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Pi und die Gammafunktion von jjzun
       am So. 03. Oktober 2021 09:00:15 - 461 mal gelesen - 3 Kommentare
Ich möchte in diesem Artikel zeigen, wie man nur mit elementarer Analysis und etwas Trigonometrie einige neue Werte der Gammafunktion im Intervall (0,1) ausrechnen kann. Es soll hier eher um die Grundidee gehen, darum bin ich an manchen Stellen nicht rigoros. Die Inspiration dazu kommt (mal wieder) von Carl Friedrich Gauß. Der junge Carl Friedrich beschäftigt sich nämlich bereits 1796 a ...
Wachstumsfunktionen in der Anwendung von Ueli
       am Do. 08. April 2021 00:00:50 - 373 mal gelesen - 4 Kommentare
Einleitung Die berühmteste Gleichung dürfte zur Zeit diejenige für das exponentielle Wachstum sein. Ob wir wollen oder nicht, Tag für Tag sehen wir die Kurven der Corona Neuinfektionen. Es soll hier aber nicht zentral um die Krankheit gehen, sondern um verschiedenen Anwendungen der Wachstumsgleichungen und deren Darstellungen. Daher habe ich Beispiele aus verschiedenen Gebieten betrachtet, ...
Stern Die Taylorentwicklung mit linearer Algebra verstehen von Vercassivelaunos
       am Mi. 01. Juli 2020 18:12:01 - 668 mal gelesen - 1 Kommentare
Die Grundidee der Ableitung einer Funktion $f$ ist, dass die Ableitung eine lineare Näherung von $f$ darstellen soll. In der Analysis 1 tut sie dies für gewöhnlich in Form der Tangentensteigung. Die Ableitung ist die Steigung einer (affin) linearen Funktion, deren Graph sich an den von $f$ anschmiegt. In der Analysis 2 wird das Konzept der linearen Näherung auf mehrere Dimensionen ausgeweitet ...
Stern Ein schöner Grenzwert von Wauzi
       am Do. 08. Februar 2018 16:04:56 - 1249 mal gelesen - 5 Kommentare
Grenzwertbetrachtungen mit der Zahl e \ \ \boxon\big\Die Folge (1+1/n)^n mit ihrem Grenzwert e ist vielen noch von der Schule bekannt. Und es war bereits Euler, der die naheliegende Verallgemeinerung bewies: lim(n-> \inf,(1+1/q(n))^q\(n\))=e wobei mit n auch die Folge q(n) gegen unendlich geht. Für feste natürliche Zahlen m folgt hieraus lim(n-> \inf,(1+m/n)^n)=e^m wi ...
Partialbruchzerlegung von 1/(1+x^N) von cis
       am Fr. 05. Februar 2016 08:19:01 - 569 mal gelesen - 0 Kommentare
\ \ Etwa für das Integral int(1/(1+x^N),x) lässt sich die heranziehen; diese ist Gegenstand des folgenden Artikels. \ > ...
Einige höhere trigonometrische Identitäten von cis
       am So. 18. Oktober 2015 15:31:53 - 1160 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel werden verschiedene Darstellungen hergeleitet für • Winkelfunktionen für positiv-ganzzahlige Vielfache \boldsymbol{\sin(nx),~ \cos(nx)} • Potenzen der Winkelfunktionen \boldsymbol{\sin^n(x),~ \cos^n(x)} • Trigonometrische Summen vom Typ \boldsymbol{\sum\limits_{k=0}^n\cos(a_k t)} bzw. \boldsymbol{\sum\limits_{k=0}^n\sin(a_k t)} sowie d ...
Die Lemniskate von shadowking
       am Di. 21. Juli 2015 22:12:16 - 2740 mal gelesen - 5 Kommentare
\color{blue}\textsl{\huge{\bf{}}} Dieser Artikel gilt einer faszinierenden algebraischen Kurve vierten Grades, die in verschiedenen Bereichen auftaucht und forschungsgeschichtlich von Bedeutung ist. Ihr Name leitet sich von lateinisch „lemniscus“ ab, was „Schleife“ bedeutet. Sie symbolisiert die Unendlichkeit, weshalb das mathematische Symbol für „Unendlich“ (∞) eine ...
Der Logarithmus - Einführung, Verwendung von cis
       am Do. 07. August 2014 02:00:10 - 3817 mal gelesen - 39 Kommentare
Bei der google-Suche nach "Logarithmenregeln" o.ä. wurde ich nicht glücklich. So waren oft ungünstige Symbole gewählt, davon einmal abgesehen, wurden die Rechengesetze sehr oft nur teilweise oder gar nicht hergeleitet bzw. bewiesen. Bei Grundaufgaben wie Bruchrechnung, Potenzrechnung, Wurzelrechnung, scheint insbesondere der Umgang mit dem Logarithmus vielen Neuanwendern Schwierigkei ...
Quasi-arithmetische Mittel und ihre Hintereinanderausführung von rocolo
       am Fr. 05. Juli 2013 17:17:45 - 1325 mal gelesen - 2 Kommentare
Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist eine sehr wichtige und bekannte Ungleichung aus der Analysis, die vielfältig Anwendung findet. In diesem Artikel werden wir uns zunächst damit beschäftigen wie man allgemeinere Mittel definieren kann und kommen dadurch auf den Begriff des quasi-arithmetischen Mittels. Im zweiten Teil wird es um Ungleichungen zwischen quasi-arith ...
Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion von shadowking
       am Mo. 18. März 2013 15:07:46 - 2528 mal gelesen - 3 Kommentare
Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion Alles beginnt mit der Fourierreihe einer Rechteckpulsfunktion: \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}=\frac{\pi}{4} im Bereich ]0,\pi[ . Bild 1: Fouriersumme der Rechteckfunktion bis zum 23. Summanden. Im Grenzfall unendlich vieler Summanden erhält man den Rechteckpuls. ...
Brachistochrone revisited von shadowking
       am So. 24. Juni 2012 12:00:40 - 1584 mal gelesen - 0 Kommentare
Als ich mir zuletzt das Brachistochronenproblem wieder durch den Kopf gehen ließ, ist mir ein schnellerer und unkomplizierterer Weg eingefallen, das Endergebnis zu erhalten. Insbesondere kann auf den Apparat der Variationsrechnung ganz verzichtet werden, wenn man das Snellius'sche Gesetz als Resultat eines Minimalprinzips auffaßt.> ...
Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten von DanielW
       am Do. 19. Mai 2011 12:53:53 - 9120 mal gelesen - 9 Kommentare
Obwohl ich erst relativ kurze Zeit auf dem Matheplaneten aktiv bin, fiel mir auf, dass Hilfesuchende bei einem ganz bestimmten Thema die Suchfunktion scheuen wie der Teufel das Weihwasser. Daher soll mein zweiter (es sollte ursprünglich der erste werden) Artikel von dem engumrissenen und häufig nachgefragten Thema "Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Inhomogenität v ...
Direkte Berechnung von Bernoulli-Zahlen von trunx
       am Fr. 28. Januar 2011 08:45:44 - 3449 mal gelesen - 2 Kommentare
Die Bernoulli-Zahlen B i sind zunächst einmal definiert als die Koeffizienten in der Taylor-Entwicklung von: \ f(x)=x/(e^x -1)=sum(B_i\.x^i,i=0,\inf) wobei f(x) die erzeugende Funktion ist. Sie lassen sich am einfachsten rekursiv mittels \ sum((n;k)| B_k ,k=0,n-1)=0 berechnen, wobei B o =1 ist. Hier hat W. Hecht gezeigt, wie man Summen von Potenzen ohne Rekursion berechnen kann, wa ...
Ein interessantes Beispiel zu Rotationskörpern von mathema
       am So. 19. Dezember 2010 10:10:00 - 1342 mal gelesen - 4 Kommentare
\ \ \ \big\ Rotationskörper und uneigentliche Integrale: \ \ Das folgende einfache Beispiel für die Berechnung eines Rotationskörpers finde ich auch beim (n+1)-ten Draufschauen immer noch schön: Wiederholt werden darin 1. die Berechnung uneigentlicher Integrale (erster Art) und deren Konvergenz, 2. die Berechnung von Rotationskörpern. Zudem ist das Beispiel absolut ...
Stern Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4) von mathema
       am Fr. 17. Dezember 2010 13:09:50 - 3284 mal gelesen - 4 Kommentare
Von der weitreichenden Bedeutung der Zeta-Funktion für die Funktionen- und Zahlentheorie und der Riemannschen Vermutung handelt dieser Beitrag nicht. Er zeigt nur eine einfache Berechnung zweier Werte. Diese Ergebnisse fallen typischerweise in der klassischen Analysis-Vorlesung als Resultate bei der Betrachtung der Fourierreihen ab. Hier wird ein anderer Zugang gewählt. Die Zeta-Funktion sei ...
Analysis I - §5 Reihen von FlorianM
       am So. 13. Dezember 2009 13:06:00 - 6557 mal gelesen - 4 Kommentare
da_bounce und FlorianM schreiben: §5 Reihen Wir geben in diesem Kapitel nun eine Art Anwendung des Folgenbegriffs, indem wir Reihen untersuchen. Reihen sind nichts anderes als Folgen der Partialsummen. Um diesen Artikel zu verstehen, solltet ihr also wissen, was man unter einer Folge versteht. Des Weiteren werden wir vor allem Konvergenzkriterien für Reihen anführen, b ...
Die Kardioide als Hüllkurve von Hans-Juergen
       am Do. 03. September 2009 15:33:29 - 2324 mal gelesen - 5 Kommentare
Bei einer früheren Gelegenheit [1] beschäftigte ich mit den Einhüllenden von Kurvenscharen. Hier folgt ein weiteres Beispiel, das wahrscheinlich schon längst bekannt ist, mir aber bisher noch nicht auffiel. (Ich habe auch nicht danach gesucht, weder in Büchern noch im Internet.) > ...
Funktionaltransformationen von Ueli
       am Do. 30. Juli 2009 19:24:31 - 10109 mal gelesen - 5 Kommentare
Teil 1: Motivation zur Fouriertransformation Gegen das mathematische Ende des Elektrotechnik-Studiums wird man zu den gelangen. Es ist ein wichtiges Ziel der Ausbildung diese Transformationen anwenden zu können. Sie sind sozusagen das Schweizer Sackmesser des Elektroingenieurs. Diese Artikel zielen in erster Linie auf die praktische Anwendung ab. Die Transformationen wurden in Artikeln ...
Fourier-Polynome aufstellen von ganzir
       am Di. 07. Juli 2009 12:33:15 - 9681 mal gelesen - 12 Kommentare
Zahlreiche Studenten der Naturwissenschaften müssen sich mit dem Aufstellen von Fourier-Polynomen auseinandersetzen. Während für Mathematik- und Physikstudenten die formale Sprache der Mathematik meist keine große Hürde mehr darstellt, haben viele Biologie- und Chemie-Studenten oder andere Studenten, die sich mit dieser Thematik zu befassen haben, bereits einige Schwierigkeiten die mathematis ...
Analysis I - §4 Folgen von FlorianM
       am Di. 24. Februar 2009 23:15:02 - 17233 mal gelesen - 11 Kommentare
da_bounce und FlorianM schreiben: §4 Folgen Nachdem der letzte Teil Nummer 3 sehr abstrakt war, wird es jetzt wieder etwas anschaulicher werden. In diesem Artikel tauchen wir eigentlich erst richtig in die Analysis I ein. Wir werden hier das erste Mal Kontakt mit dem Unendlichen und den Grenzwertbegriffen von Folgen haben. Folgen werden euch im ersten Semester sehr oft be ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Alles ist trivial!
      von Bernhard am So. 21. November 2021 00:52:15
Hallo StrAltEntf! Der Ausdruck "ich habe die Frage nicht verstanden" bezieht sich quasi auf ein Übermittlungsproblem. Jemand möchte helfen, das Anliegen ist ihm aber nicht ganz klar und er bittet um Erläuterung. In dem von mir verlinkten Forum ging es darum, mehrmals auf eine Frage hin eine "Nicht-Antwort" kam. Statt sich zurückzuhalten, hatten Leute gemeint, unbedingt etwas schreiben zu m ...
Re: Alles ist trivial!
      von StrgAltEntf am So. 21. November 2021 00:17:31
@Bernhard (20. Nov. 2021 00:46:57): Ich habe eigentlich nicht den Eindruck, dass das zum Matheplaneten passt. Hast du hier ein (oder sogar viele) Beispiel(e)? Ein "ich habe die Frage nicht verstanden" finde ich übrigens mitunter hilfreicher als überhaupt keine Antwort. Aber vielleicht habe ich deine Kritik am MP auch falsch verstanden. Grüße StrgAltEntf> ...
Re: Alles ist trivial!
      von Red_ am Sa. 20. November 2021 17:18:57
Schöner Artikel, stimme Kezer völlig zu in allen Aspekten (den Teil mit dem Entledigen der ''eigenen Dummheit'' durch das Hinzufügen dieser Sätze ist auch sehr gut durchdacht). Und zu fragen ,,bin ich jetzt fertig?'' ist einfach unlogisch. Wenn ich in Büchern ,,Trivial.'' lese, dann lese ich es so ,,Setz dich hin und versuche es selbst, es gibt einen einfachen Weg. Finde diesen.'' > ...
Re: Alles ist trivial!
      von Bernhard am Sa. 20. November 2021 00:46:57
Hallo! Das gehört zwar nicht direkt zum "trivial", aber ist doch irgendwie verwant, weil es sich auch um überflüssigen oder unpassenden Gebrauch von Redewendungen im Internet dreht. Da hatte man in einem anderen Forum (tutonaut) Problem mit "Ich habe keine Ahnung" u.ä. Könnte auch zu uns passen: „Weiß ich nicht“ gehört nicht ins Internet! Viele Grüße, Bernhard> ...
Re: Alles ist trivial!
      von StrgAltEntf am Fr. 19. November 2021 18:19:17
N'abend, kürzlich habe ich selbst das T-Wort verwendet. Erst danach bin ich auf diesen Artikel gestoßen. Es ging um eine Aufgabe, die der Aufgabensteller vielleicht als Scherzfrage gemeint hat. Siehe hier: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=256332&post_id=1862057 Dem TS konnte ich aber irgendwie nicht klarmachen, dass es bei der Aufgabe nur darum ging, die ...
Re: Alles ist trivial!
      von Bernhard am Do. 18. November 2021 23:29:25
\quoteon(Auch außerhalb der Mathematik hat man manchmal "ein Brett vor dem Kopf" oder "sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht".) \quoteoff Stimmt schon, aber in beiden Fällen ist das Holz außerhalb des Kopfes, und zum Glück nicht der Kopf selber! Es besteht also noch Hoffnung! 😄 Tschuldigung, das konnte ich mir jetzt doch nicht verkneifen... Bernhard> ...
Re: Alles ist trivial!
      von Ixx am Do. 18. November 2021 22:21:25
Moin zusammen, anders als viele hier behaupte ich, dass der Komplexitätshinweis "trivial", "einfache Übungsaufgabe" o.Ä. durchaus seine Berechtigung hat -- etwa als Gegensatz zu "nach längerer Rechnung folgt" o.Ä. Er zeigt an, welcher Umfang/ welche Tiefe (oder eben Komplexität) benötigt bzw. erwartet wird, um die entsprechende Aussage zu zeigen, oder worum es auch immer gerade geht. Und ...
Re: Alles ist trivial!
      von Kezer am Do. 18. November 2021 09:45:00
@Bernhard Danke für den Einwurf! Stimmt, ich habe auch schon auf dem MP beobachten können, dass einige sowas sogar bewusst machen. Und wenn es bewusst ist, ist es schon ein wenig dreist - als ob es eine Selbstverständlichkeit wäre, dass Forumsmitglieder ihre Zeit aufwenden um anderen Leuten zu helfen. Aber immerhin ist die Druckausübung in der Regel nicht die Absicht (hoffe ich!).> ...
Re: Alles ist trivial!
      von Bernhard am Mi. 17. November 2021 23:20:06
Hallo Kezer & Triceratops! Es geht hier ja eigentlich um zwei Probleme, die gerade abwechselnd diskutiert werden: 1.) Die "Trivialitätserklärung" des Fragestellers. 2.) Die "Trivialitätsbehauptung" des antwortenden Mitglieds. Auf letzteres sind Triceratops u.A gerade eben eingegangen. Das erste Problem hatte ich ganz oben bereits behandelt und das Phänomen, sich aus Angst vor Krit ...
Re: Alles ist trivial!
      von nzimme10 am Mi. 17. November 2021 22:41:46
@Kezer: Deine letzte Anmerkung fällt mir auch hier auf dem MP in letzter Zeit immer mal wieder auf. LG Nico> ...
Re: Alles ist trivial!
      von Kezer am Mi. 17. November 2021 19:57:34
Noch eine Sache, die ich vergessen habe, welche ich aber gerade auf MSE wieder gesehen habe. Einige fragen: "Bin ich jetzt fertig?" oder "Ist die Aufgabe jetzt trivial?" Das ist auch etwas, das man nie fragen sollte. Wenn man nicht weiß, ob man "fertig" ist, dann ist man einfach nicht fertig. Denn so hat man noch keine vollständige Argumentation verstanden. Es mag sein, dass ein erfahrener ...
Re: Alles ist trivial!
      von Kezer am Mi. 17. November 2021 13:06:38
@LetsLearnTogether Ja, natürlich sollte man selber einige Sachen nachprüfen, wenn man einen mathematischen Text liest. Dazu muss der Autor aber nicht schreiben, dass etwas trivial ist, sondern kann anmerken, dass es hier etwas zu überprüfen gibt. Ob es leicht ist, kann der Leser dann selber entscheiden. Die Formulierungen "Wir empfehlen den Leser ... nachzurechnen." "Hier ist noch etwas ...
Re: Alles ist trivial!
      von Triceratops am Mi. 17. November 2021 10:44:39
Danke Kezer für diesen Artikel. Ich unterstütze dein Anliegen. Ein weiteres Problem an der Aussage "Das ist trivial" (und äquivalenten Formulierungen wie "Das ist sofort klar") ist auch, dass sie völlig uninformativ ist. Gerade wenn man einen Artikel oder ein Buch schreibt, könnte man diesen Platz viel sinnvoller dafür verwenden, zumindest anzudeuten, warum die Aussage gilt und damit de ...
Re: Alles ist trivial!
      von Diophant am Di. 16. November 2021 20:50:35
@LetsLearnTogether: Ja, da sprichst du ja eigentlich auch nochmal Kezers Kernanliegen an: das wichtigste bei all dem ist letztendlich, aus welcher Haltung heraus man so etwas schreibt. Ich denke, wenn etwas gut und hilfreich gemeint ist, dann kommt es in aller Regel auch so an. Oder wie sagt das Sprichwort: Wie man sich bettet, so tönt es heraus (oder irgendwie so ähnlich?) 😉 Gruß, ...
Re: Alles ist trivial!
      von LetsLearnTogether am Di. 16. November 2021 20:41:40
Wobei man mit solchen Formulierungen "das ist trivial" ja auch umgehen lernt, und es gehört ja auch zum Lesen von mathematischen Texten dazu, dass man mal einen Stift dazu nimmt, und sich Sachen auch mal überlegt. Ich finde es zum Beispiel manchmal anstrengend, wenn ein Autor alles vorkaut, und diese Formulierungen sind ja mitunter auch Übungsaufgaben im Text. Ebenso kann eine solche Form ...
Re: Alles ist trivial!
      von Kezer am Di. 16. November 2021 19:45:10
@Diophant Anstatt zu sagen es sei trivial, finde ich die Formulierung "Da $g$ linear ist, gilt $g(0) = 0$." besser.> ...
Re: Alles ist trivial!
      von Diophant am Di. 16. November 2021 18:46:58
@LetsLearnTogether: Zunächst OT: Das mit der Diskussion hier geht schon in Ordnung. Das ist im Prinzip der Sinn und Zweck von Artikelkommentaren (anfangs hatten die hier sogar extra eine Baumstruktur, um das noch vertiefen zu können). Um nun meinen obigen Kommentar nochmal etwas zu erläutern: ein solches Beispiel wie die Rechenregeln in Körpern ist für mich auch ein Beispiel, wo das fehl ...
Re: Alles ist trivial!
      von LetsLearnTogether am Di. 16. November 2021 18:29:55
@Kezer: Ich habe in meinem Kommentar oben das Wort "trivial" mit Augenzwinkern benutzt, um es nochmal ins absurde zu führen. Ich finde manchmal gerade solche "Trivialitäten" schwer zu beweisen. Erstmal muss man ja auch erkennen, dass hier etwas zu beweisen ist. Zum Beispiel diese ganzen Rechenregeln in Körpern. Die sind jedem Schüler bekannt, und man benutzt sie all die Jahre. Dan ...
Re: Alles ist trivial!
      von Kezer am Di. 16. November 2021 14:16:44
Vielen Dank für die ganzen Kommentare, es hat mich sehr gefreut! Daran habe ich gemerkt, dass ich stilistisch einiges anders hätte machen sollen/können und einige Themen noch hätte diskutieren können. Ich hätte vielleicht weniger das Wort "trivial" betonen sollen, da das Wort selbst gar nicht die Thematik hier ist. @easymathematics: Ja! Darum geht es in diesem Artikel allerdings nicht ...
Re: Alles ist trivial!
      von Diophant am Di. 16. November 2021 10:10:01
Hallo Kezer, Dann möchte ich mal noch etwas Salz in die Suppe streuen. ;-) Grundsätzlich geht es dir ja eigentlich nicht so sehr um das "T-Wort", sondern mehr darum, mit welcher Haltung man bzw. wir mit unserem Wissen umgehen sollten bzw. mit welcher Haltung wir anderen begegnen sollten, die an einer Stelle weniger wissen als wir und deshalb eine Frage stellen. Aber auch: mit welcher Haltu ...
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