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Theorie der Gew. DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: GausscherNutzername
Existenz Lösung DGL erster Ordnung  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-04
haerter
 

Hallo,

hast Du schon mal den Schrankensatz (manchmal auch mehrdimensionalen Mittelwertsatz genannt) in Erwägung gezogen, um die Lipschitz-Stetigkeit nachzuweisen?

Für die globale Existenz sollte man auch einen passenden Satz zur Verfügung haben, gab es da in der Vorlesung etwas?

Viele Grüße,
haerter

Mathematische Software & Apps
Beruf 
Thema eröffnet von: goeba
CAS in eigene Software einbinden  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-01
haerter
 

Hallo goeba,

ich weiß nicht, ob es Dir eher darum geht, etwas genau Maßgeschneidertes selbst zu programmieren oder ob eher das Lernprogramm von Interesse ist.

Kennst Du  STACK ? Dort ist Maxima als CAS im Hintergrund integriert und drumherum ein System zur Fragenerstellung und für Bewertung und Feedback entwickelt worden.
Es ist hauptsächlich für den Einsatz mit Moodle oder Ilias konzipiert, aber man kann es auch anders integrieren, davon verstehe ich aber nichts.

Ich erstelle mit STACK regelmäßig Übungsaufgaben und denke, dass man damit viel machen kann. In etwas eingeschränktem Maße kann man auch Maxima-Graphiken direkt einbinden.

Viele Grüße,
haerter

Theorie der Gew. DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Trebron98
Kepler-Problem  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-30
haerter
J

Hallo,

das Gronwall-Lemma könnte man auf <math>u(t)=|u_\xi (t)-u_\eta (t))|</math> anwenden.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: maxmustermann9991
Gleichgewichtslösung autonomer nichtlinearer DGL  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-16
haerter
 

Hallo,

ja, das Ergebnis passt, jetzt müsstest Du noch <math>(y_1,y_2)=(-1,1)</math> einsetzen und dann stellt sich leider heraus, dass die Stabilität sich mit der Jacobimatrix alleine hier nicht bestimmen lässt.

Wenn die Aufgabe so gestellt war, wie im Anfangspost dargestellt ("soll mit der Jacobi-Matrix bestimmt werden, ob es ein stabiles oder instabiles Gleichgewicht ist"), dann führt das zu keiner Entscheidung.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: maxmustermann9991
Gleichgewichtslösung autonomer nichtlinearer DGL  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-15
haerter
 

Damit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gemeint.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: maxmustermann9991
Gleichgewichtslösung autonomer nichtlinearer DGL  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-13
haerter
 

Hallo,
wie Du selbst geschrieben hast: Die Jacobi-Matrix an der Stelle (-1,1) auswerten und schauen, wo die Eigenwerte liegen.

Viele Grüße,
haerter

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: maxmustermann9991
Gleichgewichtslösung autonomer nichtlinearer DGL  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-13
haerter
 

Hallo,

der erste Schritt bedeutet, dass die rechte Seite gleich Null gesetzt wird und man die Lösungen dieser (nicht)linearen Gleichung bestimmt.

Viele Grüße,
haerter

Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Caleb
Exponentielles Abklingen / stabile Mannigfaltigkeit  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-13
haerter
 

Hallo,

ich weiß nicht, welche Version des Satzes über stabile Mannigfaltigkeiten Ihr hattet, aber da in der gewöhnlichen DGL für die Traveling-wave-Lösung die Eigenwerte jeweils einfach sind, kann man zeigen, dass Lösungen in den invarianten Mannigfaltigkeiten mit der Rate <math>e^{\lambda x}</math> bzw. <math>e^{\mu x}</math> abklingen.

Damit könntest Du dann <math>C(x)=-\varphi" e^{-\lambda x}</math> definieren(!) und der Satz über invariante Mannigfaltigkeiten sagt, dass <math>C(x)</math> beschränkt ist.

Viele Grüße,
haerter

Theorie der Gew. DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mathnoob27
Eindeutige Lösbarkeit  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-12
haerter
 

Hallo,

ich würde auf einen Tippfehler tippen.
Frag doch einfach mal nach.

Viele Grüße,
haerter

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lanaluise
Differentialrechnung, Verschwinden des Gradienten  
Beitrag No.28 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-01
haerter
J

Hallo lanaluise,

noch zwei kleine Kommentare:

- Der Fehler in Deiner Rechnung von Beitrag No.22 ist im vorletzten Schritt, weil man da die Beträge nicht einfach weglassen darf. Für <math>t=\frac{1}{2}</math> ist <math>t^3-3t^2+3t-1=-\frac{1}{8}\neq |t^3-3t^2+3t-1|</math>.

- Die schöne Argumentation von zippy muss man mit dem Argument zur linearen (Un)abhängigkeit kombinieren, sonst kann man aus <math>\|x-a\|=\|x-b\|</math> nicht eindeutig auf <math>x</math> schließen (aber das war Dir vermutlich ohnehin shcon klar).

Viele Grüße,
haerter

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lanaluise
Differentialrechnung, Verschwinden des Gradienten  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-29
haerter
J

Sorry, vielleicht stehe ich ja total auf dem Schlauch, aber diesen Schritt von

<math>\displaystyle  \frac{x-a}{\|x-a\|^3} +\frac{x-b}{\|x-b\|^3}=0 </math>

zu <math>x_1-a_1 = -x_1-b_1</math>, denn kann ich irgendwie nicht nachvollziehen.
Das Ergebnis ist aber schon richtig, von daher wird es vermutlich eine gute begründung geben und ich sehe sie nur nicht.

viele Grüße,
haerter

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lanaluise
Differentialrechnung, Verschwinden des Gradienten  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-29
haerter
J

Ja, sorry, die <math>^3</math> hatte ich unterschlagen.

Das Ergebnis sieht gut aus, aber die Begründung kann ich nicht so ganz nachvollziehen. Es geht ja um die Vektoren <math>x-a</math> und <math>x-b</math>, die kollinear sein müssen und deren Vorfaktoren, die eine zusätzliche Bedingung erfüllen.

Viele Grüße,
haerter

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lanaluise
Differentialrechnung, Verschwinden des Gradienten  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-29
haerter
J

Naja, die Gleichung ist dann nach Deiner Rechnung

<math>\displaystyle  \|x-b\|(x-a) +\|x-a\|(x-b)=0 </math>.

Das könnte man mit Blick auf lineare (Un)abhängigkeit von Vektoren interpretieren (auch wenn das x innerhalb der Normen auch auftaucht).

Viele Grüße,
haerter

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lanaluise
Differentialrechnung, Verschwinden des Gradienten  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-28
haerter
J

Hallo,

das sieht ganz gut aus, ich hätte noch jeweils ein Minuszeichen mehr.
Ich denke, wenn man nun die Nullstellen des Gradienten sucht, sollte man nicht mehr komponentenweise denken, sondern das ganze wieder als einen Vektor auffassen, der eine bestimmte Gleichung löst.

Viele Grüße,
haerter

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lanaluise
Differentialrechnung, Verschwinden des Gradienten  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-28
haerter
J

Hallo,
vermutlich ist mit den Betragsstrichen die euklidische Norm gemeint?
Dann könntest Du sie umschreiben, so dass die Komponenten von x "sichtbar" werden.

Damit könntest Du wiederum die partielle Ableitung <math>\frac{\partial f}{\partial x_j}</math> für irgendein j berechnen. Dann bist Du schon ein Stück weiter. Anschließend musst Du dann ncoh schauen, wann alle dies Ableitungen gleichzeitig Null werden.

Viele Grüße,
haerter

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: shirox
Integral und Ableitung  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-09
haerter
 

Hallo,

wenn man einfach den Integranden nach x differenziert, sind nicht nur die Grenzen anders als bei dem angegebene F'(x), sondern eigentlich so ziemlich alles...

Gruß,
haerter

Theorie der Gew. DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Caleb
ODE-Problem (stetig und fallend)  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-10
haerter
 

Hallo,

2019-10-08 21:06 - Caleb im Themenstart schreibt:
Leider weiß ich mit diesem Hinweis gar nichts anzufangen.
Wenn ich <math>u_1</math> in <math>RWP(M,c_2)</math> einsetze erhalte ich doch nur

<math>\displaystyle
u_1""+c_2u_1"+f(u_1)\neq 0.
</math>

Die rechte Seite kann nicht 0 sein, denn <math>u_1</math> ist ja die eindeutige Lösung zu <math>RWP(M,c_1)</math>.

Ein bisschen mehr weiß man schon: Da <math>u_1""+c_1u_1+f(u_1)=0</math> ist, ist
<math>\displaystyle
u_1""+c_2u_1"+f(u_1) = c_2 u_1" -c_1 u_1"
</math>

und das ist ein Term mit einem festen Vorzeichen.

Ich denke, man kann damit zeigen, dass sich Lösungen für verschiedene <math>c</math> nicht schneiden können. Das wäre schon mal ein wesentlicher Schritt hin zu der Monotonieaussage.

Viele Grüße,
haerter

Nichtlineare DGL 2. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Caleb
Kann man eine Trajektorie durch diese beiden Punkte im Phasenportrait "bauen"?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-08
haerter
 

Hallo caleb,

ich habe auch keine kurze Antwort, d.h. ein wenig technisch wird ein solcher Beweis wie Du ihn willst vermutlich werden, obwohl es anschaulich sehr klar ist, dass er funktionieren muss.
Ich gebe mal ein paar Bausteine, wie ich einen Beweis zusammensetzen würde:

1) c>0 scheint mir auch das richtige Vorzeichen, wenn b<a<0 ist.

2) Die Trajektorie von <math>(q_{n+1},a)</math> nach <math>(q_n,b)</math> wird für c>0 von Lösungen "von unten nach oben durchquert", die Lösung, die mit <math>c>0</math> in <math>(q_{n+1},a)</math> startet, kann diese Kurve also nicht schneiden.

3) Falls sie also nicht bis zu der vertikalen Linie <math>y=q_n</math> gelangt, dann muss sie die y-Achse schneiden oder zu einem der Gleichgewichte konvergieren.

4) In diesem Fall sollte es ein kleinstes <math>c_*>0</math> geben, so dass die Lösung, die mit <math>c=c_*</math> in <math>(q_{n+1},a)</math> startet, die Linie <math>y=q_n</math> gerade noch erreicht, nämlich im Punkt <math>(q_n,0)</math>.

5) Ein Stetigkeitsargument mit <math>c\in[0,c_*]</math> zeigt dann, dass auch ein <math>c</math> existiert, für das die vertikale Linie in <math>(q_n,a)</math> geschnitten wird.

Vielleicht gibt es ein einfacheres Argument, aber ich sehe im Moment keines.

Viele Grüße,
haerter

Nichtlineare DGL 2. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Caleb
Kann man eine Trajektorie durch diese beiden Punkte im Phasenportrait "bauen"?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-05
haerter
 

Hallo Caleb,

eine kurze Einschätzung meinerseits ohne große Rechnungen:

zu 1) Dass es ein solches c gibt, kann man vermutlich mit einem Stetigkeitsargument beweisen. Betrachte die Lösung durch <math>(q_{n+1},a)</math> und untersuche, wo sie die Linie <math>y=q_n</math> schneidet. Dein Vektorfeld hat die nette Eigenschaft, dass das <math>cy_x</math> die Pfeile an jeder Stelle in die gleiche Richtung dreht (je nach Vorzeichen von <math>c</math> mit dem Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn). Wenn man <math>c</math> verändert, bewegt sich der Schnittpunkt der obigen Trajektorie mit der Linie <math>y=q_n</math> also in eine Richtung. Mit etwas Abschätzen kann man dann vermutlich ein <math>c</math> finden, für das der Schnittpunkt schon mit Sicherheit jenseits von <math>(q_n,a)</math> ist und wegen der stetigen Abhängigkeit von Parametern muss es dann auch ein passendes <math>c</math> geben.

Ich glaube allerdings eher nicht, dass man dieses <math>c</math> im allgemeinen explizit bestimmen kann (bin aber in diesem Forum bei ähnlichen Fragen schon gelegentlich eines besseren belehrt worden).

zu 2) Ich sehe keinen Grund, warum das <math>c</math>, das für <math>a=0</math> funktioniert, für ein anderes <math>a</math> ebenfalls das richtige sein sollte. Ich denke, eine kurze Computersimulation kann diese Vermutung möglicherweise schnell widerlegen.

Viele Grüße,
haerter

Theorie der Gew. DGL
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Ein kompliziertes Cauchyproblem  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-30
haerter
 

Hallo,

wie wäre es mit

<math>y"(t)=e^t \alpha(t) x^2(t)= \underbrace{\alpha(t)}_{\leq 1}\underbrace{x(t)}_{\leq 1-\delta}\; \underbrace{e^t x(t)}_{=y(t)} \quad ?</math>


Viele Grüße,
haerter
 

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