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Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gent123
Holomorphe Mengen und Stetigkeit  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-29 09:00
AnnaKath
 

Huhu Gent123,

Du solltest schon eigene Überlegungen und Versuche darstellen, dann ist es auch einfacher Dir gezielt zu helfen.

Vielleicht als Startpunkt: Gemäss des Tipps ist es sinnvoll, sich auf die Halbebene $H=\{z\in\mathbb{C} : \mathrm{Re} \: z \geq 0 \}$ zu beschränken. Liegt $D$ vollständig in $H^0 =\{z\in\mathbb{C} : \mathrm{Re} \: z > 0 \}$ so dürfte die Aussage klar sein. Führe den Fall, dass eine Dreiecksseite auf der reellen Achse liegt zunächst in den Fall über, dass nur (bis zu zwei) Eckpunkte eines ggf. deformierten Dreiecks auf der reellen Achse liegen.

lg, AK.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathe22
Stammfunktionen bestimmen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-29 08:37
AnnaKath
 

Huhu Mathe22,

ein paar Ideen solltest Du schon selbst entwickeln.

Aber, wenn Du lediglich eine "Starthilfe" benötigst, kannst Du folgende Ideen vielleicht nutzen:

Für die Richtung (a)=>(b) kannst Du den (reellen) Hauptsatz nutzen. Beachte das Dein Integrationsweg (stückweise) glatt ist.
Für die Richtung (b)=>(a) ist es sinnvoll, einen festen Punkt $z_0\in \Omega$ zu wählen und für $z\in\Omega$ einen (stückweise glatten) Weg $\gamma_z$ von $z$ nach $z_0$ zu wählen und $F(z)=\int_{\gamma_z} f(\zeta) d\zeta$ als "Kandidaten" für eine Stammfunktion anzusehen.

lg, AK.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: luvo
Unabhängige natürliche Filtration  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-28 15:57
AnnaKath
J

Huhu Iuvo,

2020-11-28 12:50 - luvo in Beitrag No. 2 schreibt:
Ok das heißt also die natürliche Filtration ist nicht unabhängig.
Genau.


Aber dafür ist $\sigma(S_1, \dots , S_n)$ unabhängig von $X_{n+1}, X_{n+2}, \dots$ oder?
Ja, das stimmt.
Hier ist das ohnehin klar, da der Random Walk ein Markovprozess ist.

lg, AK.

Notationen, Zeichen, Begriffe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Menge der rationalen Zahlen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-27 23:21
AnnaKath
 

Huhu Spedex,

wir sehen das richtig!
Nur $\pi/2$ (also b) ist nicht rational.

lg, AK.

Spiel & Spaß
Schule 
Thema eröffnet von: matroid
Sorry, Witze  
Beitrag No.2056 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-27 22:39
AnnaKath
 

2020-11-27 22:14 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2055 schreibt:
Was ist das Gegenteil von einer Konstante?
Ein Konsonkel 😁

Wäre die korrekte Antwort nicht: ONKELNS ?

Stochastik und Statistik
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Ein Beispiel zu einem Martingal  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-27 17:37
AnnaKath
J

Huhu sulky,

was wir hier gerechnet?

$\mathbb{E}[X_n|\mathcal{F}_{n-1}]$
$ = \mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{F}_{n}] |\mathcal{F}_{n-1}]$      (Definition von $X_n$)
$ = \mathbb{E}[X|\mathcal{F}_{n-1}]$      (Turmeigenschaft der bedingten Erwartung)
$ = X_{n-1}$.    (Definition von $X_{n-1}$).

$(X_n)_n$ ist also ein Martingal.

Das "Problem" der Indizierung ist eher ein kosmetisches. Die obige Rechnung gilt für alle $n\geq 1$, sofern man $0\in\mathbb{N}$ annimt, sonst eben für $n\geq 2$.

lg, AK.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: luvo
Unabhängige natürliche Filtration  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-27 17:23
AnnaKath
J

Huhu Iovo und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!

Eine Familie $(Z_j)_{j\in J}$ ist genau dann stochastisch unabhängig, wenn die Familie von Initial-$\sigma$-Algebren $(\sigma(Z_j))_{j\in J}$ unabhängig ist.
Insofern ist zumindest verständlich, inwieweit Du Dir die Frage stellst.

Betrachte die beiden heikeln Punkte, die für einen Beweis nötig wären:
- Sind $Z_1, Z_2$ und $Z_3$ paarweise unabhängig, ist dann auch $\sigma(Z_1, Z_2)$ unabhängig von $\sigma(Z_3)$?
- Sind die $S_j$ von einander unabhängig?

Wenn Du beides zeigen kannst, ist der Beweis für Deine Aussage (mit offensichtlicher Abrundung) geführt.

Allerdings wäre ich sehr überrascht, wenn Dir diese Beweise gelingen...
Die erste Aussage ist i.A. falsch und die zweite solltest Du leicht selbst beurteilen können

lg, AK.

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: cool97
Sigma-Algebra und Dynkin-Systeme  
Beitrag No.47 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-26 20:01
AnnaKath
 

Huhu zusammen,

Sind $A_k\in\mathcal{A_k}$ mit $A_k\notin\{\emptyset, \Omega_k\}$ so sind $B_1 = A_1 \times \Omega_2$ und $B_2 = \Omega_1 \times A_2$ Elemente von $D$, nicht aber $B_1 \cap B_2 = A_1 \times A_2$. Also ist das Dynkin-System nicht durchschnittstabil und somit keine $\sigma$-Algebra.

lg, AK.

Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Majazakava
Tschebychevsche Ungleichung, Lebesgue-Integral  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-23 22:15
AnnaKath
 

Huhu Majazakava,

einfach $\infty$ einzusetzen ist wohl nicht ganz sauber (obwohl es natürlich der Intuition hilft). Aber Du kannst Dir natürlich überlegen, dass $\mu(\{|f|=\infty\}) \leq \mu(\{|f|\geq C\})$ für alle $C>0$ gilt und dann mit Hilfe der Ungleichung daraus die erste Behauptung herleiten.
Für die zweite Beziehung kannst Du $\mu\geq 0$ ausnutzen und  mit Hilfe der Ungleichung somit $\mu(\{|f|\geq \epsilon\})=0$ für alle $\epsilon>0$ herleiten.

lg, AK.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phoensie
Exponentialverteilte Variable mit Gaussklammer  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-20 15:20
AnnaKath
J

Huhu Phoensie,

vielleicht schaust Du auch einmal im Forum herum, z.B. LinkHandelt es sich um die Poisson-Verteilung?

Und bisher ist alles richtig.

lg, AK.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: PiJey100
Konvergenz im p-ten Mittel und Konvergenz Erwartungswerte  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-20 00:43
AnnaKath
J

Huhu PiJey,

worin besteht denn Dein Problem?

Aus $X_n \rightarrow X$ in $L^p$ folgt natürlich $\|X_n\|_{L^p} \rightarrow \|X\|_{L^p}$ und (zumindest für $p<\infty$) somit auch $\|X_n\|_{L^p}^p \rightarrow \|X\|_{L^p}^p$.

lg, AK.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lilia
Handelt es sich um die Poisson-Verteilung?  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-18 23:11
AnnaKath
J

Don't forget to press the subscribe button, ring those bells and follow my patreon...

Ich freue mich, wenn ich nicht hinderlich war.

lg, AK.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: julian2000P
Dichtesatz von Lebesgue  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-18 18:33
AnnaKath
J

Huhu Julian,

wie ich bereits andeutete, erscheint mir eine rein masstheoretische Argumentation sehr kompliziert und ziemlich anfällig für Fehler*.

Du hast aber in $(\mathbb{R}, \mathcal{B})$ noch eine (mit der $\sigma$-Algebra verträgliche) topologische Struktur und damit stetige Funktionen (und auch f.ü. integrierbare Dinge, vgl. obigen Link) zur Verfügung.
Dies solltest Du unbedingt ausnutzen!

lg, AK

*) Zum Vergleich: Ich habe beim Versuch, "Deinen" Beweisweg auszuprobieren etwa zwei DIN A4-Seiten recht eng beschrieben und das Gefühl, dass der Beweis nun stimmen könnte... und selbst da habe ich noch weitere Argumente - außerhalb der reinen Massraum-Struktur - genutzt; es ist aber natürlich nicht auszuschliessen (im Grunde ist es sogar sehr wahrscheinlich...), dass ich etwas übersehen habe!

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lilia
Handelt es sich um die Poisson-Verteilung?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-18 17:59
AnnaKath
J

Huhu Lilia,

mich würde die Begründung auch sehr interessieren!*
Falls überhaupt eine diskrete (Standard-) Verteilung gibt, die der Verteilung von $\lceil X \rceil$ entspricht, so ist das in einem gewissen Sinne die geometrische Verteilung.**

Vielleicht solltest Du einfach ein wenig rechnen: $P(n < \lceil X \rceil \leq n+1)$ kannst Du mit Hilfe der Verteilungsfunktion der $\mathrm{Exp}(\lambda)$-Verteilung bestimmen.

lg, AK.

*) Das soll heissen, dass ich sehr skeptisch bin, dass es hier eine Begündung gibt...
Der Zusammenhang zwischen der Exponentialverteilung und dem Poissonprozess ist hier nicht relevant.
**) z.B. konvergiert für eine Folge $Z_n$ von $\mathrm{Geom}(\lambda /n)$-verteilten Zufallsvariablen $Z_n / n$ in Verteilung gegen $\mathrm{Exp}(\lambda)$.


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: julian2000P
Dichtesatz von Lebesgue  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-18 15:47
AnnaKath
J

Huhu Julian,

Der Weg, den Du beschreibst erscheint mir prinzipiell zwar gangbar aber im Detail sehr kompliziert (und ich fürchte, Du müsstest wesentliche Teile des Satzes von Caratheodory "nachbauen").

Etwas einfacher könnte es sein, wenn Du statt des Lebesguemasses das äußere Mass benutzt. Allerdings sollte der Beweis auch dann "from the scratch" sehr langwierig und fehleranfällig sein (ein typischer Analysis-Beweis...).

Wenn es sich um eine Übungsaufgabe handelt, solltest Du nützliches Vorwissen haben und wirst dies hier anwenden wollen/müssen.

Um Dir aber einen prinzipiellen Hinweis zu geben, wie man hier vorgeht, magst Du Dir die Beweisskizze der Lebesgue'schen Variante des Hauptsatzes einmal ansehen.

Im Übrigen kannst Du aus diesem Satzes Deine Aussage einzeilig herleiten; es ist also hoffentlich ein Tipp, der in die richtige Richtung geht...

lg, AK.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phoensie
Zufallsvektor-Verteilung  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-18 15:18
AnnaKath
J

Huhu Phoensie,

das stimmt prinzipiell.
Allerdings stellt sich natürlich die Frage, wie das Symbol $(\Phi^{-1})'$ zu interpretieren ist.  Betrachte dazu die Transformationsformel (wie Du ja schon "versprochen" hast).

Wenn Du diese hier nur ordentlich aufschreibst, bist Du bereits (fast...) fertig.

lg, AK.

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 3marco6
Vereinigung von Nullmengen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-15 19:26
AnnaKath
 

Huhu,

vielleicht gehst Du noch einmal einen Schritt zurück.

Du möchtest zeigen, dass für jede abzählbare Folge $(A_j^*)_{j\in\mathbb{N}}$ mit $A_j^* \in \mathcal{S}_*$ gilt: $\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j^* \in \mathcal{S}_*$.

Aufgrund der Konstruktion von $\mathcal{S}_*$ existieren dann Folgen $(A_j)_{j\in\mathbb{N}}$, $(M_j)_{j\in\mathbb{N}}$ und $(N_j)_{j\in\mathbb{N}}$ mit $A_j\in\mathcal{S}$, $N_j\in \mathcal{S}$ und $M_j\subset N_j$ sowie $A_j^* = A_j \cup M_j$.

Nun nutzt Du, dass $\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j \in \mathcal{S}$, $\bigcup_{j\in\mathbb{N}} M_j \subset \bigcup_{j\in\mathbb{N}} N_j \in \mathcal{S}$ sowie $\mu(\bigcup_{j\in\mathbb{N}} N_j) = 0$ gilt.

lg, AK.

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 3marco6
Vereinigung von Nullmengen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-15 02:38
AnnaKath
 

Huhu 3marco6,

2020-11-15 00:41 - 3marco6 im Themenstart schreibt:
Kann ich jetzt auch so für die Vereinigung der leeren Mengen argumentieren? Ich weiß ja nicht ob die dann als Vereinigung auch eine \(\mu\) Nullmenge sind oder?

Das weisst Du für diesen Fall durchaus, denn ein Mass ist ($\sigma$-)additiv.

lg, AK.

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: ILoveMath3
Das Integral ist ein Maß und Maß im Integral = 0 -> Integral = 0.  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-14 23:19
AnnaKath
 

Huhu ILoveMath3,

kennst Du den Satz von Radon-Nikodym? Der könnte hier helfen.
Sollte Dir dieser Satz nicht bekannt sein, kannst Du Dir ja mal seinen Beweis ansehen.

lg, AK.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: xxxyyy
Borel probability measures  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-12 08:11
AnnaKath
J

Huhu xxxyyy,

2020-11-11 10:16 - xxxyyy in Beitrag No. 4 schreibt:
(d.h. q gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit y jeweils einen bestimmten Wert annimmt).

Im Allgemeinen (und da es hier um Borel'sche $\sigma$-Algebren geht, muss man auch von einem etwas allgemeineren Setting ausgehen), stimmt das natürlich so nicht.
Neben der Tatsache, dass eine Verteilung ein Mass $\mu$ ist, somit auf einer Menge von Teilmengen von $X$ besteht und man somit für $u\in X$ bestenfalls über $\mu(\{u\})$ sprechen kann, ist dies im Allgemeinen zumindest irreführend. Betrachtet man etwa den Wahrscheinlichkeitsraum $([0,1], \mathcal{B}([0,1]), \lambda)$, so gilt $\lambda(\{u\})=0$ für alle $u\in [0,1]$. Für abzählbare $X$ ist Deine Vorstellung aber natürlich in Ordnung.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich doch beschreiben durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Die Fläche unter einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Wert zwischen den Grenzen a und b auftritt.

Im Allgemeinen ist auch dies falsch.  Eine Dichte $f$ ist eine Funktion $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ von einem Massraum $(X,\mathcal{A}, \mu)$ in die reellen Zahlen, die $\mathcal{B}-\mathcal{A}$-messbar ist und quasiintegrierbar bezüglich $\mu$. Mit deren Hilfe kann man ein (bzgl. $\mu$ absolut stetiges, signiertes) Mass $\nu$ konstruieren zu $\nu(A) = \int_A f \: d\mu$ für $A\in\mathcal{A}$.
Etwas konkreter, bei der Betrachtung reellwertigen Zufallsvariablen $Z:X\rightarrow \mathbb{R}$, hat man eine Dichte $f$, falls die Verteilung $P \circ Z^{-1}$ absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Masses ist. Mit dieser kann man tatsächlich Wahrscheinlichkeiten ausrechnen: $P(a<Z<b) = \int_a^b f \: d\lambda$ ausrechnen. Eine solche existiert aber keineswegs immer!

Auch hier ist es im Diskreten etwas übersichtlicher, hier hat man stets eine Wahrscheinlichkeitsfunktion $p$ mit $P(\{u\}) = p(u)$, die eine Dichtefunktion bezüglich des Zählmasses darstellt (und deshalb auch oft Zähldichte genannt wird).

lg, AK.
 

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