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Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Felixg
Dynamisches System (Definition)  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-06-21
haerter
 

Hallo,

vielleicht übersehe ich etwas, aber der Punkt, der das I(x) aus Definition 1 mit (1) aus Definition 2 verknüpft ist doch die Tatsache, dass die wegzusammenhängenden Teilmengen von $\mathbb{R}$ gerade die Intervalle sind.
Daraus ergibt sich dann die Äquivalenz der beiden Definitionen.

Vorstellen sollte man sich $I(x_0)$ als das maximale Zeitintervall, für das der Orbit durch den Punkt $x_0$ existiert (zum Beispiel die Lösung einer Differentialgleichung zum Anfangswert $x(0)=x_0$).

Ich würde ja sagen: Für die allermeisten Sätze und Beispiele kann man zunächst so tun als ob $I(x)=\mathbb{R}$ für alle $x$ wäre und dann überlegen, ob es einen Unterschied macht, wenn $I(x)$ kleiner ist.
Anders ausgedrückt: Die Punkte (1),(2) und (3) aus Definition 1 sind die wichtigen Elemente der Definition eines dynamischen Systems (bzw. eines Flusses), das $I(x)$ ist eher technisches Beiwerk.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
  
Thema eröffnet von: Nunie
System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-06-14
haerter
J

Hallo,

ich fürchte, ich muss mich da korrigieren.
Das Statement, dass man die a-Gleichungen einfach integrieren kann, war zu einem Zeitpunkt als ich \(K_m\) noch für eine Konstante gehalten habe und nicht wusste, dass \(K_m=2^{-k}(1-c_{m1}s_1)\ldots(1-c_mN s_n)\) von \(s_1,s_2,\ldots, s_N\) abhängt.

Von daher ist es vermutlich am einfachsten, man betrachtet alles als DGL-System aus \(M+N\) Gleichungen, die alle miteinander gekoppelt sind.

Ich sehe jedenfalls keinen offensichtlichen Weg, der die Aufspaltung in "s-Variablen" und "a-Variablen" irgendwie sinnvoll nutzt.
Vielleicht hat aber hier jemand noch eine gute Idee.

Viele Grüße,
haerter

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: timihendrix
Differenzialgleichung / Modifikation eines Vektorfeldes  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-06-03
haerter
 

Hallo,

irgendwie fehlt mir noch eine Differentialgleichung für \(x_2\).

Nichtsdestotrotz: Wenn es um die numerische Lösung geht, will man ja verhindern, dass das Verfahren abbricht, wenn man bei einem Lösungsschritt \(x_1<0\) erreicht. Man könnte also das Vektorfeld so modifizieren, dass es auch für \(x_1<0\) definiert ist. Das passt auf jeden Fall mit Deinem Ansatz zusammen, der das Vektorfeld ja auch bis \(x_1=-\epsilon\) ausdehnt.

Ob das wirklich gemeint ist, weiß ich aber natürlich nicht.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
  
Thema eröffnet von: Nunie
System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-27
haerter
J

Ja, es gibt nur eine recht überschaubare Anzahl nichtlinearer Differentialgleichungen, die man explizit lösen kann.

Klassisch schaut man dafür zum Beispiel in das Buch von Kamke,
moderner geht man davon aus, dass es keine explizite Lösung gibt,
wenn Mathematica keine findet.
Ok, das ist etwas vereinfacht, aber "keine geschlossene Lösung"
ist für nichtlineare Differentialgleichungen der typische Fall.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
  
Thema eröffnet von: Nunie
System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-26
haerter
J

Hallo,

ich bin leider kein Numerik-Experte. Auf den ersten Blick sieht es so aus als ob ein "normales" Verfahren (so etwas wie Runge-Kutta) gut funktionieren sollte, weil die rechte Seite der DGL ja einigermaßen harmlos ist.

Ich hatte allerdings erst jetzt gemerkt, dass die $K_m$ ja alle noch von $s$ abhängen, d.h. man erhält auf der rechten Seite nicht einfach $a_m(t)=a_m(0)e^{K_mt}$ und setzt das ein, sondern es ist $a_m(t)=a_m(0)e^{\int_0^tK_m(s)\,ds}$, was das Ganze noch etwas komplizierter macht.

Kritisch wird es vermutlich, wenn man die Einzugsbereiche der verschiedenen Gleichgewichte sehr genau voneinander abgrenzen will, das kommt ja in dem von Dir oben erwähnten Artikel deutlich heraus. Die dort erwähnte "5-th order adaptive Cash-Karp Runge-Kutta method" kenne ich nicht, das wäre aber dann ein Kandidat für die schwierigen Situationen.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
  
Thema eröffnet von: Nunie
System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-26
haerter
J

Hallo,

ok, mit dem Artikel zusammen habe ich jetzt ungefähr verstanden, wie die Gleichungen aussehen. Wenn ich das richtig sehe, erhält man nach Einsetzen der a-Lösungen in die s-Gleichungen ein System von N Differentialgleichungen mit zeitabhängiger, polynomialer rechter Seite (vom Grad \(2N-1\), glaube ich).

Leider sind ja Differentialgleichungen mit polynomialen rechten Seiten (schon ohne Zeitabhängigkeit) nicht irgendwie besonders einfach.
Zunächst einmal sehe ich da also keinen Grund, warum man auf eine explizite Lösung der DGL hoffen könnte.
Auch der Artikel zeigt ja ausschließlich numerische Berechnungen. Oder gibt es aus Deiner Sicht eine besondere Struktur, die darauf hoffen lässt, dass man hier analytisch irgendwie weiterkommen könnte?

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
  
Thema eröffnet von: Nunie
System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-25
haerter
J

Hallo,

wie ist die letzte Zeile  

\(K_{m i}=2^{-k} \prod_{j=1 \atop j \neq i}^{N}\left(1-c_{m j} s_{j}\right)=\frac{K_{m}}{1-c_{m i} s_{i}}
\)

zu verstehen?

Da stehen zwei Gleichheitszeichen. Wird hier etwas definiert? Soll das einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Konstanten beschreiben?

Insgesamt ist natürlich nicht klar, ob es hier überhaupt eine geschlossen darstellbare Lösung gibt. Du kannst zunächst die a-Gleichungen integrieren und erhälst dann $a_m(t)= a_m(0)e^{K_m t}$, aber wenn man das dann in die s-Gleichungen einsetzt, ist nicht klar, was man damit anfangen soll.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lblts
Polarkoordinaten-Transformation, ungedämpfter harmon. Oszillator  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-06
haerter
 

Ja, das kann man durchaus machen. Aber es geht ja um $\dot{r}$ und $\dot{\phi}$, da müsste man zumindest mal noch hinschreiben, was diese Matrix bedeuten soll und wie sie mit $\dot{x}_1$, $\dot{x}_2$ etc. zusammenhängt und wie das $f$ ins Spiel kommt.#

Mein Hinweis ist ja, dass es nicht um $x_1$ und $x_2$, sondern um $x_1(t)$ und $x_2(t)$ geht, dass also nicht $x_1=r\cos\phi$ die "richtige" Gleichung ist sondern $x_1(t)=r(t)\cos(\phi(t))$ etc.

Anders ausgedrückt: Es geht um eine Verkettung von $\psi$ mit einer Abbildung $t\mapsto (r(t),\phi(t))$.

Beim Differenzieren kommt dann auch Eure Matrix ins Spiel, wobei man da noch sauber zwischen $\psi$ und $\phi$ unterscheiden müsste: Eure Matrix ist die Ableitung von $\psi$, sollte aber eigentlich lauter $\phi$s enthalten.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lblts
Polarkoordinaten-Transformation, ungedämpfter harmon. Oszillator  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-06
haerter
 

Hallo,

das passt noch nicht ganz, denn die neue DGL sollte schon irgendwo die rechte Seite \(f(...)\) enthalten.

Eine Vorgehensweise ist, dass man \(x(t)=r(t)\cos\phi(t)\) und \(y(t)=r(t)\sin\phi(t)\) differenziert, die DGL einsetzt und dann nach \(\dot{r}\) und \(\dot{\phi}\) auflöst.

(b) und (c) sind dann jeweils Anwendungen mit speziellem f (in (b) ist f=0).

Viele Grüße,
haerter

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Timethie
Eindeutigkeit von Lösungen von (gewöhnlichen) Diff.-Gleichungen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-30
haerter
 

Hallo Timethie,

Du kennst wahrscheinlich den Satz von Picard-Lindelöf, der besagt, dass die Lösung zumindest in einer Umgebung von $t=0$ eindeutig ist.

Überlege doch mal, was passieren würde, wenn die Lösung nicht auf dem ganzen Intervall $[0,1)$ eindeutig wäre sondern nur bis zu einem $t_0<1$.

Viele Grüße,
haerter

Bücher & Links
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: DerStrebsame
Klausurfragen Analysis 1  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-12
haerter
 

Hallo,

es gibt ein Büchlein Verständnisaufgaben zur Analysis 1 und 2 von Thomas Bauer, das in dieser Richtung sehr zu empfehlen ist.

Herr Bauer hat die Fragen in seinen eigenen Übungen getestet und insbesondere auch die falschen Antworten nicht einfach erfunden sondern anhand von typischen Fehlern konstruiert.

Ich empfehle sehr, sich an das Vorwort "Wie benutzt man dieses Buch?" zu halten, d.h. nicht einfach zu tippen und dann nachzuschauen, ob man die richtige Antwort erwischt hat, sondern alle Antworten genau zu verarbeiten, sich die Unterschiede klarzumachen und dann jeweils zu entscheiden, warum jede Antwortmöglichkeit richtig oder falsch ist.

Viele Grüße,
haerter

Theorie der Gew. DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: ghxk
Maximales Intervall Satz von Picard-Lindelöf  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-31
haerter
 

Hallo,

die Aufgabe ist ein wenig seltsam. Du könntest die Lösung explizit ausrechnen, ohne den Satz von Picard-Lindelöf zu benutzen.
Ich vermute, dass es so gedacht ist, dass Du hinterher diesen Satz benutzt, um zu zeigen, dass die Lösung auf ihrem ganzen Existenzintervall die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems ist.
Im Übrigen sind maximale Existenzintervalle immer offen und nicht unbedingt symmetrisch zum Ursprung, d.h. Du solltest ein maximales Intervall \((a,b)\) mit \(-\infty\leq a<b\leq\infty\) suchen, in dem Deine Lösung existiert und eindeutig ist.

Viele Grüße,
haerter

Differentialgleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
COVID-19 im SIR-Modell  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-22
haerter
 

Hallo traveller,

noch als Ergänzung: Im Video

www.yorku.ca/science/cdm/event/epidemiological-parameters-and-mathematical-models-of-covid-19/

kann man ein wenig nachvollziehen, wie die $R_0$-Werte am Beginn der Epidemie bestimmt wurden.

Viele Grüße,
haerter

Differentialgleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
COVID-19 im SIR-Modell  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-21
haerter
 

Hallo,

wie gesagt, ich weiß nicht genau, wie die $R_0$-Werte im Wikipedia-Eintrag bestimmt werden.
Ich vermute aber, dass man die Entwicklung der Fälle zu Beginn verfolgt und eine gewisse Dunkelziffer einrechnet. Wenn man dann noch eine durchschnittliche Infektionsdauer weiß, dann kann man eben berechnen, wie viele sekundäre Fälle sich pro primärem Fall durchschnittlich ergeben haben in einer Phase, in der die Menschen noch ein normales Kontaktverhalten hatten.

Diese Zahl nun in das SIR-Modell für einen längere Simulation einzuspeisen, wird aber nicht funktionieren.
Die Simulation mit dem SIR-Modell setzt aber voraus, dass die Population sich völlig "normal" verhält und gleichmäßig "mischt".
Das ist in Deutschland zum Beispiel nie der Fall gewesen. Am Anfang der Pandemie gab es einzelne Ausbrüche und die Mehrheit der Menschen ist nicht in die Nähe eines Infizierten gekommen. Im späteren Verlauf war dann das Kontaktverhalten schon nicht mehr so wie vor der Pandemie.

Für die Simulationen mit SIR-Modellen oder modifizierten SIR-Modellen wird dann entweder ein "aktuelles R" aus Daten bestimmt und damit gerechnet oder sogar ein zeitabhängiges R, in das dann die verschiedenen Maßnahmen eingehen, benutzt.

Viele Grüße,
haerter

Stochastik und Kombinatorik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MathEnte
Eishockeyformation  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-20
haerter
 

Hallo,

ich würde mal zuerst den Torwart suchen und dann den Rest.

Viele Grüße,
haerter

Differentialgleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
COVID-19 im SIR-Modell  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-20
haerter
 

Hallo,

es gibt da vermutlich viele Einflussfaktoren und natürlich ist das Modell zu einfach.

Ich glaube aber, dass der größte Fehler hier darin besteht, davon auszugehen, dass die Pandemie irgendwo über einen längeren Zeitraum einfach ungestört laufen konnte. Wenn wir uns an die Zeit direkt vor dem ersten deutschen Lockdown erinnern, dann war dort eine Verdopplung der Fälle in ungefähr drei Tagen zu registrieren, ähnlich war es auch kurzfristig in Brasilien, Moldawien oder Portugal. Nirgends gab es ein solches "Laufenlassen" aber über Wochen bei hohen Zahlen.
Überall gab es entweder offizielle Maßnahmen oder die Menschen haben ihr Verhalten auch ohne Vorschriften verändert.

Beispielsweise sind selbst bei den Anfangs-Ausbrüchen in Italien oder Wuhan die R-Werte, die man beim Anpassen der Daten an das SIR-Modell bekommt, nur knapp über 1, siehe www.nature.com/articles/s41598-021-84055-6

Ein weiterer Grund ist die Inhomogenität. Das SIR-Modell setzt voraus, dass die Population immer "gleichmäßig durchmischt" wird und überall die gleiche Kontaktrate herrscht. Das ist aber natürlich nicht überall der Fall (Altenheime, Großstädte).

Insofern ist das SIR-Modell für eine Simulation nur dann eingeschränkt geeignet, wenn man die Parameterwerte durch Vergleich mit echten Daten etwas realistischer wählt.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: chicolino
Gewöhnliche DGL Definition  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-13
haerter
 

Hallo chicolino,

das Umschreiben der DGL entspricht formal wohl einem Isomorphismus $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^{(n+1)\cdot m} \cong \mathbb{R}\times (\mathbb{R}^m)^{n+1}$.

Bei der Unterscheidung explizit/implizit weiß ich gar nicht, ob es da eine ganz allgemeingültige Definition gibt. Ich würde eine Differentialgleichung schon dann implizit nennen, wenn sie nicht in expliziter Form gegeben ist. Außerdem gibt es ja noch die häufige Situation, dass sich eine implizite Gleichung lokal in eine explizite umschreiben lässt, aber nicht überall.

Viele Grüße,
haerter

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Basisreproduktionszahl von AIDS  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-11
haerter
 

Naja, ob Masken oder Kondome, das dürfte den Faktor "Anzahl der Kontakte eines Infizierten pro Zeiteinheit" beeinflussen.

Gruß,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: chicolino
Gewöhnliche DGL Definition  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-11
haerter
 

Hallo chicolino,

soweit ich diese abschreckenden Formeln kurz mal angeschaut habe, ist das schon richtig eingesetzt und übersetzt, nur am Ende könnte man vielleicht besser schreiben

 $\ldots = \left (   \begin{array}{c}  f_{1} \left ( t, \left(\begin{array}{c} y^{(0)}(t)\\ \vdots \\ y^{(n)}(t) \end{array} \right) \right) \\ \vdots \\ f_{m} \left ( t, \left(\begin{array}{c} y^{(0)}(t)\\ \vdots \\ y^{(n)}(t) \end{array} \right) \right ) \end{array}  \right) = \left(  \begin{array}{c}  f_{1} (t, y(t),y'(t),y''(t),\ldots, y^{(n)}(t)) \\ \vdots \\ f_{m} (t, y(t),y'(t),y''(t),\ldots, y^{(n)}(t))  \end{array} \right)$


Der von Dir angesprochene Fall $m=2$, $n=1$ wäre dann eine Differentialgleichung der Form

$$ f(t,y_1(t),y_1'(t),y_2(t),y_2'(t))= 0 $$
und Du fragst Dich vermutlich, warum das nicht aussieht wie

$$ \begin{align*} y_1'(t)& = g_1(t,y1(t),y_2(t))\\
y_2'(t)& = g_2(t,y1(t),y_2(t))
\end{align*}
$$
Der Grund ist, dass die zweite Variante eine explizite Differentialgleichung ist und die von Dir angegebene Form etwas allgemeiner ist.

Nicht jede Differentialgleichung lässt sich als explizite DGL schreiben, nicht einmal lokal. Wenn man bei dem Beispiel $m=2$, $n=1$ an den Satz über implizite Funktionen denkt, sieht man ein, dass sich eine Gleichung $f(...)=0$ wohl nicht nach den zwei Variablen $y_1'$ und $y_2'$ auflösen lässt. Das würde man erst im Fall $m=2$, $n=2$ erwarten.


Soviel zu Deiner eigentlichen Frage.


Nun aber noch meine persönliche Meinung: Vergiss diese Wikipedia-Bemerkung.

Wenn es darum geht, mathematisch etwas Produktives mit Differentialgleichungen anzufangen, dann hat man immer (bis auf endlich viele Ausnahmen) eine konkrete Form einer DGL vorliegen, in 99% der Fälle ein System expliziter Differentialgleichungen 1.Ordnung und in maximal 10% der Fälle eine Differentialgleichung höherer Ordnung.
Mit dieser Vorstellung von Differentialgleichungen kommt man also sehr weit, während die Wikipedia-Version etwas für Liebhaber komplizierter, aber allgemeingültiger und allgemein nutzloser Definitionen ist.

Viele Grüße,
haerter

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Basisreproduktionszahl von AIDS  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-11
haerter
 

Hallo,

2021-03-10 20:57 - traveller in Beitrag No. 4 schreibt:

2021-03-10 16:56 - haerter in Beitrag No. 1 schreibt:
Außerdem bezieht sich $R_0$ zusätzlich noch auf eine "ungeschützte" Population.

Meinst du "ungeschützt" im Sinne von fehlender Herdenimmunität (denn diese wird ja erst in der effektiven Reproduktionszahl $R_\text{eff}=R_0\cdot S(t)$, dem "R-Wert", berücksichtigt), oder meinst du Schutzmassnahmen? Ich meinte diese werden doch in $R_0=\kappa\cdot q\cdot D$ berücksichtigt, indem Kontaktbeschränkungen die Kontaktrate $\kappa$ senken, Hygienemassnahmen die Wahrscheinlichkeit der Infektion bei Kontakt $q$ und Isolationsverordnungen die Dauer der Infektiosität $D$?

Mein Verständnis war immer so, dass $R_0$ tatsächlich die Verbreitung ohne Schutzmaßnahmen, Kontaktbeschränkungen etc. beschreibt.
Deshalb gibt es ja zum Beispiel bei Corona auch noch den "aktuellen R-Wert", der das aktuelle Geschehen mit den Kontaktbeschränkungen, Impfungen etc. betrifft.

Viele Grüße,
haerter
 

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