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Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Warum ist die Basiswechselmatrix so definiert, wie sie definiert ist?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-27
Dusia_mag_LA
 

2021-02-09 16:04 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
lies doch mal auf der Wikipedia-Seite die beiden ersten Abschnitte 'Basiswechselmatrix' und 'Spezialfälle' im Zusammenhang. Dort wird deine Frage eigentlich schon erschöpfend beantwortet.

Ich habe es gerade nochmal angeschaut und mir ist immer noch nicht klar, warum die Reihenfolge eben "Alter Vektor = Koeffizient mal neuer Vektor" ist. Wenn die Koeffizienten doch für "von alt nach neu" sind, warum ist es dann nicht "Neuer Vektor = Koeffizient mal alter Vektor".

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Verwirrung um Basen bei Darstellungsmatrix  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-26
Dusia_mag_LA
 

Vielen Dank für deine Antwort.

Tut mir leid, aber die Frage war nicht, wie man die Matrix bestimmt, sodass $(1, 0)^T$ rauskommt - sondern warum, wenn man die Darstellungsmatrix anwendet, nicht der Funktionswert rauskommt.

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Verwirrung um Basen bei Darstellungsmatrix  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-26
Dusia_mag_LA
 

Sei $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ mit

$
f((1, 1, 1)^T) = (1, 0)^T \\
f((0, 2, 0)^T) = (2, 2)^T \\
f((0, 0, -1)^T) = (1, 1)^T
$

und als Basen

$
B = ((1, 1, 1)^T, (0, 2, 0)^T, (0, 0, -1)^T) \\
C = ((1, 0)^T, (0, 1)^T)
$

dann ist die Darstellungsmatrix

$
M^B_C(f) = \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{smallmatrix}\bigr)
$

Wenn das soweit stimmt, warum kommt dann nach Anwenden der Darstellungsmatrix auf einen der Vektoren nicht der erwartete Funktionswert heraus?

$
M^B_C(f) \cdot (1, 1, 1)^T = (4, 3)^T \neq (1, 0)^T = f((1, 1, 1)^T)
$

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Spezialfall V = K^n ?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-09
Dusia_mag_LA
 

Okay, also zum Beispiel, wenn der Vektorraum ein Funktionenraum ist, dann geht das nicht. Der "Spezialfall" $V = K^n$ ist entsprechend eher der "Normalfall" - nur eben nicht der "allgemeine Fall". Und nur wenn man mit abstrakteren, "abgespaceten" Räumen arbeitet, dann muss man aufpassen.

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Warum ist die Basiswechselmatrix so definiert, wie sie definiert ist?  
Themenstart
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Dusia_mag_LA
 

Wenn ich höre, dass $T_{AB}$ die Basiswechselmatrix von der Basis $A$ in die Basis $B$ ist, dann hätte ich eigentlich erwartet, dass gilt $B = T_{AB} \cdot A$, sprich "Die neue Basis $B$ bekomm ich, indem ich die Wechselmatrix $T_{AB}$ auf die alte Basis $A$ anwende". Meine Intuition ist da aber anscheinend völlig falsch, denn richtig ist stattdessen: $A = B \cdot T_{AB}$.

Kann mir jemand sagen, ob ich was falsch verstanden habe? Lässt sich das irgendwie erklären?

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Spezialfall V = K^n ?  
Themenstart
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Dusia_mag_LA
 

Warum ist auf Wikipedia V = K^n ein Spezialfall, was kann man denn noch haben außer  V = K^n ? Und wie kann man die Basiswechselmatrix berechnen wenn es kein Spezialfall ist?  

Link:
de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)#Basiswechselmatrix

Vektorräume
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Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Anschaulicher Weg von Basiswechsel in Standardbasis  
Beitrag No.6 im Thread
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Dusia_mag_LA
 

2021-02-07 17:06 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
nein, dort in dem anderen Thread ist alles richtig (wie ich in meiner dortigen Antwort ja auch geschrieben habe).

Alles klar, danke! Dann jetzt also die verbesserte Version: Angenommen ich hab eine Basis A = $\left(\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}\right)$ und die Standardbasis $S = \left(\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}\right)$.

Dann ist $T_{SA}$ Basiswechselmatrix von $S$ nach $A$ mit $T_{SA} = \begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 4
\end{pmatrix}$

Und $T_{AS}$ die Basiswechselmatrix von $A$ nach $S$ mit $T_{AS} = {T_{SA}}^{-1} = \begin{pmatrix}
-2 & \frac{3}{2} \\
1 & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$

Wobei $T_{SA}$ einfach abgelesen wird. Und $T_{AS}$ wird über die Inverse ausgerechnet.

Stimmt das so?

Vektorräume
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Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Anschaulicher Weg von Basiswechsel in Standardbasis  
Beitrag No.5 im Thread
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Dusia_mag_LA
 

2021-02-07 16:37 - reik in Beitrag No. 3 schreibt:
2021-02-07 15:54 - Dusia_mag_LA im Themenstart schreibt:
Stimmt das und gibt es einen anschaulichen Weg, wie das geht?

Wird sehr anschaulich hier animiert und erklärt.

Cool, danke für den Link :)

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Anschaulicher Weg von Basiswechsel in Standardbasis  
Beitrag No.2 im Thread
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Dusia_mag_LA
 

2021-02-07 16:04 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
es ist gerade andersherum

Aaaah oh nein 🙈 Ich hatte sowas schon vermutet. Siehe auch hier meine Frage dazu LinkNotation Darstellungsmatrix und Basiswechselmatrix Dann ist das also auch falsch?

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Anschaulicher Weg von Basiswechsel in Standardbasis  
Themenstart
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Dusia_mag_LA
 

Angenommen ich hab eine Basis X = $\left(\begin{pmatrix}
1\\
2
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}\right)$ und suche die Basiswechselmatrix $T_{XS}$ von $X$ in die Standardbasis $S = \left(\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}\right)$.

Ich denke, man kann das einfach ablesen und es ist $T_{XS} = \begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 4
\end{pmatrix}$. Stimmt das und gibt es einen anschaulichen Weg, wie das geht?

Notationen, Zeichen, Begriffe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Notation Darstellungsmatrix und Basiswechselmatrix  
Themenstart
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Dusia_mag_LA
 

Es scheint zwei gängige Notationen von Darstellungsmatrix und Basiswechselmatrix zu geben. Stimmt das so, wie ich das verstehe?

$M^A_B(f) = M_{AB}(f)$ ist die Darstellungsmatrix einer Funktion $f$.

$T^A_B = M^A_B(id) = M_{AB}(id) = T_{AB}$ ist die Basiswechselmatrix von $A$ nach $B$.

(Also, stimmt das ${}^A_B$ und ${}_{AB}$ und auch die Reihenfolge $\textbf{von}$ und $\textbf{nach}$?)

Vektorräume
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Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Was genau ist die "Basis" eines Vektors?  
Beitrag No.10 im Thread
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Dusia_mag_LA
 

2021-02-02 18:05 - AlphaSigma in Beitrag No. 9 schreibt:
In der Regel nimmt man die gleiche Basis für alle Vektoren, die man gerade betrachtet.

Ja, das macht natürlich Sinn. Nur geht es bei mir gerade um Basiswechsel und dann gibt es eben leider mehrere verschiedene Basen. Daher die Verwirrung.

Jetzt frag ich mich nur, warum die Basis nicht geordnet sein muss? Muss sie erst dann geordnet sein, sobald man die Elemente der Basis in einer Matrix für Matrixdarstellung einer Funktion verwendet?

Vektorräume
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Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Was genau ist die "Basis" eines Vektors?  
Beitrag No.7 im Thread
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Dusia_mag_LA
 

2021-02-02 17:47 - sarose in Beitrag No. 2 schreibt:
In deinem Beispiel sind die Vektoren kollinear oder mit anderen Worten linear abhängig oder mit anderen Worten parallel. Die Vektoren unterscheiden sich nur durch ihre Länge. Ihre Richtung ist gleich. Diese beiden Vektoren sind keine Basisvektoren.

Tut mir leid - entweder versteh ich den Zusammenhang zu meiner Frage nicht, oder du hast eventuell meine Frage missverstanden. Ich habe gar nicht sagen wollen, dass $a$ und $b$ Basisvektoren sind. Es sind zwei beliebige Vektoren im selben Vektorraum, die unterschiedliche Komponenten haben.

Meine Verwirrung kommt daher, dass anscheinend zu jedem Vektor auch die "bezügliche Basis" angegeben werden muss: denn nur weil die Komponenten unterschiedliche Werte haben, bedeutet das nicht, dass sie nicht doch "denselben" Vektor beschreiben.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

Vektorräume
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Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Was genau ist die "Basis" eines Vektors?  
Beitrag No.3 im Thread
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Dusia_mag_LA
 

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-02-02 17:41 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Ein Vektor hat keine Basis.
\(\endgroup\)

Hmm, okay? Wie ist die Formulierung dann besser? Ein Vektor $\textbf{hat}$ keine Basis, aber ein Vektor ist "bezüglich" einer Basis angegeben?

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-02-02 17:41 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
bezüglich der Basis \(\left\{\bpm 1/2\\0\epm,\bpm 0\\ 1/2\epm\right\}\) gedacht
\(\endgroup\)

Du benutzt jetzt hier $\{\}$ Mengenklammern. Aber müsste diese Basis nicht geordnet sein, also mit $()$ Tupelklammern?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

Vektorräume
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Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Was genau ist die "Basis" eines Vektors?  
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Dusia_mag_LA
 

Ich bin ein bisschen verwirrt was die "Basis" (und Basiswechsel und so weiter) eines Vektors angeht. Um zu verdeutlichen, was ich meine, hab ich mir folgendes Beispiel überlegt: Seien $a, b \in \mathbb{R}^2$ Vektoren mit $a = \begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}$ und $b = \begin{pmatrix}
2\\
2
\end{pmatrix}$. Dann würde man ja erstmal sagen, dass offensichtlich $a \neq b$. Jedoch kann es eben doch sein, dass $a = b$, weil ich nicht angegeben hab, zu welcher Basis diese Vektoren sind? Und es wäre $a = b$, wenn $a$ die Standardbasis benutzt, aber $b$ zur Basis $\left(\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0\\
\frac{1}{2}
\end{pmatrix}\right)$ ist?
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