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Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Kompakte Mannigfaltigkeit (dim n), Immersion in R^n  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-21
Lea5619
 

Hi,
warum ist das mit der Einheitskugel relevant?
Und ich denke die Einheitskreisscheibe ohne Rand ist keine kompakte Untermannigfaltigkeit, weil sie ohne Rand nicht abgeschlossen ist und damit im endlichen $\mathbb{R}^n$ nicht kompakt...

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Kompakte Mannigfaltigkeit (dim n), Immersion in R^n  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-20
Lea5619
 

Dass diese Teilmenge $\mathbb{R}^n$ entspricht.
Also ist das Bild von $F$ ganz $\mathbb{R}^n$, was keine Untermannigfaltigkeit ist, weil eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge ist. Deshalb ist $F$ keine Immersion. Ist das dann der Widerspruch?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Kompakte Mannigfaltigkeit (dim n), Immersion in R^n  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-20
Lea5619
 

Hmmm. Ich habe gelesen, dass jede n-dim Untermannigfaltigkeit des R^n offen ist.
Wenn $M$ also eine kompakte Untermannigfaltigkeit ist, dann ist das Bild $F(M)$ aufgrund der Stetigkeit kompakt und damit abgeschlossen. Also hätten wir ein Widerspruch...
Gilt das so?
Aber warum ist jede n-dim Untermannigfaltigkeit des $R^n$ offen?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
"Regular Surfaces" durch Gleichungen definiert schneiden sich orthogonal  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-20
Lea5619
 

Hmm. In meiner Definition steht, dass $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, wenn es eine Familie von injektiven Abbildungen $x_{\alpha}: U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^n \rightarrow M$ gibt, so dass

$\cup_{\alpha} x_{\alpha}(U_{\alpha})=M$ und

für alle $\alpha,\beta$ mit $x_{\alpha}(U_{\alpha}) \cap x_{\beta}(U_{\beta})=W \neq \emptyset$, sind $x_{\alpha}^{-1}(W)$ und $x_{\beta}^{-1}(W)$ offen und $x_{beta}^{-1} \circ x_{\alpha}$ differenzierbar ist.

Wo steht das im Zusammenhang zu der Definition, die der Satz über die impliziten Funktionen gibt?

Also, ich hab jetzt Orthogonalität über das Skalarprodukt für mehrere Schnittpunkte überprüft. Wenn ich $a,b,c$ setze und dann mögliche Werte für $x,y,z$ wähle. Aber wie sind die Schnittpunkte allgemein, so dass die Orthogonalität für alle Schnittpunkte nachgewiesen werden kann?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Kompakte Mannigfaltigkeit (dim n), Immersion in R^n  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-20
Lea5619
 

Wie kann man zeigen, dass auf einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Dimension n keine Immersion in den euklidischen Raum der Dimension n gibt?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
"Regular Surfaces" durch Gleichungen definiert schneiden sich orthogonal  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-20
Lea5619
 

Hallo Wally,

vielen Dank für deine Antwort!
Könntest du mir erklären, warum das aus dem Satz über die impliziten Funktionen folgt?

Dann habe ich für die drei Gradienten
$[2x-a~~~2y~~~2z]^T$, $[2x~~~2y-b~~~2z]^T$ und $[2x~~~2y~~~2z-c]^T$.
Ich werde jetzt einfach nur die erste Gleichung und den entsprechenden ersten Gradienten betrachten. Für die anderen beiden gilt das ja analog.

Betrachte also $f(x,y,z)=x^2-ax+y^2+z^2$

Da nach Voraussetzung $a,b,c \neq 0$ ist, gilt $grad~f =[2x-a~~~2y~~~2z]^T =0$ nur genau dann, wenn $x=\frac{a}{2}, y=z=0$. Für $f$ gilt mit diesen Werten dann ja aber $(\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{2}+0+0=\frac{a^2}{4}\neq 0$. Also ist die Bedingung, die du geschrieben hast, erfüllt. Und somit haben wir eine differenzierbare Mannigfaltigkeit gegeben...

Und die drei Gleichungen schneiden sich ja bei $x=y=z=0$. Nirgendwo anders, oder? Wenn ich dann das Skalarprodukt der Gradienten mit den jeweiligen Werten nehme, erhalte ich $0$ und damit Orthogonalität.

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
"Regular Surfaces" durch Gleichungen definiert schneiden sich orthogonal  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-19
Lea5619
 

Also, z.B. soll diese Gleichung $x^2+y^2+z^2=ax$ eine reguläre Oberfläche (falls das die richtige Übersetzung ist) definieren.

Wie kann man das nachweisen?

Also, man benötigt ja eine Abbildung von $\mathbb{R}^2$ nach $\mathbb{R}^3$. Dann kann man die Gleichung nach $z$ umformen, so dass
$z= \sqrt{ax-x^2-y^2}$ bzw $z= -\sqrt{ax-x^2-y^2}$.
Also haben wir eine Abbildung $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ mit $f(x,y)=(x,y,\sqrt{ax-x^2-y^2})$ bzw $(x,y,-\sqrt{ax-x^2-y^2})$.

Ist das bis hierhin richtig? Wenn nicht, wie ist es richtig?

Und jetzt muss ich nach der Definition ja noch nachweisen, dass die Funktion ein differenzierbarer Homomorphismus ist. Und ich denke, dass diese Eigenschaft offensichtlich erfüllt ist und nicht weiter erklärt werden muss oder übersehe ich etwas?

Und dann fehlt noch nachzuweisen, dass die Ableitung der Abbildung injektiv ist. Da wir ja drei Variablen haben ist die Ableitung eine 3x3 Matrix, oder? Muss ich das dann über den Rang der Matrix nachweisen?

Außerdem sollen die drei regulären Oberflächen, die durch die Gleichungen
 $x^2+y^2+z^2=ax$

 $x^2+y^2+z^2=by$ und

 $x^2+y^2+z^2=cz$

beschrieben werden, sich orthogonal schneiden. Wie kann ich das nachweisen?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Einbettung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-13
Lea5619
 

Wie kann ich zeigen, dass die Abbildung

$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ mit

 $(t, \theta) \rightarrow (t \cos{\theta}, t \sin{\theta}, \theta)$

eine Einbettung ist?

Man muss dann also zeigen, dass

1. die Abbildung differenzierbar ist,
2. das Bild eine Untermannigfaltigkeit ist,
3. die Abbildung ist injektiv.


1. gilt denke ich, weil die einzelnen Komponenten differenzierbar sind, oder?
Kann man für 2. die Abbildung $f$ selbst als Parametrisierung verwenden?
Bei 3. ist mein Problem, dass $\cos$ und $\sin$ ja nicht injektiv sind und ich damit denken würde, dass $f$ ebenfalls nicht injektiv ist?

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Höhe eines Kugelsegments, relative Dichte Hintergrund  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-03
Lea5619
J

Sagt die Dichte aus, dass der Ball im Wasser um einen Faktor von 0.6 leichter(schwerer) ist als das Wasser selbst mit dem gleichen Volumen?

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Höhe eines Kugelsegments, relative Dichte Hintergrund  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-03
Lea5619
J

Danke!
Also, dann hatte ich mich anscheinend zu stark beeinflussen lassen von der Folie. Betrachten wir die cm-Formel: 399.3-16.5*x^2+x^3=0. Dann habe ich jetzt als Ergebnis ca. 6,2cm für $x$ raus.
Das heißt der Teil von der Kugel, der unter Wasser schwimmt ist 6,2cm tief, richtig? Und der obere Teil der rausschaut sind dann ca. 4,8cm.
Stimmt das so?

Und in m wäre die richtige Gleichung dann
$0.3993-1.65x^2+x^3=0$? Habe dafür beachtet, dass es ja um $399.3 cm^3$ ging, die in $m^3$ umgerechnet werden müssen. Und um $1.65 cm^2$ und um $1cm$, wobei ich die Gleichung dann um diesen $1cm=0,01m$ gekürtzt habe.


Ich verstehe das mit der Dichte aber noch nicht ganz.
Setzen wir da das Gewicht des verdrängten Wassers mit seinem eigenen Gewicht gleich? Was ist was? Nach dem verlinkten Artikel ist die Dichte multipliziert mit dem Volumen das Gewicht des Körpers, wobei ich das mit der Erdbeschleunigung nicht erkenne und mir hier auch irgendwie eine Einheit fehlt... Und dann ist die Formel mit dem $h$ das verdrängte Wasser?

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Höhe eines Kugelsegments, relative Dichte Hintergrund  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-01
Lea5619
J

Hallo,
Danke für die Antworten!

@trunx:
Ich schicke dir mal meine Herleitung:
Allgemeine Formel fürs Volumen: $V= \frac{4}{3} \pi r^3$
Formel von Wikipedia für ein Kugelsegment: $V=\frac{\pi}{3}h^2(3r-h)$

Jetzt ist $r=5.5 cm$ und die relative Dichte ist $0.6$.

Jetzt ist die Frage, wann die beiden übereinstimmen, also
$0.6(\frac{4}{3} \pi (5.5)^3) = \frac{\pi}{3}h^2(3 (5.5)-h)$

was äquivalent ist zu
$0.6(4 (5.5)^3) = h^2(3 (5.5)-h)$
und das ist dann
$399.3 -16.5h^2+h^3=0$
Und dieser Ausdruck ist ja noch in $cm$. Wenn man das in $m$ umschreibt, kommt man auf das was auf der Folie steht.
So bin ich auf die Zahlen gekommen. Ich bin mir da aber unsicher, weil ich eigentlich nicht weiß, was und wie gerechnet werden soll.
Ist das nicht korrekt so?

@viertel:
Danke. Hmm. Wie das Gewicht der Kugel im Verhältnis zum Wasser steht?

Wenn $f(x)=0$ ist, ist die Kugel also untergetaucht. Und die angegebene Gleichung $399.3 -16.5h^2+h^3=0$ ist erfüllt, wenn $h=0.7$ ist. Sagt das jetzt aus, dass nur 0.7 cm im Wasser sind und der Rest der Kugel immer schwimmt? Oder was sagt das sonst inhaltlich aus?


Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Höhe eines Kugelsegments, relative Dichte Hintergrund  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-30
Lea5619
J

Hallo,

kann mir jemand erklären, was in diesem Beispiel genau untersucht wird?



Ich bin etwas verwirrt was die "specific gravity"/relativen Dichte bedeutet.
Ich weiß jetzt, wie die Formel zu Stande kommt.
Wir setzen das Volumen der Kugel mit der Formel für das Volumen der obersten Formel von hier gleich, ($\frac{\pi}{3}h^2(3r-h)$ wobei h unsere Variable x ist:
(und dann formen wir halt nach $0$ um.)

Als Ergebnis für die Gleichung erhalten wir $0,7$m. Was genau sagt uns diese Zahl jetzt aus?


Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Zufallsvariable X~B(0.6)  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-23
Lea5619
 

Danke für die Antwort.

Hmm. Ich werde das mal jetzt annehmen. Aber die Binomialverteilung hat doch eigentlich auch 2 Parameter...

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Zufallsvariable X~B(0.6)  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-23
Lea5619
 

Hallo,

ich habe gerade in einer auf Englisch gestellten Aufgabe gelesen, dass die Zufallsvariable $X$ ~ B(0.6). Ich frage mich jetzt, was das für eine Verteilung sein soll.

Beta kann es ja nicht sein, da wir dort ja zwei Parameter benötigen...

Welche Verteilung ist das?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Stereographische Projektion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-07
Lea5619
 

Hallo,

wie kann ich diese stereographischen Projektionen $f$ definieren:


1. für die Abbildung $f: \mathbb{R} \rightarrow S_1$ mit

$S_1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2|x^2+(y-1)^2=1\}$,

wobei $f(0)=(0,0)$ und $f(\pm \infty)=(0,2)$. ($x \in \mathbb{R}$)

mit der Parameterdarstellung $(xs, 2(1-s)), s \in [0,1]$.


Und 2. für die Abbildung $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow S_2$ mit

$S_2= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3|x^2+y^2+(z-1)^2=1\}$,

wobei $f(0,0)=(0,0,0)$ und $f(\pm \infty, \pm \infty) =(0,0,2)$.
Mit der Parameterdarstellung $(xs,ys, 2(1-s)), s \in [0,1]$.


Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Harmonische Funktion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-29
Lea5619
 

Ahja, Danke für deine Antwort Treex!
Wie kann ich jetzt noch zeigen, dass $lim_{R\rightarrow 0} u_A(x,y,R) = u(x,y)$ und damit
$u(x,y)=u_A(x,y,R)$ für jedes $R$, so dass $\overline{D}_R((x,y)) \subset D$?

Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Harmonische Funktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-28
Lea5619
 

Hallo,

ich möchte in Teilschritten für eine auf $D$ harmonische Funktion zeigen, dass diese Gleichung gilt


Wie kann ich als erstes zeigen, dass $u_A$ gegeben durch


unabhängig von R ist. Also, dass $u_A(x,y,R)=u_A(x,y,0)$?


Und wir können ja auch mit dem Mittelwertsatz folgern, dass

mit $(\xi,\eta) \in D_R((x,y))$.
Und dadurch, dass die Ableitungen auf der abgeschossenen Kugel beschränkt sind existieren $M_x,M_y>0$ mit


Wie kann ich jetzt damit als zweites zeigen, dass
$lim_{R\rightarrow 0} u_A(x,y,R) = u(x,y)$ und damit
$u(x,y)=u_A(x,y,R)$ für jedes $R$, so dass $\overline{D}_R((x,y)) \subset D$?

Komplexe Zahlen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Induktion für Produkt komplexer Zahlen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-04
Lea5619
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Danke!

2019-09-04 08:48 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:

die Induktionsvoraussetzung hast du ja schon angewendet. Nochmalige Anwendung auf die verbleibenden Faktoren ergibt dann den Induktionsschluss (Stichwort: Assoziativgesetz der Addition).



Könnte ich also schreiben?:

$e^{i \theta_1}...e^{i \theta_n}e^{i \theta_{n+1}}=e^{i \theta_1}...(e^{i \theta_n}e^{i \theta_{n+1}})=e^{i \theta_1}...(e^{i (\theta_n +\theta_{n+1})})$
und dann habe ich ja n Faktoren und darf die Induktionsvoraussetzung nochmal anwenden und komme auf den Schluss:
$=e^{i (\theta_1+...+ \theta_n +\theta_{n+1})}$






\(\endgroup\)

Komplexe Zahlen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Induktion für Produkt komplexer Zahlen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-04
Lea5619
 

Hallo,

es geht um den Induktionsbeweis von $e^{\theta_1 i} e^{\theta_2 i}...e^{\theta_n i}=e^{(\theta_1 + \theta_2+...+\theta_n)i}$ für beliebig viele $n$:

Induktionsanfang: $e^{\theta_1 i} e^{\theta_2 i} = e^{(\theta_1 +\theta_2)i}$ ist mir schon bekannt.

Induktionsvoraussetzung: $e^{\theta_1 i} e^{\theta_2 i}...e^{\theta_n i}=e^{(\theta_1 + \theta_2+...+\theta_n)i}$ gilt für beliebig festes $n$.

Induktionsschritt: n --> n+1:
$e^{\theta_1 i} e^{\theta_2 i}...e^{\theta_{n+1} i}=e^{(\theta_1 + \theta_2+...+\theta_n)i}e^{\theta_{n+1} i}$
Wäre es an dieser Stelle möglich die Induktionsvoraussetzung anzuwenden und das Produkt zusammenzuziehen? Und würden wir da nicht schon den Induktionsanfang anwenden, weil wir ja nur zwei Faktoren haben?

Komplexe Zahlen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Beweis |Re(2+z*+z^3)|<=4 für |z|<=1  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-04
Lea5619
J

Danke :)
 

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