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Thema Eingetragen
Autor

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hieron
periodische Kreispackungen, gibt es das?  
Beitrag No.27 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-22
Eckard
 

@Kitaktus: Gutes Auge! Du hast recht, ich hab es schon bemerkt und korrigiert, danke! Ich erlaube mir, deine Werte in meinen Post zu übernehmen.

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hieron
periodische Kreispackungen, gibt es das?  
Beitrag No.24 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-22
Eckard
 

Hallo Dietmar,

schön, dass wir uns wieder mal begegnen. Ich hab auch noch einen:



Unsere Packungen sind der Beginn einer Apollonischen Packung (deine quadratisch in den größten Kreisen, meine hexagonal), jeweils abgebrochen nach dem dritten Radius. Meine Daten sind:
$$
r_1 = 1 \\
r_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \approx 0.15470 \\
r_3 = \frac{r_2}{1 + 2 r_2 + 2 \sqrt{r_2 \,(2 + r_2)}} = \frac{9-4\,\sqrt{3}}{33} \approx 0.06278 \\
\eta = \pi \frac{2315 \,\sqrt{3} - 3336}{2178} \approx 0.971755506074882.
$$

Der Ausdruck für $r_2$ ist dabei nicht schwer herzuleiten, auf $r_3$ kommt man hiermit: Soddys Kreise. Und die Packungsdichte ist sensationell; ich vermute, dass sie mit drei unterschiedlichen Radien nicht zu toppen ist.

Viele Grüße,
-Eckard

[edit 1: da war noch ein Fehler in der Formel für $r_3$, jetzt stimmt es]
[edit 2: Ausdrücke für $r_3$ und $\eta$ dank Kitaktus' Beitrag (siehe unten) ergänzt]

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hieron
periodische Kreispackungen, gibt es das?  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-20
Eckard
 

Hallo hieron,

nun schleich dich mal nicht davon ... ;-)

Das mit dem Goldenen Schnitt kriegst du vom Verständnis auf jeden Fall gebacken, der wurde auf dem Planeten bestimmt schon x-mal durchgekaut (--> Suchfunktion).

Ok, dass oben der goldene Schnitt vorkommt, habe ich ja noch nicht bewiesen; es war nur ein schnelles Ergebnis einer numerischen Rechnung (aber für mich ein ziemlich sicheres Ergebnis ==> "mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit"). Vielleicht poste ich noch die exakte Herleitung, falls gewünscht.

Ansonsten habe ich deine Konfiguration aber bisher noch nicht in den genannten Artikeln entdeckt. Also ist es vielleicht doch etwas Neues, was im positiven Fall bis ans Ende der Welt dann auch mit deinem (richtigen) Namen als Entdecker verknüpft sein sollte, ungeachtet dessen, ob du das Thema weiter verfolgst oder nicht. Das halten wir hier ruhig mal so fest!
Das Ganze ist keinesfalls Folklore. Suche bitte unbedingt weiter, wenn dir das Spaß macht.

Viele Grüße,
-Eckard

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hieron
periodische Kreispackungen, gibt es das?  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-20
Eckard
 

Ach, es gibt doch Referenzen, siehe an:

On Compact Packings of the Plane with Circles of Three Radii von Miek Messerschmidt vom September 2017; ziemlich aktuell noch.

Viele Grüße,
-Eckard

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hieron
periodische Kreispackungen, gibt es das?  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-20
Eckard
 

Hallo Leute,

oh je, ist das lange her, das ich das letzte Mal hier war. Kommt mir vor wie im vergangenen Leben ... aber es fühlt sich gut an!

Hab erstmal ein schickes Bild gemacht:



Das sollte die Einheitszelle von hierons Kreispackung sein.

Man kann jetzt ein bisschen daran herumrechnen, und man erhält (o.B.d.A. sei $r_1$ = 1):
$$
r_1 = 1 \\
r_2 = \phi-1 = 0.61803\dots \quad \mbox{(Goldener Schnitt)} \\
r_3 = \frac12,
$$
was eine Packungsdichte von $\eta = \frac{\pi}{8} (7 \phi-9) \approx 0.9135$ ergibt, und das ist schon ganz ordentlich.

Man findet mehr zum Thema unter den Stichwörtern "binary circle/disc packing", "two-size disc packing", "compact packing" usw. Dies hier ist ja eine "three-size disc packing", da sieht es schon viel dünner aus mit Literaturstellen.

Lohnenswert ist folgender Artikel:
Tom Kennedy: Compact Packings of the Plane with Two Sizes of Discs, Discrete Comput Geom 35:255-267 (2006),
in dem sehr schön alle neun Varianten der binären Packungen erklärt sind.

Etwas ältere Arbeiten sind:
Aladar Heppes: Some Densest Two-Size Disc Packings in the Plane, Discrete Comput Geom 30:241-262 (2003) und
A. Heppes: Solid Circle-Packings in the Euclidean Plane, Discrete Comput Geom 7:29-43 (1992).

Darin taucht auch die wohl bekannteste Packung, die in Wikipeadia unter
Unequal Circles zu sehen ist.

Vielleicht erstmal so viel dazu. Es wäre interessant nach "ternary disc packings" zu suchen, weil hierons Beispiel ja eine solche ist. Mir sind im Moment keine Referenzen bekannt. Bestimmt gibt es noch viel mehr derartige kompakte Packungen.

Viele Grüße,
-Eckard

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Eckard
Wernicks Liste  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-08-01
Eckard
 

Hallo Geometriefans,

wer sich schon lange nicht mehr mit Geometrie beschäftigt hat und wieder mal etwas in dieser Richtung ausprobieren will, für diejenigen habe ich eine Seite gebastelt, bei der es um Dreieckskonstruktionen geht.

Man hat ein Dreieck ABC gegeben, konstruiert dann einige weitere charakteristische Punkte wie Seitenmitten, Höhenfußpunkte etc., radiert daraufhin fast alles - bis auf drei Punkte - weg und soll dann das Original wiederherstellen. William Wernick veröffentlichte 1982 eine solche Liste von Punktetripeln im Mathematics Magazine, die 1996 von Leroy Meyers aktualisiert wurde. Von diesen 139 Möglichkeiten sind heute anscheinend immer noch 20 offen!

Wer also Lust hat, sich mit elementarer Dreiecksgeometrie zu beschäftigen, der kann sich an Wernicks Liste richtig austoben. Ganz fertig ist die Seite noch nicht, weil noch keine Erläuterungen und Beweise zu finden sind, das wird noch nachgeholt. Aber zum Beschäftigen damit reicht es.

Na dann viel Spaß beim Konstruieren!

Viele Grüße,
-Eckard


Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Hazel
Fitting einer Lorentzfunktion  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2007-02-22
Eckard
 

Hi,

oder nehmt das hier vielleicht.

Gruß Eckard

[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 22.02.2007 10:42:43 ]

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Macros
2730 | n^13-n  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2007-01-11
Eckard
J

Du bist aber ehrlich, gut so. Ich habe auch wenig Ahnung von Zahlentheorie.

Es ist besser mit Restklassen zu rechnen. Für die 5 sieht das so aus:

n n^3-1 n^3+1 n^6+1
-------------------
0   4     1     1
1   0     2     2
2   2     4     0
3   1     3     0
4   3     0     2
-------------------

In jeder Zeile steht eine 0, was die Teilbarkeit durch 5 zeigt.

Deine letzte Frage: Wenn man zeigt, dass 2, 3, 5, 7 und 13 eine Zahl teilen, dann muss auch 2*3*5*7*13 diese Zahl teilen. War das so gemeint?

Gruß Eckard

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Macros
2730 | n^13-n  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2007-01-11
Eckard
J

Ja, genau so!

Für 5 und 7 musst du alle vier Faktoren nehmen und alle Restklassen untersuchen. Dann siehst du, dass immer ein Faktor durch 5 bzw. 7 teilbar ist.

Nette Aufgabe, wo stammt sie her?

Gruß Eckard

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Macros
2730 | n^13-n  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2007-01-11
Eckard
J

2730=2*3*5*7*13

Für die Teilbarkeit von n^13-n durch 13 hilft Fermats Little Theorem. Die anderen Faktoren sollten einfacher oder ähnlich zu zeigen sein.

Gruß Eckard

PS. Yep, das funktioniert.

[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 11.01.2007 22:51:05 ]

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Macros
2730 | n^13-n  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2007-01-11
Eckard
J

Hi Macros,

versuche mal, die Differenz n^13-n in möglichst viele Faktoren aufzuspalten. Denke dabei an die 3. binomische Formel. Vielleicht hilfts.

Gruß Eckard

[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 11.01.2007 22:29:41 ]

Physikalisches Praktikum
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kan-u
Standardfehler oder Messfehler bei Messreihe?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2007-01-11
Eckard
J

Hi kan-u,

wie in jeder Wissenschaft gibt es auch hier gewisse übliche Begriffe. "Standardfehler" kenne ich z.B. nicht. Man unterscheidet zwischen systematischen Fehlern (Stichworte: Eichung, Gerätefehler) und zufälligen Fehlern. Kennst du diese Unterscheidung? Der "Messfehler" einer einzelnen Messung kann nur ein systematischer Fehler sein, da zufällige Fehler immer aus statistischen Schwankungen mehrerer Messungen resultieren. Versuche es bitte noch mal umzuformulieren, wie Juergen es vorgeschlagen hat.

Außerdem hast du in deinem ersten post geschrieben: "Während dieser 5 Mal hat sich die angezeigte Kraft gar verändert". Was soll das bedeuten? Ein Problem mit den üblichen Kategorien zu formulieren, hilft ungemein. ;-)

Gruß Eckard

Fourierreihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kan-u
Fourierreihe einer Rechtecksfunktion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2006-12-28
Eckard
J

Hi kan-u,

richtig, wenn du die a_n berechnen willst, brauchst du r(t). Und die Funktion hast du doch. Das erste r(t) ist doch nur die Fourierreihe.

Gruß Eckard

Aktuelles und Interessantes
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Safado
Vorlesungen der Elite-Universitäten im Internet  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2006-12-27
Eckard
 

@the_unknown: Mach mal bitte den Link lebendig.

Gruß Eckard

Lineare Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kan-u
Schwerpunkt  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2006-12-14
Eckard
 

Das kannst du trotzdem nach Andreas' Formel machen. Dann stehen halt die Einheitsvektoren noch im Ergebnis.

Gruß Eckard

PS:
fed-Code einblenden

[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 14.12.2006 20:22:17 ]

Statik des starren Körpers
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: detlef01
Schwerpunkt berechnen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2006-12-14
Eckard
J

Wenn das Problem zweidimensional ist, im schlimmsten Fall ja. Manchmal gibt es auch Probleme, die mit einer Integration zu erschlagen sind, wenn man die zweite Integration "anschaulich" hinbekommt oder die sonstwie klar ist.

Du drückst dich nicht vor dem Ausrechnen, oder?

Gruß Eckard

Statik des starren Körpers
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: detlef01
Schwerpunkt berechnen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2006-12-14
Eckard
J

Was heißt vereinfachen? Ausrechnen! Integriere erst über y, dann über x.

Gruß Eckard

PS. Ich habe in meinem obigen post noch Klammern gesetzt, um klar zu machen, dass geschachtelt gerechnet wird, und zwar von innen nach außen. Rechne also zuerst im Zähler und Nenner die innere Klammer aus.

[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 14.12.2006 18:32:11 ]

Statik des starren Körpers
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: detlef01
Schwerpunkt berechnen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2006-12-14
Eckard
J

Hallo Detlef,
fed-Code einblenden

Soweit klar?

Gruß Eckard

[ Nachricht wurde editiert von Eckard am 14.12.2006 18:31:07 ]

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: digerdiga
Eine etwas andere Art der Oberflächenberechnung einer Kugel  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2006-12-13
Eckard
J

Hi,

sorry, hab diesen post zwischendurch aus den Augen verloren.

Leider kann ich deinen letzten Ausführungen nicht folgen. Vielleicht wird es besser, wenn du einfach weiter rechnest und es hinschreibst.

Gruß Eckard

Schwingungen und Wellen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mechmann
Federn... Kreisförmig  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2006-12-13
Eckard
 

Hallo Mechi,

das Vorzeichen von u(j-1) stimmt nicht. Nein, zusammenfassen kannst du das nicht. Das Ganze wird ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem. Zu dessen Lösung macht man üblicherweise einen Ansatz mit ebenen Wellen.

Gruß Eckard
 

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