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Matrizenrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Matrizen- Inverse-lineare Algebra  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-27
servus1991
J

Hallo zusammen ,
meine Frage ist ganz einfach , aber ich komme trotzdem nicht auf Antwort:

sollte es nach der Multiplikation von der Inverse $B^{-1}$ nicht so aussehen :
$A=\left(\begin{array}{cc}\omega_{+}^{2} & 0 \\ 0 & \omega_{-}^{2}\end{array}\right) B*B^{-1}$ und  warum sieht es so $A=B\left(\begin{array}{cc}\omega_{+}^{2} & 0 \\ 0 & \omega_{-}^{2}\end{array}\right) B^{-1}$ ?

ist die Multiplikation austauschbar?

$$ B=\left(\vec{b}_{+} \vec{b}_{-}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}
$$ $\mathrm{mit}$
$$ A \vec{b}_{\pm}=\omega_{\pm}^{2} \vec{b}_{\pm}
$$ Dann gilt
$$ \begin{aligned}
A &=B\left(\begin{array}{cc}
\omega_{+}^{2} & 0 \\
0 & \omega_{-}^{2}
\end{array}\right) B^{-1} \\
&=B\left(\begin{array}{cc}
\omega_{+} & 0 \\
0 & \omega_{-}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\omega_{+} & 0 \\
0 & \omega_{-}
\end{array}\right) B^{-1} \\
&=B\left(\begin{array}{cc}
\omega_{+} & 0 \\
0 & \omega_{-}
\end{array}\right) B^{-1} B\left(\begin{array}{cc}
\omega_{+} & 0 \\
0 & \omega_{-}
\end{array}\right) B^{-1} \\
&=\Omega^{2}
\end{aligned}
$$ $\mathrm{mit}$
$$ \Omega:=B\left(\begin{array}{cc}
\omega_{+} & 0 \\
0 & \omega_{-}
\end{array}\right) B^{-1}
$$

Systeme von DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Lösung einer Differentialgleichung  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-24
servus1991
 

Hallo ,
hat man Ahnung, wie wir die allgemine Lösung (alsodie letzte Gleichung ) bekommen haben ?

vielen Dank vorab.



$$ \begin{aligned}
\dot{x} &=v \\
\dot{v} &=-T^{-1} V x=: \quad-A x
\end{aligned}
$$ oder
$$ \frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l}
x \\
v
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & I d \\
-A & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
v
\end{array}\right)
$$ $\mathrm{mit}$
$$ A:=T^{-1} V \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$ Da nach Annahme die Matrix $A$ nicht von der Zeit $t$ abhängt, ist die allgemeine Lösung von
(21) gegeben durch
$$ \left(\begin{array}{l}
x_{t} \\
v_{t}
\end{array}\right)=\exp \left\{t\left(\begin{array}{cc}
0 & I d \\
-A & 0
\end{array}\right)\right\}\left(\begin{array}{l}
x_{0} \\
v_{0}
\end{array}\right)
$$ Nun gilt das folgende

Ungleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Besselsche Ungleichung  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-19
servus1991
 

Hallo .
meine Frage bezieht sich auf die Gleichung ($\star$).
für alle $u \in U$ können wir $u$ nicht so schreiben $u=\lambda_{i} u_{i}$, da $\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$  nur ein endliches Orthonormalsystem  und kein Orthonormalbasis von $U,$ ist.




(1.18) Satz. Es seien $V$ ein Skalarproduktraum, $U$ ein Unterraum von $V$ und $x \in V$ ein beliebiges Element von $V$. Für einen Vektor $u_{0} \in U$ sind dann die folgenden Bedingungen äquivalent:
(1) $\left\|x-u_{0}\right\| \leq\|x-u\|$ für alle $u \in U$
(2) $x-u_{0} \in U^{\perp}\left(\right.$ d.h., $x-u_{0} \perp u$ für alle $\left.u \in U\right)$.

(1.21) Satz. Es seien $V$ ein Skalarproduktraum, $U$ ein endlichdimensionaler Unterraum von $V$ und $x \in V$ ein beliebiges Element von $V$. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Element $u_{0} \in U$ mit $\left\|x-u_{0}\right\| \leq\|x-u\|$ für alle $u \in U$. Dieses Element nennt man die Orthogonalprojektion von $x$ auf $U$ und bezeichnet es mit $P_{U}(x)$. Ist $\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)$ eine beliebige Orthonormalbasis von $U,$ so gilt
$$ P_{U}(x)=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, e_{i}\right\rangle e_{i}
$$
Wir wollen nun speziell Reihen in Hilberträumen untersuchen, wo aufgrund der Existenz eines Skalarprodukts und damit des Begriffs der Orthogonalität eine stärker geometrisch motivierte Diskussion als in allgemeinen Banachräumen möglich ist. In (1.21) zeigten wir, daß für jedes endliche Orthonormalsystem $\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$ in einem Skalarproduktraum $V$ über $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ die Abschätzung
$$ (\star) \quad\left\|x-\sum_{i=1}^{n}\left\langle x, u_{i}\right\rangle u_{i}\right\| \leq\left\|x-\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} u_{i}\right\|
$$ für alle $x \in V$ und alle $\lambda_{i} \in \mathbb{K}$ erfüllt ist.

meine Frage bezieht sich auf die Gleichung ($\star$).
für alle $u \in U$ können wir $u$ nicht so schreiben $u=\lambda_{i} u_{i}$, da $\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$  nur ein endliches Orthonormalsystem  und kein Orthonormalbasis von $U,$ ist.

vielen Dank vorab.

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Funktionalanalysis: Normen  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-19
servus1991
 

Hallo ,

ist meine Begrundung daunten dargestellt richtig?

vielen Dank

(2.18) Beispiel. Im Hilbertraum $\ell^{2}$ aller quadratsummierbaren Zahlenfolgen ist die Familie der Elemente
$$ \begin{aligned}
x_{1} &=(1,0,0,0,0,0, \ldots), \\
x_{2} &=(0,1 / 2,0,0,0, \ldots), \\
x_{3} &=(0,0,1 / 3,0,0, \ldots), \\
x_{4} &=(0,0,0,1 / 4,0, \ldots)
\end{aligned}
$$ und so weiter summierbar zur Summe
$$ s:=(1,1 / 2,1 / 3,1 / 4, \ldots)
$$ (wie sofort aus der Konvergenz der Reihe $\sum_{i=1}^{\infty} 1 / i^{2}$ folgt), aber nicht absolut summierbar (weil die Reihe $\sum_{i=1}^{\infty}\left\|x_{i}\right\|=\sum_{i=1}^{\infty} 1 / i$ divergiert.

Die Begrundung:

Hier sollte es darum gehen, dass aus der Summierbarkeit nicht unbedingt der absoluten Summierbarkeit folgt:
Meine Frage bezieht sich auf die Begrundung: also ist die Reihe summierbar, denn:
$\|s\|_{2}=\left\|\sum_{i=1}^{\infty} x_{i}\right\|_{2}=\sqrt{\left|s_{1}\right|^{2}+\left|s_{2}\right|^{2}+\cdots}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} 1 / i^{2}}$
(Nach dem Majorantenkriterium, aus der Konvergenz der Reihe $\sum_{i=1}^{\infty} 1 / i^{2}$ folgt die Konvergenz $\left.\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty} 1 / i^{2}}\right)$
Aber nicht absolut summierbar (weil die Reihe $\sum_{i=1}^{\infty}\left\|x_{i}\right\|_{2}=\sum_{i=1}^{\infty} \sqrt[2]{\sum_{j=1}^{\infty}\left|x_{j}\right|^{2}}=\sum_{i=1}^{\infty} \sqrt{1 / i^{2}}= \sum_{i=1}^{\infty} 1 / i$ divergiert

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Nichtvollständiger Raum  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-05
servus1991
 

Hallo ,
meine Frage bezieht sich auf das Bild unter dem Linke www.facebook.com/groups/1444545162223088/permalink/4488773917800182
ich kann das Bild nicht hochladen.

Der Raum $C[-1,1]$ mit der Norm $\|\cdot\|_{1}$ ist nicht vollständig. Beispielsweise beilden die unten definierten Funktionen $\left(f_{k}\right)$ eine Cauchyfolge in $C[-1,1]$, die nicht in $C[-1,1]$ konvergiert.


 
auf dem Bild ist ein Intervall [-1,1] und da wird gezeichnet:
ein rechtwinkliges Dreieck ist doch nur im Intervall [0;1/k]. Im Intervall [-1;0] haben alle $(fk)$ dagegen konstant den Wert 1.

Warum ist $(fk)$ eine Cauchyfolge in $C[-1,1]$, die nicht in $C[-1,1]$ konvergiert.?
Ist es nicht richtig, dass der Grenzwert der Cauchyfolge in Bezug auf die Norm ||.||1  die  Nullfunktion ist und die Nullfunktion stetig auf/in  $C[-1,1]$ ist ?!!!!

ist meine folgende Selbst-Interpretation richtig?

mathematisch ausgedruckt ist der Grund dafür, warum diese folge eine Cauchyfolge ist:
$d\left(f_{m}, f_{n}\right)=\|f_{m}-f_{n}\|_{1}:=\int_{-1}^{1}|f_{m}-f_{n}| \mathrm{d} t  =|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|.2  \rightarrow 0 \text { für } m,n \rightarrow \infty$

Der Grenzwert ist $ \lim_{k\to\infty} f_{k}(t) =\lim_{k\to\infty} \frac{1}{k}=0 $ $\neq$ $f(0)= 1 $ , deswegen ist der Grenzwert nicht stetig und dementsprechend liegt nicht im $C[-1,1]$ und folglich ist der Raum $C[-1,1]$ nicht vollständig.

wenn wir den Grenzwert mittels der Norm $\|\|_{1}$ interpretieren möchten, Die $\|\|_{1}$ entspricht dem Integral auf dem Intervall [−1, 1]. aber geometrisch gesehen, das Integral entspricht dem Flächeninhalt unter der Kurve auf dem Intervall [−1, 1]. also der Flächeninthalt ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Flächeninhalt $\frac{1}{k}$ und die konstante Gerade mit dem Wert 1. insgesamt $der Flächeninhalt =  \frac{1}{k} + 1 \rightarrow 1 \text { für } k \rightarrow \infty$. also das heißt, der Grenzwert ist ein Punkt und keine stetige Funktion in $C[-1,1]$. daraus folgt , dass  der Raum $C[-1,1]$ nicht vollständig ist.



Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Nichtvollständiger Raum (Analysis)  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-04
servus1991
 

Hallo Vercassivelaunos,

vielen Dank für Deine Antwort ,

nur eine kleine Frage , wie bist auf den Grenzwert bk=1/k gekommen ? ist dieser Grenzwert von (1/m - 1/n) rausgekommen

viele grüße

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Nichtvollständiger Raum (Analysis)  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-04
servus1991
 

Gegenbeispiel. Es sei $V$ der Raum aller reellen Zahlenfolgen $a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right)$ mit $a_{i} \neq 0$ für nur endlich viele Indices i. Ein Skalarprodukt auf $V$ ist gegeben durch $\langle a, b\rangle:=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} b_{k} .$ Wir setzen $a^{(n)}:=(1,1 / 2,1 / 3, \ldots, 1 / n, 0,0,0, \ldots) .$ Dann ist $\left(a^{(n)}\right)$
eine Cauchyfolge in $V$, die aber nicht in $V$ konvergiert.



Hallo,
hier sollte ein Gegenbeispiel für eine Cauchy-Folge in V  sein, aber der Vektorraum V ist nicht vollständig, denn diese Cauchy Folge konvergiert nicht in V, (also der Grenzwert liegt nicht in V) .
ich habe hier zwei Fragen:

1)  Die erste Frage, ist sie eine Cauchyfolge?, denn $$ d\left(a_{m}, a_{n}\right) \rightarrow 0 \text { für } m, n \rightarrow \infty
$$  Aber wie definiere diese Metrik, wir sind doch in einem Skalarproduktraum, was macht dann dieses Skalarprodukt!!!? wie benutze es ,um zu zeigen , dass sie eine Cauchfolge ist?

ist so richtig ? $d\left(a_{k}, b_{k}\right)$  = $ \sqrt{\langle a_{k}-b_{k}, a_{k}-b_{k}\rangle}:= \sqrt{\sum_{k=1}^{\infty} (a_{k}-b_{k})^2 } \rightarrow 0 \text { für } k \rightarrow \infty$



2)  Die zweite Frage, ist der Grenzwert die Nullfolge also (0,0,0,0, 0,………) ? deswegen liegt dieser Grenzwert nicht in V , denn dieser Grenzwert ist Null für alle Indices i also( mit $a_{i} = 0$ für Nicht nur endlich viele Indices i)  ?? !!

Ich freue mich über jede Antwort.



Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Orthonormalbasis und orthogonales Komplement  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-29
servus1991
 

Es seien V ein Skalarproduktraum, U ein endlichdimensionaler Unterraum von V und x ein Element von V (also x ∈ V) und Pu(x) die Orthogonalprojektion von x auf U.

Kann man die Orthonormalbasis eines Untervektorraumes U(also sei ek) und  das orthogonale Komplement U^T anschaulich machen also malen? Wie soll ich es mir grafisch vorstellen?

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Einheitskugel - Operatornorm  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-25
servus1991
 

Hallo,

ich kann nicht genau überblicken , was hat die Einheitskugel mit der Beschränktheit der linearer Abbildungen (also die haben endliche Operatornorm)  zu tun?

In Wikipedia steht drin:
Die Operatornorm linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist stets endlich, da die Einheitskugel eine kompakte Menge ist.

Dann gibt es die Aussage:
Die linearen Abbildungen bilden die Einheitskugel (also kompakte Menge) auf eine beschränkte Menge ab.

Warum führen wir prinzipiell die Endlichkeit der Operatornorm auf die Kompaktheit der Einheitskugel zurück?

Danke im Voraus

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Satz von Integralrechnung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-18
servus1991
J

Danke :)

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Stetigkeit  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-18
servus1991
 

meinst du , dass die Norm bei der ersten Abbildung nicht existiert und deswegen f nicht stetig ist...

was ist die existierte Norm bei der zweiten Abbildung , sodass die zweite Abbildung stetig ist?


was hat die Norm mit der Stetigkeit zu tun? gibt es einen Satz dafür oder irgendwas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Stetigkeit  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-18
servus1991
 

Um die Stetigkeit mit dem epsilon-delta-Kriterium anzuwenden, braucht man eben erst mal eine Metrik. Denn die Bedingung ist ja, dass d(x,y) < epsilon sein soll....also Ohne Metrik (oder wenigstens Topologie) wird es schwierig, über Stetigkeit zu reden.

wie bist darauf gekommen, dass die Folge nicht konvergent?
meine falsche Überlegung war es:
Wenn wir uns die Epsilo-Delta-Definition von Stetigkeit anschauen, dann klappt das hier ja schon bei dem ersten nicht. Du hast ja dann stehen, dass:
f(a+epsilon)=a1+epsilon+a2+epsilon+a3+epsilon+...
Das bedeutet, du hast unendlich oft das epsilon, das bekommst du durch kein delta abgeschätzt.

Und wieso ist dann die zweite Funktion stetig
Da hätte ich ja auch nach meiner Logik a1 + epsilon, 1/2 a2 +1/2 epsilon, 1/3 a3 + 1/3 epsilon, ..., also auch etwas, das nicht konvergiert. (harmonische Reihe!)



was hat eigentlich ganz genau die Konvergenz mit der Stetigkeit zu tun ?was ist der Zusammenhang in unserem Beispiel dazwischen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Stetigkeit  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-18
servus1991
 

mittels Epsilon-Delta-Kriterum
Nehmen an, dass $|x-y|<\epsilon,$ daraus soll folgen, dass $|f(x)-f(y)|<\delta$
\[
|f(x)-f(y)|=\left|\sum_{i=1}^{\infty} a_{i}-\sum_{i=1}^{\infty} b_{i}\right|
\] Da nur endlich vicle Elemente ungleich 0 sind, folgt nach geschickter Umsorticrung:
\[
|f(x)-f(y)|=\left|\sum_{i=1}^{n} a_{i}-\sum_{i=1}^{m} b_{i}\right|
\] Nehmen wir an, dass $m \leq n$ (falls nicht, dann nennen wir dic Folgen andersherum):
\[
|f(x)-f(y)|=\left|\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}-b_{i}\right)-\sum_{i=n}^{m} b_{i}\right|
\]
ich hänge hier immer noch... troztdem sollten die beiden Abbildungen nicht stetig sein .... oder wie würdest du die Nicht Stetigkeit bzw  Stetigkeit beweisen oder erklären ? danke

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Satz von Integralrechnung  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-17
servus1991
J

wie sind wir nach dem äquivalenz-sympol$\Leftrightarrow$ darauf gekommen
\[
\begin{array}{c}

\qquad F=f^{\prime}-\lambda f \Leftrightarrow f(x)=C e^{\lambda x}+\int_{0}^{x} e^{\lambda(x-\xi)} F(\xi) \mathrm{d} \xi
\end{array}
\] wobei $D f=f^{\prime}$ und $f(x)=C e^{\lambda x}$

Die Aufgabe ist :\\
Wir definieren $D: C^{\infty}(\mathbb{R}) \rightarrow$ $C^{\infty}(\mathbb{R}) \operatorname{durch} D f=f^{\prime} .$ Wir wollen den Kern und das
Bild von $D-\lambda 1$ bestimmen. Zunächst gilt
\[
\begin{aligned}
f \in \operatorname{Kern}(D-\lambda \mathrm{id}) & \Leftrightarrow f^{\prime}-\lambda f=0 \\
& \Leftrightarrow f(x)=C e^{\lambda x}
\end{aligned}
\] Jede Zahl $\lambda \in \mathbb{K}$ ist also ein Eigenwert von $D$ (mit einem jeweils eindimensionalen Eigenraum). Ferner gilt genau dann $F \in \operatorname{Bild}(D-\lambda \text { id }),$ wenn es eine Funktion
\[
\begin{array}{c}
f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) \text { gibt mit } \\
\qquad F=f^{\prime}-\lambda f \Leftrightarrow f(x)=C e^{\lambda x}+\int_{0}^{x} e^{\lambda(x-\xi)} F(\xi) \mathrm{d} \xi
\end{array}
\] Also ist $D-\lambda$ id für jede Zahl $\lambda \in \mathbb{K}$ surjektiv. Insgesamt folgt, daß das Spektrum von $D$ ganz $\mathbb{K}$ ist.

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Stetigkeit  
Themenstart
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servus1991
 

wrum ist diese Abbildung \[
f(a):=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots
\] nicht stetig ,während \[
f(a):=1 \cdot a_{1}+\frac{1}{2} \cdot a_{2}+\frac{1}{3} \cdot a_{3}+\cdots
\] stetig \\

Die Aufgabe \\
Es sei $V$ die Menge aller Folgen $a \in$ $\ell^{2}(\mathbb{R}),$ die nur endlich viele von Null verschiedene Glieder aufweisen. Eine Linearform auf $V$ ist gegeben durch

\[
f(a):=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots
\] Diese Abbildung ist nicht stetig (warum nicht?), kann also nicht von der Form $\langle\cdot, v\rangle$ mit einem festen Vektor $v \in V$ sein. Eine andere (diesmal stetige) Linearform auf $V$ ist gegeben durch
\[
f(a):=1 \cdot a_{1}+\frac{1}{2} \cdot a_{2}+\frac{1}{3} \cdot a_{3}+\cdots
\] Es gibt aber auch hier wieder keinen Vektor $v \in V$ mit $f=\langle\cdot, v\rangle .$ Wir werden sehen, daß der tiefere Grund dafür die Nichtvollständigkeit des Raums $V$ ist. \]
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