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Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Faktor wegskalieren  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-07 11:15
haerter
 

Ja, genau.

Viele Grüße,
haerter

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Woher weiß man, welches Verfahren man anwenden muss?  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-21 16:10
haerter
 

2020-06-21 15:42 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:

Das ist doch schon so gemeint, dass man zunächst eine geeignete Substitution ansetzt und dann eine TdV durchführt, ober übersehe ich etwas?


Gruß, Diophant

Sorry, das war von mir etwas knapp, aber genauso hatte ich das gemeint.

Viele Grüße,
haerter

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Woher weiß man, welches Verfahren man anwenden muss?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-21 15:25
haerter
 

Hallo,

ich stochere mal ein bisschen im Nebel und vermute, dass hier ein paar Dinge durcheinander gehen und Deine Vermutung, dass man die DGL <math>y"(x)=(y(x)+x)^2-1</math> durch Trennung der Variablen lösen sollte, richtiger ist als das, was die "allgemeine Lösungsformel" liefert. Ich würde die Aufgabe jedenfalls auch mit Trennung der Variablen angehen.

Die "allgemeine Lösungsformel" sieht mir nach folgendem Satz aus, den ich aus dem Gedächtnis hoffentlich halbwegs richtig zitiere:
 
Die lineare Differentialgleichung <math>y"(x)=A(x)y(x)</math> hat die Lösung <math>y(x)=e^{\int_0^xA(\xi)d\xi}\cdot y(0)</math>, falls <math>A(x)</math> und <math>e^{\int_0^xA(\xi)d\xi}</math> für alle <math>x</math> miteinander vertauschen.

Eine analoge Aussage gilt auch, wenn <math>A(x)</math> und <math>A"(x)</math> für alle <math>x</math> miteinander kommutieren.

Da Deine Differentialgleichung aber nicht linear ist, sehe ich nicht, wie Dir diese Lösungsformel hier helfen sollte.

Viele Grüße,
haerter

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: julia567
Beweis ohne Worte  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-21 08:30
haerter
 

Hallo julia567,

willkommen auf dem Matheplaneten.

Es ist hier normalerweise so, dass Dir niemand einfach Lösungen zu Aufgaben aufschreiben wird, sondern Du kannst hier Kommentare und Tipps zu eigenen Ideen bekommen.

Von daher ist es wichtig, mit den Aufgaben auch immer anzugeben, was Du schon versucht hast, wo es hakt, etc.

Hier geht es ja um "selbsterklärende Zeichnungen", das heißt, Du müsstest mal ein paar Skizzen machen, nach nützlichen Hilfslinien suchen und diese dann mit einem kleinen Kommentar hier hochladen.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wieso darf ich diesen Satz hier anwenden (DGL)?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-08
haerter
 

Hallo,

ich verstehe die Rückfrage nicht ganz.
Zunächst gilt das Prinzip für alle Matrizen <math>P</math> mit konstanten Koeffizienten (die also nicht von <math>X</math> abhängen), ganz unabhängig davon, ob sie symmetrisch sind.
Wenn die Matrix von <math>X</math> abhängt, dann muss man <math>A(x)P(x)=P(x)A(x)</math> nachprüfen, das kann für symmetrische Matrizen verletzt sein (und wird es in den meisten Fällen auch sein), die Symmetrie hilft hier nicht viel.

Dass man die Differentialgleichung leichter löst, indem man <math>P</math> in eine einfachere Form bringt, ist schon eine gute Idee, neben Dreiecksgestalt könnte man auch versuchen die Matrix zu diagonalisieren und damit dann <math>\Phi(x)=\exp(Px)</math> ausrechnen.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wieso darf ich diesen Satz hier anwenden (DGL)?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-07
haerter
 

Hallo,
es geht darum, den recht allgemeinen Satz im Skript auf ein einfaches Beispiel anzuwenden (man könnte auch sagen "mit Kanonen auf Spatzen schießen").

Deine Matrix <math>P(X)</math> hängt überhaupt nicht explizit von <math>X</math> ab, von daher ist <math>A(X)=\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix} X</math>.

Viele Grüße,
haerter

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Fragenstellerich
x = kompakte Menge??  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-26
haerter
 

Hallo,

einpunktige Mengen sind tatsächlich kompakt, aber ich denke, dass Du für den Beweis eine größere Menge brauchst, die kompakt ist.

Allzu viele fallen einem da ja im Zusammenhang mit Normen spontan nicht ein...

Viele Grüße,
haerter

Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mathefreund123
Gekoppelte partielle Differentialgleichungen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-26
haerter
 

Hallo,

ich habe da leider keine Idee. Durch die quadratischen Terme wie <math>v_{qq}^2</math>, <math>\varphi_q^2</math> oder <math>\varphi_{qq}\cdot v_{qq}</math> hätte ich da nicht sehr viel Hoffnung, überhaupt eine explizite Lösung zu finden, wobei der erste dieser Terme eben auch für <math>\lambda=0</math> da ist.

Bei der Version mit den konstanten Koeffizienten passt ja irgendwie alles sehr genau zusammen, die Potenzen sind gerade so, dass nirgends mehr als <math>q^2</math> auftritt, die "Anfangsbedingung" bei <math>t=T</math> ist auch ein Polynom 2.Grades. Schon wenn man eine etwas andere Anfangsbedingung stellen würde, bricht das alles zusammen, von daher sehe ich nicht, wie man über diese spezielle Situation hinaus explizit noch etwas finden kann.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: shipwater
Keine periodischen Lösungen in dynamischem System  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-20
haerter
 

Hallo,

ich habe jetzt auch mal eine Weile darüber nachgedacht und sehe aus dem, was davor erklärt und bewiesen wird (und was gut nachvollziehbar ist) keinen direkten Weg zu dieser Schlussfolgerung.
Insbesondere kann uv ja das Vorzeichen wechseln und dann ist am Ende das Vorzeichen des entsprechenden Integrals völlig unklar.
Sorry, aber im Moment kann ich da nicht weiterhelfen.

Viele Grüße,
haerter

Aktuelles und Interessantes
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Martin_Infinite
Mochizukis Beweis der abc-Vermutung  
Beitrag No.85 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-06
haerter
 

Ich denke, damit ist das Thema jetzt erst einmal erledigt.

Mochizuki hat seinen Beweis publiziert und hat ja in den letzten Jahren schon nicht mehr viel Interesse gezeigt, die vermeintliche Schwachstelle zu klären und für die meisten anderen Experten, die skeptisch sind, besteht kein echter Anreiz mehr, viel Zeit zu investieren, um mühsam eine Theorie zu lernen, die vermutlich nicht zum gewünschten Ziel führt.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
  
Thema eröffnet von: kaotisch
Globale Stabilität (Existenz einer Lyapunov-Funktion)  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-06
haerter
 

Hallo,

zu der Lyapunov-Funktion kann ich nicht viel sagen, ich finde wie Du, das sieht nicht sehr aussichtsreich aus.

Hast Du den schon versucht, das Vektorfeld z.B. in die x-y-Ebene zu projizieren mit einer linearen Approximation für z=z(x,y) in der Nähe des Gleichgewichts?
Ich denke, wenn Dein Gleichgewicht dann in der Projektion linear stabil ist, dann hättest Du zumindest (lokale) asymptotische Stabilität. Außerdem gilt ja in Deiner Menge M der Satz von Poincaré-Bendixson. Wenn das Gleichgewicht lokal, aber nicht global asymptotisch stabil wäre, müsste es noch eine periodische Lösung in M geben. Vielleicht kann man das ja irgendwie ausschließen.

Viele Grüße,
haerter

Funktionen und Schaubilder
  
Thema eröffnet von: xiao_shi_tou_
Sterberate einer Epidemie korrekt ausrechnen  
Beitrag No.22 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-12
haerter
 

Dann lass es uns mal Überspitzen:

Die Lösung des Anfangswertproblems
\[
\dot{x}(t)=\frac{1}{t}x(t),\; x(1)=1
\] ist <math>x(t)=t</math>.

Das würdest Du also allen Ernstes als exponentielles Wachstum bezeichnen?

Viele Grüße,
haerter

Funktionen und Schaubilder
  
Thema eröffnet von: xiao_shi_tou_
Sterberate einer Epidemie korrekt ausrechnen  
Beitrag No.20 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-12
haerter
 

Hallo weird,

ich glaube, der Spiegel-Artikel ist etwas anders zu verstehen.

Beim exponentiellen Wachstum einer Epidemie ist die Rate ja nicht unveränderlich, sondern zumindest teilweise durch Verhalten und Maßnahmen beeinflussbar. Zu Beginn scheint aber in Italien diese Rate gleichgeblieben zu sein (=exponentielles Wachstum), während "exponentielles Wachstum mit sinkender Rate" eben streng genommen kein exponentielles Wachstum mehr ist.

Ab einem gewissen Punkt geht es dabei weniger darum, die Gesamtzahl der Krankheitsfälle zu verringern, sondern "flatten the curve" ist das Ziel.

Viele Grüße,
haerter


Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: fre4k
Linearisierung mittels Substitution  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-11
haerter
 

Vielleicht noch zur Klarstellung: Der lineare Anteil bleibt nach der Substitution nicht "übrig", sondern man lässt alles andere außer dem linearen Anteil weg.

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: fre4k
Linearisierung mittels Substitution  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-11
haerter
 

Hallo,

nein, mit der Dimension hat es nichts zu tun.

Man entwickelt die rechte Seite in eine Potenzreihe und weil man linearisieren will (weil man annimmt, dass <math>t</math> klein ist), lässt man die Terme höherer Ordnung in <math>t</math> weg.

Man könnte alternativ auch einfach die Ableitung der rechten Seite bei <math>x=1</math> berechnen, also für die Linearisierung von
\[
x'''+ Kx'=f(x)
\] in der Ruhelage <math>x=1</math> dann
\[
t''' + Kt' = f'(1)\cdot t
\] erhalten.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: fre4k
Linearisierung mittels Substitution  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-11
haerter
 

Hallo,

hier ist wohl das folgende gemeint:

Die DGL
\[
x'''(s)+Kx'(s)=3*\frac{1-x(s)}{x^3(s)}
\] besitzt die Ruhelage <math>x(s)\equiv 1</math>.
Wenn man nun Lösungen betrachtet, die "kleine Störungen" dieser Ruhelage sind, dann kann man den Ansatz <math>x(s)=1+t(s)</math> machen.

In diesem Fall ist dann <math>x"""(s)=t"""(s)</math>, <math>x"(s)=t"(s)</math> und
\[
\frac{1-x(s)}{x^3(s)}=\frac{-t(s)}{(1+t(s))^3}=-t(s)+3t(s)^2-4t(s)^3+\ldots=-t(s) + \mathcal{O}(t^2).
\] Wenn man sich nun auf den linearen Teil beschränkt, erhält man gerade das von Dir angegebene Ergebnis.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kaotisch
Überträgt sich die Divergenz?  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-09
haerter
J

Hallo kaotisch,

so richtig sehe ich Dein Problem nicht.
Wenn <math>y(T)=z(T)</math> ist, dann ist doch <math>y"(T)=0</math> und <math>z"(T)>0</math>, das heißt <math>y(t)<z(t)</math> für <math>t</math> etwas größer als <math>T</math>. Diese Anordnung bleibt dann ja bis in alle Ewigkeit erhalten, weil beim Schnitt von <math>y</math> und <math>z</math> immer <math>z</math> "von unten" schneiden müsste.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kaotisch
Überträgt sich die Divergenz?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-08
haerter
J

Hallo,

ich habe mir die Argumente von Dir durchgelesen und glaube, dass man so argumentieren kann (auch für eine größere Anzahl Spezies).

Man müsste streng genommen noch den Fall ausschließen, dass <math>y(t)</math> unbeschränkt ist und nicht gegen <math>+\infty</math> konvergiert, aber das ist vermutlich nicht schwer, da ja wie Du schon angemerkt hast <math>y(t)</math> und <math>z(t)</math> sich nicht mehr als einmal schneiden können und lokale Extrema von <math>y(t)</math> nur in einem Schnittpunkt der Kurven vorliegen können.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
  
Thema eröffnet von: klangforscher
Neuer seltsamer Attraktor?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-19
haerter
J

Hallo,

ich habe nur mal ein wenig mit Deinen ursprünglichen Parametern herumexperimentiert. Da sieht das Ganze eher wie eine Variante des Rössler-Attraktors aus, obwohl man nachrechnen kann, dass Deine Gleichungen sich zumindest nicht durch eine lineare Koordinatentrafo in die Rössler-Gleichungen umschreiben lassen.
Es ist auf jeden Fall interessant zu sehen, wie man schon in drei Raumdimensionen mit nur einem relativ harmlosen nichtlinearen Term so eine kompliziertes Verhalten erzeugen kann.
Von Sprott gibt es einen Artikel "Some Simple chaotic flows" (Phys.Rev.E 50, 1994), er betrachtet rechte Seiten mit sechs Termen, von denen einer nichtlinear ist. Damit könntest Du Dein System noch vergleichen.

Wie Deine Bilder nahelegen, kann man möglicherweise ausgehend von einem periodischen Orbit den Attraktor durch eine Folge von Verzweigungen erhalten.

Viele Grüße,
haerter

Lineare DGL 2. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: nitram999
skalare Differentialgleichungen  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-14
haerter
 

Hallo,

Du könntest jetzt mit dem Wissen, dass <math>a_0(t)=0</math> ist, weiterrechnen, aber das ist vielleicht gar nicht so optimal.

Gefragt ist ja nach "Man bestimme die Menge aller Lösungen".

Hast Du denn eine Charakterisierung, wie die Menge aller Lösungen solch einer inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung aussieht?

Das könnte hier enorm helfen (zusammen mit Deinen bisherigen Überlegungen zur homogenen DGL).

Viele Grüße,
haerter
 

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