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Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Carmageddon
Kürzester Weg, einen Graph aufzudröseln  
Beitrag No.8 im Thread
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Carmageddon
J

2021-03-04 10:48 - StrgAltEntf in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo noch mal,

wenn man für Graph 1 folgendes wählt:

V = {S, E, 1, 2, ..., n}, E = {(S.i): i = 1,...,n} U {(i,E): i = 1,...,n}

dann liegt ja das klassische TSP vor, was ja bekanntlich nicht einfach zu lösen ist. Für einen komplizerteren Graph 1 wird es vermutlich nur in Ausnamefällen einfacher. Z. B. wenn

E = {(S,1), (1,2), (2,3), ..., (n-1,n), (n,E)}


Ja das habe ich befürchtet...

Eigentlich wollte ich mich um TSP drücken - bzw. um die Variante die ich hier vorliegen habe, aber wahrscheinlich werde ich da nicht drum rum kommen. Im Moment verwende ich ein paar Einschränkungen um mir das Leben einfach zu machen und um schneller zu werden.



Trotzdem Dank euch. 🙂

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Carmageddon
Kürzester Weg, einen Graph aufzudröseln  
Beitrag No.6 im Thread
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Carmageddon
J

2021-03-03 20:50 - StrgAltEntf in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo Carmageddon,

habe ich das richtig verstanden? Wenn ich erst 3, dann 4 und dann 1 wegnehme, kann das andere Kosten verursachen, als wenn ich erst 4, dann 1 und dann 3 wegnehme?

Exakt!

Zum Beispiel wenn die Box an verschiedenen Stellen ausgeladen wird. Beispiel: wir haben 4 Plätze, die einfach im Abstand von einem Meter in einer Reihe aufgestellt werden.  (1  -  2  -  3  -  4)

1 muss in Platz 1, 2 in Platz 2 usw.

3 nach 4 nach 1 macht 4 m Laufstrecke
4 nach 1 nach 3 macht 5 m Laufstrecke

Edit: Achso: Die Laufstrecke zwischen zwei Stellplätzen wäre hier zusammen mit den Kosten, die ich brauche um den Gegenstand aus der Box zu nehmen und zu verräumen die Gewichte der Kante im Graph 2.

Nehmen wir mal an, jeder Gegenstand braucht gleich lang zum Herrausnehmen, so wäre der Weg 4->1->3 teurer als 3->4->1

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Carmageddon
Kürzester Weg, einen Graph aufzudröseln  
Beitrag No.4 im Thread
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Carmageddon
J

2021-03-03 19:21 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 3 schreibt:
Vielleicht erklärst du noch einmal, was das eigentliche Ziel ist oder zumindest, wie der Graph 2 entsteht, also wie du die Kanten berechnest.



Graph 1:


Hinter dem Graphen kann man sich z.B. Gegenstände in einer Box vorstellen, welche sich gegenseitig blockieren. Ist z.B. 1 mit 2 verbunden, bedeutet dies, dass Gegenstand 1 von 2 blockiert wird.

Konkret hier wird z.b. 1 und 2 von 4 blockiert.

Jeder Gegenstand hat gewisse Kosten um verräumt zu werden. Natürlich kann ich nur Gegenstände nehmen, welche von keinem anderen verdeckt werden. Im Graphen bedeutet dies: Ich kann nur Knoten "abarbeiten" welche keinen Nachfolger haben. Den Punkt "S" und "E" kann man mal ignorieren, sie symbolisieren nur den Boden der Box und die Luft oben drüber, wenn man so möchte.

Zusätzlich gibt es noch "Wegkosten". D.h. wenn ich 3 nehme und dann 4, habe ich noch zusätzliche Kosten, welche von Knoten 3 und 4 abhängen. Knoten 3 und 2 könnten wieder andere Wegkosten haben. Ziel ist es eine möglichst kostenkünstige Sequenz zu finden, die Gegenstände zu verräumen.


So entsteht auch der folgende Graph.

Graph 2:


Ich erzeuge alle möglichen zulässigen Kombinationen die Gegenstände zu verräumen und nehme dann die günstigste.

Jeder Weg von E zu S im obigen Graph liefert mir eine mögliche zulässige Sequenz die Gegenstände zu verräumen.

Ich hoffe nun macht auch mein Kommentar von oben Sinn: Im Graph 1 werden keine möglichen "Bewegungskosten" berücksichtigt, da z.b. 1 gar nicht mit 3 verbunden ist, sie aber durchaus nacheinander aus der Box genommen werden können.


Da die Boxen durchaus recht viele Gegenstände beinhalten können wird mein Graph mit allen möglichen Kombinationen sehr groß und das ganze dauert dann ein bisschen zu berechnen. Es funktioniert natürlich, aber ich dachte ich frage hier mal, ob man die optimale Sequenz direkt aus Graph 1 berechnen kann (ohne den großen Grapen 2 aufzustellen) - ich wüsste aber nicht welchen Algorithmus man nehmen könnte.

Eventuell sollte ich mich auch komplett von Graphen trennen und versuchen das Ganze als Optimierungsproblem zu formulieren.
Die Nebenbedingungen (was wird wann von was blockiert) könnten allerdings etwas tricky werden - deswegen habe ich erstmal den Graphen-Ansatz gewählt.

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Carmageddon
Kürzester Weg, einen Graph aufzudröseln  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-03
Carmageddon
J

2021-03-03 17:09 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 1 schreibt:
Für kreisfreie, gerichtete Graphen ohne hilfreiche Zusatzinformationen bietet sich Dijkstra an.

Hmm, das Problem ist nur: Im Graph 1 habe ich z.B. keine Verbindung von 1 zu 3 - im Graph 2 hingegen schon.
Ich wüsste spontan nicht, wie man diese Information herbekommt, denn diese ergibt sich ja nicht aus dem Graphen selber, sondern aus der Rekursion.

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Carmageddon
Kürzester Weg, einen Graph aufzudröseln  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-03
Carmageddon
J

Hallo Leute,

ich habe mal eine Frage - genauer gesagt, bin ich auf der Suche nach einen effizienten (Optimierungs-) Algorithmus um folgendes Problem zu lösen.

Ich bin bei Graphentheorie relativ unbedarft, es könnte also gut sein, dass es für dieses Problem bereits einen super schnellen Algorithmus gibt. Das wäre natürlich super!

Also, ich habe einen gerichteten Graphen, der von einem Node S zu einem Node E geht. Er ist schleifenfrei.

Hier ist ein Minimal-Beispiel, von so einem Graphen.



Graph 1:



Nun suche ich die "billigste" Lösung, diesen Graphen aufzudröseln in folgendem Sinne:

Ich fange mit der "Spitze" des Graphen an - das wäre E. Nun entferne ich E aus dem Graphen und betrache alle Punkte die keinen Nachfolger haben. Das wäre 4 und 3. Nun habe ich zwei Möglichkeiten weiter zu machen: Ich entferne erst die 4 oder die 3. So hangel ich mich durch den Graphen bis alle Nodes (bis auf S) abgearbeitet sind.

Konkret gibt das folgenden Graph. Ich verwende Graph-Viz um die Graphen zu erstellen, d.h. die Nodes sollten eindeutige Namen haben. Die Zahl hinter dem # ist also einfach nur eine fortlaufende Nummer und kann ignoriert werden.

Grob gesagt: Ich entferne immer eine lose Spitze und hangel mich dann rekursiv bis zu S vor. Das ganze sieht dann so aus


Graph 2



Jede Kante hat natürlich ein Gewicht, das habe ich der Übersicht halber nicht angegeben. Wenn man einen Namen braucht, können wir sie $w_{ij}$ nennen.

Gesucht ist jetzt der kürzeste Weg durch diesen rekursiv erstellten Graphen Graph 2 von E zu S - dieser stellt für mich die gesuchte optimale Variante für Graph 1 da.

Gut so viel zur Erklärung. Natürlich kann man sagen: Stelle doch einfach den rekursiven Graphen auf und berechne den kürzesten Weg. Ja klar, so mache ich es auch im Moment. Allerdings kann dieser Graph sehr schnell sehr groß werden. (im schlimmsten Fall gibt es n! verschiedene Möglichkeiten, bei n Knoten....)

Und tatsächlich brauche ich auch nicht DEN billigsten Weg durch Graph 2, sondern mir würde eine gute Näherung langen.
Am liebsten würde ich den Graph 2 gar nicht aufstellen, da dies extrem viel Zeit frisst im Moment.

Kennt jemand einen Algorithmus (entweder aus der Optimierung oder aus der Graphentheorie), der mich hier unterstützen könnte?

Ich hoffe, ich konnte mein Problem etwas verdeutlichen.

lg

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathsmaths
Nullrandwerte bei Produkt von Sobolev-Funktion mit glatter Funktion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-04
Carmageddon
 

Hallo mathsmaths,

intiuitiv würde ich sagen, dies ist wahr. (Unter der Annahme eines Lipschitz-Randes! Ansonsten denke ich dies ist falsch, aber mir fällt kein Gegenbeispiel ein...)

Wenn <math>\Omega</math> ein beschränktes Gebiet mit Lipschitz Rand <math>\Gamma</math> ist (ist dies bei dir gegeben? Ich gehe mal davon aus), dann gibt es genau eine stetige Abbildung <math>\tau: W^{1,p}(\Omega) \to L^p(\Gamma)</math> mit

<math>(\tau y)(x) = y(x) \; \forall x \in \Gamma \; \forall y \in W^{1,p}(\Omega) \cap C^(\bar \Omega)</math>.

Dieser Operator sollte bei euch im Skript als Spuroperator (oder Trace Operator) auftauchen.

Für Funktionen <math>y,z \in W^{1,p}(\Omega) \cap C^(\bar \Omega)</math> rechnet man nach

<math>\tau ( y z) = (\tau y) (\tau z) </math>

Mit einem Dichtheitsargument sollte sich das auf <math>W^{1,p}(\Omega)</math> übertragen.


Es ist <math>\tau \alpha = 0</math>. Weiter folgt

<math> \tau (f"(g)\alpha) = \tau (f"(g)) (\tau\alpha) = 0</math>

Und damit <math>f"(g)\alpha \in W^{1,p}_0 (\Omega)</math>


Edit: Ich sehe gerade einen Fehler: $f'(g)$ muss nicht in $W^{1,p}$ liegen, sondern nur in $W^{1,p-1}$. Ich lasse den Ansatz trotzdem mal stehen, vll kann man ihn noch retten.


lg


Zahlentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Drgglbchr
Star Discrepancy  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-30
Carmageddon
 

Ich habe es jetzt nicht ausgerechnet.

Betrachte einfach die Teilintervalle, wo A(y) konstant ist und schaue was im Supremum rauskommt!

Zahlentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Drgglbchr
Star Discrepancy  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-29
Carmageddon
 

Ja genau.

Der nächste Schritt wäre es nun den Ausdruck <math>A(y)</math> für alle <math>0 \leq y < 1</math> auszurechnen.
Immerhin ist <math>A(y)</math> eine Treppenfunktion!

Wenn du das hast, kannst du das Supremum angehen.

lg

Zahlentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Drgglbchr
Star Discrepancy  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-29
Carmageddon
 

Hallo,

vll überlegst du dir zunächst, was denn <math>A(y)</math> für verschiedene Werte von <math>y</math> ist.
Dann kannst du diese Erkentnisse anschließend benutzen um das Supremum auszurechnen.

lg

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HonestAbe
Nichtkonvexe Optimierung mit linearen Nebenbedingungen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-27
Carmageddon
 

Hallo HonestAbe,

nur ganz kurz: Hast du dir mal Gedanken zur Lösbarkeit, bzw. Existenz von Lösungen gemacht?

Bsp: <math>A = -1</math>, <math>b = 0</math> und <math>f(x) = arctan(x)</math> führt zu

<math>\min\limits_x \{ arctan(x), \; x \leq 0 \}</math>

was keine Lösung hat. Ansonsten schau dir mal das Augmented-Lagrange-Verfahren an, dort gibt es vll Vereinfachungen, wenn die Nebenbedingungen "linear" sind.

lg

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: master123
Fehlerschätzer  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-09
Carmageddon
 

Hallo master123,

spontan muss ich dabei an diverse Multigrid-Verfahren denken.

Eventuell findest du dort bei den Fehlerschätzern etwas, was dir weiterhilft.

Ansonsten würde es helfen, dein Problem genauer zu beschreiben.



In der Allgemeinheit ist die Antwort Nein: Es gibt Optimierungsprobleme, die eine sog. "scattering" Lösung besitzt, was z.b. eine (stationäre) Lösung sein kann, die unendlich oft (und immer schneller) ossziliert an einer Stelle.
Hier scheitert man mit jeglicher Extrapolation.


lg

Numerik & Optimierung
Beruf 
Thema eröffnet von: Meringe
Minimierung von Abständen zu einer diskreten Anzahl an Punkten  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-04
Carmageddon
J

Hallo,

ich habe eine Kleinigkeit übersehen, stimmt.

Trotzdem:

Das hier

<math>\sum_{i=1}^n \min_{Z_j \in Z} d(P_i, Z_j) </math>

ist einfach eine Konstante! (nicht unbedingt 0 wie ich behauptet habe) Was genau möchtest du hier minimieren?


Du addierst hier doch einfach nur das Ergebnis von vielen kleinen Optimierungsproblemen. Für jeden Punkte stellst du ein separates Optimierungsproblem auf, du musst aber alle Punkte gleichzeitig betrachten!



Vll verstehe ich dich auch einfach nur falsch. Definiere doch bitte dein Optimierungsproblem einmal mathematisch sauber!

lg

Numerik & Optimierung
Beruf 
Thema eröffnet von: Meringe
Minimierung von Abständen zu einer diskreten Anzahl an Punkten  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-04
Carmageddon
J

Hallo Meringe,

deine Modellierung des Zielfunktionales sieht recht seltsam aus:


<math>\sum_{i=1}^n \min_{Z_j \in Z} d(P_i, Z_j) </math>


Das Optimierungsproblem <math> \min_{Z_j \in Z} d(P_i, Z_j) </math> für ein gegebenes <math>i</math> liefert aber immer <math>P_i</math> als Lösung zurück...

Edit: Stimmt natürlich nicht! Ich habe die Menge <math>Z</math> übersehen. Es macht hier trotzdem keinen Sinn die "Summe" von vielen kleinen Optimierungsproblemen zu betrachten



Das bedeutet obiger Term ist immer  konstant und damit gibt es auch nichts zu minimieren!


Ich würde vorschlagen man sucht einen Punkt <math>Z_j</math>, der folgendes Funktional minimiert:

<math>\min_{Z_j \in Z} \sum_{i=1}^n  d(P_i, Z_j) </math>


Allerdings gehen hier nicht die anderen Zentren ein! Man müsste also noch eine Zusatzbedingung einbauen: z.B. das neue Zentrum muss immer mindestens einen gewissen Mindestabstand zu allen anderen Zentren haben.

Hier hängt die Modellierung davon ab was man möchte.

Man kann auch versuchen: Man gewichtet die Punkte <math>P_i</math> stärker, die weiter weg von einem bestehenden Zentrum sind. (so etwas ähnliches hast du mit deinem Ansatz auch versucht)
Das wäre mein Favorit:

<math>\min_{Z_j \in Z} \sum_{i=1}^n  c_i \; d(P_i, Z_j) </math>

wobei <math>c_i := c_i (Z_1,...,Z_{j-1}, P_i)</math> eine geeignete Konstante ist.

lg

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Vektoren in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-28
Carmageddon
 

Hallo,


2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Diese Vorstellung ist leider auch für endlich-dimensionale VR falsch. Betrachte z.b.

<math>\{x = (x_1,...,x_9) \in \IR^9: \;  x_2 = ... = x_9 = 0 \}</math>

Das ist ein VR mit Dimension 1, aber die Vektoren bestehen aus 9 Einträgen.
Liegt das daran, dass aus diesem Vektorraum zwei beliebige Vektoren immer linear Abhängig sind und daher die maximale Anzahl an linear Unabhänigeng Vektoren 1 ist?

Eine Basis ist z.b. gegeben durch <math>\{(1,0,..,0) \in \IR^9\}</math>. Rechne einfach die Eigenschaften einer Basis durch.



2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:

2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Du solltest dich viel mehr fragen: Finde ich eine endliche Menge von linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden?
Für <math>\ell^2</math> ist es super leicht zu beweisen, dass es so eine Menge nicht geben kann. Ergo macht der klassische Begriff der Basis hier keinen Sinn und man kann sagen: Der VR <math>\ell^2</math> hat keine endliche Basis.

Tatsächlich war das erst kürzlich eine Übungsaufgabe, genau das zu zeigen. Allerdings hatte ich die Argumentation der Lösung nicht verstanden. Dort hat man nämlich gezeigt, dass es für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> n linear unabhängige Vektoren gibt. Da aber ja n eine natürlich Zahl ist, ist die Anzahl ja doch immer endlich, daher weiß ich nicht wo dann der Übergang ins unendliche kommt? Oder wird hier unendlich wieder so definiert, dass es über jede Grenze hinweg wächst?

Es gibt überhaupt keinen Übergang ins unendliche. Man verwendet hier nun die Eigenschaft, dass eine Basis eine maximale lineare unabhängige Menge ist, sprich sobald man einen weiteren beliebigen Vektor hinzunimmt ist die Menge linear abhängig. Sollte es für beliebige <math>n</math>, aber immer <math>n</math> unabhängige Vektoren geben, kann so eine Menge offensichtlich nicht endlich sein.


2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Man muss hier nun auf Begriffe wie Hamel-Basis oder  Schauder-Basis ausweichen. Man beachte, dass der Begriff der Schauder-Basis eine Norm benötigt.

Für unendlich-Dimensionale VR ist die Hamel-Basis die natürliche Erweiterung der Basis-Bergriffes.

Ich kenne diese Begriffe von Hamel und Schauder Basis leider nicht. Auf Wikipedia steht allerdings: "[...]Hamelbasis, von der verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt". Ich würde das jetzt so interpretieren, dass die Hamelbasis nur endlich Dimensional sein kann und nicht unendlich dimensional?

Ist die Hamelbasis aber im Prinzip die "normale" Basis die man aus endlichen Vektorräumen kennt?


Für endlich-dimensionale VR stimmen Hamelbasis und "normale" Basis überein. Deine Interpretation kann ich nicht nachvollziehen. Wie schließt du darauf, dass die Hamel-Basis endlich sein muss?

Die Hamel-Basis ist die "normale" Basis. Sie muss nun nur nicht mehr aus endlich vielen Elementen bestehen, wie man es in der endlich-dimensionalen Linearen Algebra lernt, sondern sie besteht nun aus unendlich vielen Elementen. Die englische Wiki-Seite erklärt das recht gut in der Defintion: hier



2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine Schauder-Basis ist per Definition abzählbar unendlich.

Damit ist auch klar, dass in unendlich dimensionalen VR eine Schauderbasis nie eine Hamelbasis sein kann. In endlich-dimensionalen VR macht die Unterscheidung dieser beiden Begriffe keinen Sinn.

Ich bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstehe: Heißt das, dass es Fälle gibt, wo ich für den selben unendlichen VR eine abzählbar unendliche Schauder-Basis finden kann und eine überabzählbar unendliche Hamelbasis? Dann wäre der Begriff der Dimensionalität hier aber nicht eindeutig definiert oder?


Ja, solche Fälle gibt es. Man muss hier allerdings dazusagen, dass man für den Begriff der Schauderbasis eine Norm benötigt. Die Hamelbasis benötigt dies nicht. Nun, man spricht hier von unendlich-dimensionalen VR und belässt es meist dabei.

Man kann für unendlich-dimensionale VR auch nicht mehr sagen, dass sie alle isomorph zueinander sind (wie etwa endlich-dimensionale VR über <math>\IR</math>). Hier gibt es einen wahren Zoo an fundamental unterschiedlichen VR (diese Räume werden erst mit der richtigen Norm interessant). Die "richtige" Definition der Dimension spielt hier in meinen Augen keine große Rolle hier.


Viele Grüße

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Vektoren in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-27
Carmageddon
 

Hallo Gast123,

ich habe irgendwann aufgehört mir bei unendlich-dimensionalen VR etwas vorzustellen. Dort passieren so viele verrückte Dinge, die (in meinen Augen) jeglicher Intuition wiedersprechen. ;)


Zu deinen Fragen:

2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:

Ich glaube mein Grundproblem ist ein bischen, dass ich mir Vektoren immer als n-Tupel aus <math>\mathbb{R}^n</math> vorstelle, wo dann die Dimensionalität einfach die Anzahl der Einträge des Tupels ist.

Diese Vorstellung ist leider auch für endlich-dimensionale VR falsch. Betrachte z.b.

<math>\{x = (x_1,...,x_9) \in \IR^9: \;  x_2 = ... = x_9 = 0 \}</math>

Das ist ein VR mit Dimension 1, aber die Vektoren bestehen aus 9 Einträgen.

Aber ich verstehe worauf du hinaus willst: auf VR die isomorph zum <math>\IR^n</math> sind. Dort ist die Vorstellung durchaus legitim. Leider geht diese Anschauung im unendlich dimensionalen verloren...

2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:
1.) Also zB bei <math>\ell^2</math>: Dort sind die Vektoren ja unendliche Folgen <math>(x_n)_n</math>. Könnte man sich das dann so vorstellen, dass jedes Folgenglied <math>x_n</math> quasi korrespondiert mit einem Eintrag aus einem Tupel? Damit wäre dann ein Vektor zB <math>(x_1, x_2, x_3, ...)</math>. Und da die Folge unendlich viele Glieder hat, sind damit die  Vektoren und damit der Vektorraum unendlich dimensional?

Wie schon mit meinem Beispiel von oben: Die Anzahl der "Folgen-Glieder" hat nichts mit der Dimension zu tun. Von daher ist deine Argumentation falsch.

Die große Verwirrung besteht meiner Meinung nach in der "Definition" von "unendlich". Hat der Vektorraum die Dimension "abzählbar unendlich" oder "überabzählbar unendlich". Ich habe das bewusst in Klammern gesetzt, da dies höchst unmathematisch formuliert ist ;)

Du solltest dich viel mehr fragen: Finde ich eine endliche Menge von linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden?
Für <math>\ell^2</math> ist es super leicht zu beweisen, dass es so eine Menge nicht geben kann. Ergo macht der klassische Begriff der Basis hier keinen Sinn und man kann sagen: Der VR <math>\ell^2</math> hat keine endliche Basis.

Man muss hier nun auf Begriffe wie Hamel-Basis oder  Schauder-Basis ausweichen. Man beachte, dass der Begriff der Schauder-Basis eine Norm benötigt.

Für unendlich-Dimensionale VR ist die Hamel-Basis die natürliche Erweiterung der Basis-Bergriffes.



2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:
2.) Wie würde man sich das dann aber in einem Vektorraum von Funktionen vorstellen? Da dort die Definitionsmenge in der Regel überabzählbar unendlich ist, ist ja sogar schon der Versuch einen Vektor als Tupel hinzuschreiben unmöglich. Kann man da trotzdem irgendeine Analogie finden zu den Vektoren, die als Tupel dargestellt werden können? Sprich, könnte man da auch irgendwie aus der Struktur der Vektoren die Dimensionalität ablesen, so wie bei Tupel aus dem <math>\mathbb{R}^n</math>?

Nein, und dies kann auch i.A. nicht gehen (siehe Antwort auf Frage 3)

2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:
3.) Gibt es bei der Dimensionalität auch die Unterscheidung von abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich? Also sind zB Folgenräume abzählbar unendliche Vektorräume und Funktionenräume überabzählbar unendliche Vektorräume?

Gute Frage! (Im Ernst, das ist eine echt gute Frage :) ) Man muss hier ein bisschen in die Funktionalanalysis einsteigen. Dann lässt sich zeigen, dass jeder "unendlich dimensionale" VR (im Sinne wie oben: Es gibt keine endliche Basis) eine überabzählbar unendliche Hamel-Basis besitzt.

Edit: Dies gilt natürlich nur für Banach-Räume...

Eine Schauder-Basis ist per Definition abzählbar unendlich.

Damit ist auch klar, dass in unendlich dimensionalen VR eine Schauderbasis nie eine Hamelbasis sein kann. In endlich-dimensionalen VR macht die Unterscheidung dieser beiden Begriffe keinen Sinn.



Ich hoffe ich konnte dir ein bisschen weiterhelfen.

Als kleine Übung kannst du dir ja mal eine Schauderbasis von <math>\ell^2</math> überlegen!


Viele Grüße


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nullring
Schwache Abgeschlossenheit  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-19
Carmageddon
 

Hallo Nullring,

in welchem Raum leben denn die Elemente $e_i$?

Poste doch einfach mal deinen Beweis für die Abgeschlossenheit der ersten Menge und die Stellen wo du dir unsicher bist, dann schauen wir mal.


Viele Grüße

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: unixmelo
iteratives Newtonverfahren nichtlineares Gleichungssystem  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-16
Carmageddon
 

2020-06-16 12:17 - unixmelo in Beitrag No. 2 schreibt:
Vielen Dank für deine Antwort :)

Die Jacobi Matrix habe ich gebildet:

<math> f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}8 x_{1} & 18 x_{2} \\ 2 x_{1}-2 & 2 x_{2}+4\end{array}\right) </math>


Als nächstes hätte ich als Startpunkt (3,0) gewählt und diese für x1 und x2 eingesetzt und mit z multipliziert.
Was wäre aber z und wie mache ich dies nun dreimal?




Hallo,

das ist nicht so ganz richtig. Du hast jetzt <math>f"(x)</math> berechnet. Nun musst du das lineare Gleichungssystem

<math>f"(x) z = - f(x)</math>

lösen.


Frage an dich: Hast du das eindimensionale Newton-Verfahren verstanden?

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: unixmelo
iteratives Newtonverfahren nichtlineares Gleichungssystem  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-16
Carmageddon
 

Hallo unixmelo,


woran genau scheiterst du? Du hast das Verfahren doch gegeben, der Rest ist einsetzen, bzw. ausrechnen.

Der erste Schritt wäre es, die Jacobi-Matrix zu berechnen.


viele Grüße

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hanuta2000
Optimierungsproblem  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-05
Carmageddon
J

2020-06-05 10:44 - hanuta2000 in Beitrag No. 10 schreibt:
Dankeschön, tatsächlich bin ich gerade eben noch auf diese Lösung gekommen, allerdings war ich mir nicht ganz sicher, warum kernA als Unterraum dafür sorgt, dass dann Gleichheit folgt.
Wie kann ich mir das erklären?
LG

Hallo,

welche Eigenschaften hat denn ein Unterraum?

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hanuta2000
Optimierungsproblem  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-04
Carmageddon
J

Okay, ich habe noch mal über meinen Tangentialkegel nachgedacht und man muss hier nicht so starke Geschütze auffahren.

Man beachte, dass die Menge <math>C:=\{x: Ax=b\}</math> abgeschlossen und konvex ist. Dann kann man einen Satz aus deiner Vorlesung verwenden und erhält für das Optimierungproblem

<math>min \; f(x)</math> s.t. <math>x\in C</math>

die Variationsungleichung

<math>\nabla f(x^\ast) (x - x^\ast) \geq 0</math> für alle <math>x \in C</math>

(Wenn deine VI mit <math>\forall x \in \IR^n</math> im Skript steht, ist sie in diesem Kontext falsch)


Jetzt nutzen wir aus, das <math>C</math> ein affiner Unterraum ist und schreiben

<math>C := \{x_0 + v: \; Av = 0\}</math> für ein <math>x_0 \in C</math>.

Das setzen wir in die VI ein und erhalten mit <math>x_0 = x^\ast</math>

<math>\nabla f(x^\ast) v \geq 0</math> für alle <math>v \in kern(A)</math>

Weiter ist <math>kern(A)</math> ein Unterraum, d.h. das wiederrum ist äquivalent zu

<math>\nabla f(x^\ast) v = 0</math> für alle <math>v \in kern(A)</math>

Von hier aus kommst du denke ich selber weiter.

Viele Grüße





Edit: Für alle Interessierten: Man kann das natürlich auch mit der allgemeinen Theorie aus meinen ersten Post erschlagen.

Der Tangentialkegel ist gegeben als
<math>T_C(x) := \{ d: \; \exists \tau_i \to 0, \tau_i > 0, \{x_i\} \subset C, \; \tau^{-1}(x_i-x) \to d  \}</math>

Unsere Menge <math>C</math> ist wie oben <math>C:=\{x: \; Ax=b\}</math>. Im Allgemeinen ist der Tangentialkegel schwer bis gar nicht explizit zu berechnen - dafür gibt es dann Konstrukte wie den linearisierten Tangentialkegel. Hier aber ist es möglich und man erhält

<math>T_C(x^\ast) = kern(A)</math>

Nach der allgemeinen Theorie ist unsere VI ja gegeben durch

<math>\nabla f(x^\ast) h \geq 0 \; \forall h \in T_C(x^\ast)</math>

bzw

<math>\nabla f(x^\ast) h \geq 0 \; \forall h \in kern(A)</math>

was genau unser Ergebnis von oben ist.


Edit 2: Wer möchte kann ja mal den Normalenkegel bestimmen. Man erhält <math>N_C(x^\ast) = kern(A)^\perp</math> und damit direkt <math>-\nabla f(x^\ast) \in N_C(x^\ast) = Bild(A)</math> nach der allgemeinen Theorie.


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