übersetzung: $\{\star\}$-Elemente von $X$ = Punkte von $X$ $[0,1]$-Elemente von $X$ = Wege in $X$ $S^1$-Elemente von $X$ = Schleifen in $X$ $\IN \cup ...
Re: Magic Numbers
      von buh am Sa. 19. März 2022 22:40:50
Tja cramilu, die 4 auf der Kerze war schon da, das Quadrat ereignete sich 2017, und da ich die Kerze nicht runterbrennen lasse, um sie eventuell wiederzuverwenden, blieb nicht mehr viel Spielraum. Gruß von buh 2k+22 > ...
Re: Magic Numbers
      von cramilu am Sa. 19. März 2022 12:19:03
Potztausend: \(4^2\,+\,5\;=\;5^2\,-\,4\) Verehrter buh , da hättest Du sogar noch ein Strichlein einsparen können. Auch nett: \(\Phi+e+\pi\;+\;\Phi\cdot e\cdot\pi\;\approx\;\Phi^2+e^2+\pi^2\;+\;\sqrt{2}\;\approx\;21\) Very nice it is to be living on this great MP! > ...
Re: Magic Numbers
      von Slash am Sa. 19. März 2022 07:06:00
...17 und 4 ...21 Jump Street ...legal beer in the USA ...H A P P Y B I R T H D A Y M P ! 😎> ...
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