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Thema Eingetragen
Autor

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Curry-Howard-Lambek Korrespondenz - welche Logik für die Kategorientheorie?  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-11-10
Gonzbert
 

Danke Ingo für die weiterführenden Links!

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Curry-Howard-Lambek Korrespondenz - welche Logik für die Kategorientheorie?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-11-09
Gonzbert
 

Also erstmal noch besten Dank an Ingo für die ausführliche Antwort!

Ich werde sie auf jeden Fall noch im Detail verdauen und mich bei Bedarf nochmal melden.

Einen Link wollte ich aber noch teilen, da er zu der Antwort und dem Thema insgesamt gut passt.
Andrej Bauer hat vor kurzem ein Paper veröffentlicht, in welchem er auch Beispiele für Aussagen gibt, welche ohne das LEM nicht gelten.
Link zum AMS.

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Curry-Howard-Lambek Korrespondenz - welche Logik für die Kategorientheorie?  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-11-09
Gonzbert
 

So, also Ingo hat praktisch in Nullzeit geantwortet und mich gebeten, die Antwort ins Forum zu kopieren. Hier kommt sie:
----Zitat von Ingo Blechschmidt:----
Zunächst eine kleine Bemerkung zur Sprechweise. Es heißt zwar immer "Curry-Howard-Isomorphismus", ich finde den Begriff "Curry-Howard-Korrespondenz" aber viel besser, da hier *keine* Isomorphie zwischen zwei Objekten einer Kategorie vorliegt.

Was besagt diese Korrespondenz genau? Zunächst gibt sie eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen Aussagen und Typen, und zwar Aussagen eines gewissen logischen Systems und Typen eines gewissen Typsystems. (Die Korrespondenz funktioniert für viele Wahlen von logischen Systemen
und Typsystemen.) Bildlich und etwas schwammig gesprochen ordnet sie einer Aussage den Typ ihrer Zeugen zu. Die Zuordnung ist so beschaffen, dass eine Aussage genau dann intuitionistisch beweisbar ist, wenn eines Term des zugehörigen Typs gibt.

Etwa gibt es genau deswegen einen Term vom Typ <math>$A \to (B \to A)$</math>, da es einen intuitionistischen Beweis der Implikation <math>$A \Rightarrow (B \Rightarrow A)$</math> gibt.

Es gibt aber (im Allgemeinen) keinen intuitionistischen Beweis von <math>$A \vee \neg A$</math>, ausgeschrieben <math>$A \vee (A \Rightarrow \bot)$</math>, und entsprechend auch keinen Term vom Typ <math>$\mathsf{Either} A (A \to \bot)$</math>. (Ich erlaube mir hier Haskell-Notation für den Summentyp.)

Der Zusammenhang zu kartesisch abgeschlossenen Kategorien ist folgender:
Man kann jeden Term des einfach typisierten λ-Kalküls in jeder kartesisch abgeschlossenen Kategorie interpretieren. (Dabei gibt man die Interpretation der vorkommenden Typen durch beliebige Objekte der Kategorie vor.)

Zum Beispiel gibt es den λ-Term <math>$\lambda x. x$</math> vom Typ <math>$A \to A$</math>.
Wenn man diesen in einer beliebigen kartesisch abgeschlossenen Kategorie interpretiert, erhält man dort den Identitätsmorphismus.

Ein anderes Beispiel: Interpretiert man den λ-Term <math>$\lambda x. (\lambda y. x)$</math>, so erhält man einen Morphismus <math>$A \to [B, A]$</math>, der unter der Produkt/Hom-Adjunktion der Projektion <math>$A \times B \to A$</math> auf die zweite Komponente entspricht. Hierbei ist <math>$[B, A]$</math> das interne Hom.

Nun direkt zu deiner Frage: In der Tat steht es dir frei, im Umgang mit kartesisch abgeschlossenen Kategorien klassische Logik zu verwenden. Das ist nun deswegen kein Widerspruch, da es in einer gegebenen kartesisch abgeschlossenen Kategorie im Allgemeinen trotzdem keinen Morphismus gibt, der (unter der Korrespondenz Aussagen zu Typen zu Objekten) dem Axiom vom ausgeschlossenen Dritten entspricht.

Das zeigt sich am einfachsten, wenn wir nicht das Axiom vom ausgeschlossenen Dritten untersuchen (in dem eine Disjunktion vorkommt), sondern das Gesetz von Peirce: <math>$((A \Rightarrow B) \Rightarrow A) \Rightarrow A$</math>. Es ist zum Axiom vom ausgeschlossenen Dritten äquivalent.

In einer gegebenen Kategorie kann es oder kann es nicht einen Morphismus vom Typ <math>$[[A, B], A] \to A$</math> geben. Falls ja, ist das unter der Korrespondenz zu der gegebenen Kategorie zugehörige intuitionistische System sogar ein klassisches System. Falls nein, dann nicht.

Der Typ <math>$((A \to B) \to A) \to A$</math> ist übrigens genau der Typ, den der call/cc-Operator in Scheme hat; und diese Beobachtung hat wirklich Substanz.

Auf dem Workshop "Haskell in Leipzig", übrigens eine großartige Veranstaltung, habe ich mal über das Thema vorgetragen. Die Folien sind online: nfa.imn.htwk-leipzig.de/HAL2015/programm/slides/blechschmidt.pdf
Außerdem gibt es möglicherweise auf dem nächsten Treffen des Curry Clubs Augsburg einen Vortrag dazu, vielleicht sogar mit einem Ausblick auf lineare Typsysteme.

Triceratops: Du hast ganz recht, dass man zwischen der äußeren Logik und der inneren Logik unterscheiden muss. Ich würde die Aussage, dass man ohne LEM nicht weit komme, aber etwas abschwächen. Große Teile der Mathematik funktionieren ohne LEM genauso gut wie mit, etwa klassische Algebra wie Galoistheorie, kommutative Algebra sofern man nicht über Primideale spricht, Analysis und Kategorientheorie. Gelegentlich muss man sich etwas Mühe bei der Formulierung von Definitionen und Sätzen machen, etwa nicht unnötigerweise Negationen einschleppen.

In konstruktiver Analysis muss man gelegentlich Aussagen auf eine Art und Weise abschwächen, die man klassisch nicht sieht, aber numerische Bedeutung hat. Zum Beispiel kann man den Zwischenwertsatz nicht für beliebige stetige Funktionen <math>$f : [a,b] \to \mathbb{R}$</math> beweisen. Eine von mehreren Möglichkeiten besteht darin, von <math>$f$</math> noch vorauszusetzen, dass <math>$f$</math> *lokal nichtkonstant* ist: Für alle <math>$x < y$</math> in <math>$[a,b]$</math> und alle <math>$t \in \mathbb{R}$</math> soll es eine Stelle <math>$z \in [x,y]$</math> mit <math>$f(z) \neq t$</math> geben. (In der Tat ist die numerische Nullstellenfindung bei Annäherung horizontal verlaufenden Graphen schwieriger als bei lokal nichtkonstanten Funktionen.)

Man kann sogar kommutative Algebra samt Primidealen und maximalen Idealen intuitionistisch durchführen; das haben Coquand, Coste, Lombardi, Roy und viele andere ausgearbeitet. Wenn Interesse besteht, kann ich dazu auch etwas sagen.

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Curry-Howard-Lambek Korrespondenz - welche Logik für die Kategorientheorie?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-11-08
Gonzbert
 

Danke, ich habe ihm mal eine Mail geschickt.

Ich kenne ihn persönlich leider nicht, aber der Name war mir durch diesen exzellenten Vortrag bereits bekannt.

Matheplanet
  
Thema eröffnet von: matroid
Neues vom Schwarzen Brett  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-11-08
Gonzbert
 

Zu den Gelegenheitssurfern: Dann sollte das Schwarze Brett auch für nicht-eingeloggte Besucher sichtbar sein. Das ist es momentan aber nicht.

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Curry-Howard-Lambek Korrespondenz - welche Logik für die Kategorientheorie?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-10-29
Gonzbert
 

Hm, hat vielleicht noch jemand mit mehr Erfahrung in diesem Gebiet eine Meinung?

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Curry-Howard-Lambek Korrespondenz - welche Logik für die Kategorientheorie?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-10-20
Gonzbert
 

Hallo zusammen,

der Curry-Howard-Lambek Isomorphimus sagt ja u.a. aus, dass intuitionistische Logik und kartesisch abgeschlossene Kategorien isomorph sind.

Wenn ich eine Aussage in intuitionistischer Logik beweisen möchte, darf ich ja beispielsweise nicht das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten verwenden.

Aber wie sieht das aus, wenn ich diese Aussage in die Kategorientheorie übersetze und dort beweisen will? An welche Logik muss ich mich da halten?

Darf ich dort die normale, klassische Logik benutzen, also insbesondere im Beweis für die übersetzte Aussage auch das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten?

Danke und Gruß!

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Addition von Vektorbündeln geometrisch  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-08-30
Gonzbert
 

@Hanno:
Autsch. Danke für den Hinweis, das hatte ich völlig übersehen.

@Fabi:
Besten Dank für die Erklärung. Die geometrische Bedeutung der Addition ist nun für orientierte Bündel klar. smile

Das Argument mit der Eulerklasse funktioniert - unabhängig von Hannos Einwand - meines Erachtens nicht ganz:
Die Eulerklasse des 4-dimensionalen Bündels war x, aber indem wir das Bündel stabilisieren töten wir ja auch die Eulerklasse.
(Mal davon abgesehen, dass die Eulerklasse nur für orientierte Bündel definiert ist)

Aber ok, das Bündel aus dem Startbeitrag war orientiert, und vergißt man die Orientierung, verliert man auch die Information über die Eulerklasse. Bleibt noch die Pontrjagin-Klasse übrig, aber um dein Argument zu übertragen, müsste man ja wissen, dass 2x die "kleinstmögliche" 1.Pontrjagin-Klasse eines Vektorbündels über der S4 ist.

Sieht man das irgendwie bzw. gilt das überhaupt?

Danke euch beiden für eure Beiträge.

Grüsse!

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Addition von Vektorbündeln geometrisch  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-08-30
Gonzbert
 

Hallo!
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Speziell versuche ich folgende Behauptung nachzuprüfen:
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Für Ideen und Kommentare wäre ich dankbar. smile

Grüße

[ Nachricht wurde editiert von Gonzbert am 30.08.2009 17:50:55 ]

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Vektorbündel - Hopf-Faserung  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-06-25
Gonzbert
J

Die Frage aus Beitrag 13 ist auch nach so langer Zeit noch aktuell... smile

[ Nachricht wurde editiert von Gonzbert am 25.06.2009 22:16:12 ]

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Vektorbündel - Hopf-Faserung  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-05-31
Gonzbert
J

Hi owk! smile

Mittlerweile ist es mir (fast) klar.

Also die Behauptung folgt eigentlich gar nicht aus der genauen Gestalt, sondern nur aus der Eindeutigkeit der charakteristischen Klassen.
Das Hopfbündel über OP2 beispielweise ist ein Bündel über der S8, also sind mit den obigen Argumenten alle projektiven Ebenen homöomorph zum Thom-Raum dieses Hopfbündels.

Die Frage, wo man die charakteristischen Klassen der klassischen Hopfbündel findet, war also relativ überflüssig, denn die Berechnungen aus Beitrag 5 funktionieren ja insbesondere auch für die 4 klassischen projektiven Ebenen. smile

Eine Sache fehlt in der Argumentation meines Erachtens aber noch. Und zwar waren die Klassen ja nur bis auf ein Vorzeichen eindeutig bestimmt. Jetzt müsste man ja noch wissen, dass im Fall von HP2 und OP2 die Klassen der Hopfbündel von HP2op und OP2op genau die charakterischen Klassen mit dem anderen Vorzeichen haben.

Ist das aus irgendwelchen Gründen klar?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Vektorbündel - Hopf-Faserung  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-05-25
Gonzbert
J

Ach mist, jetzt hatte ich es in meinem letzten Beitrag ja auch gerade falsch beschrieben.
Es wurden ja die charakteristischen Klassen des Vektorbündels ν bestimmt und man weiß, dass ν und η als Rm-Bündel isomorph sind.

Ich ändere das in meinem letzten Beitrag mal. Sorry.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Vektorbündel - Hopf-Faserung  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-05-25
Gonzbert
J

Hi owk!

Wo genau benötigt man das? Im Prinzip ist es ja nur eine Abbildung
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Oder wo übersehe ich hier was?

Übrigens sprichst du vom Vektorbündel η, aber es ist erstmal nur klar, dass η ein Rm-Bündel ist.


Aber unabhängig vom konkreten Problem hier, muss es ja beispielsweise irgendwie möglich sein, ein 8-dimensionales Vektorbündel über der S8 zu konstruieren, dass Eulerklasse x und Pontrjagin-Klasse 1+6x hat.

Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass das nirgends zu finden sein soll. Und wenn ich dann zeigen könnte, dass die Ein-Punkt-Kompaktifizierung des Totalraums dieses Bündels der OP2 ist, wäre ich ja fertig.

Also hoffe ich zumindest. smile Klingt für mich aber sehr plausibel, dass das so funktionieren sollte.

[ Nachricht wurde editiert von Gonzbert am 25.05.2009 21:36:38 ]

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Vektorbündel - Hopf-Faserung  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-05-24
Gonzbert
J

Hi owk! smile

2009-05-24 14:22 - owk in Beitrag No. 6 schreibt:
aber um ueber das Vektorbuendel ν sprechen zu koennen, muss man diese Konstruktionen ja schon durchgefuehrt haben.
Das verstehe ich nicht so ganz, v ist ja einfach nur das Normalenbündel der Untermannigfaltigkeit L von P. Wo benötigt man da die Struktur einer reellen Divisionsalgebra?

Das Ziel des Ganzen ist übrigens die Bestimmung des Homöomorphietyps von P. Und es stellt sich heraus, dass P homöomorph zum Punktraum einer der klassischen projektiven Ebenen über R, C, H oder O ist.

Im Hinblick darauf ist es ja schon sehr nützlich zu wissen, dass P\{o} homöomorph zum Totalraum eines Rm-Bündels über der Sm ist.
Naja, und die wichtigen charakteristischen Klassen dieses Bündels sind bekannt (zur genauen Gestalt siehe letzter Beitrag). Aber ich weiß nicht, wie ich jetzt dieses Bündel identifizieren kann, dazu habe ich mit google nichts gefunden.

Das mit dem Vorzeichen ist meiner Meinung nach so gemeint, dass P auch der Punktraum der projektiven Ebene über Hop sein könnte. Dies macht die Klassifikation aber nicht kaputt, denn die Punkträume der projektiven Ebenen über H und Hop sind homöomorph, nach einem Satz von Tamura.

2009-05-24 14:22 - owk in Beitrag No. 6 schreibt:
Dass P die 1-Punkt-Kompaktifizierung von P \ {o} ist, gilt fuer jeden kompakten Hausdorffraum.
Ähm, ja. Natürlich. smile Danke.

Beste Grüße!

[ Nachricht wurde editiert von Gonzbert am 24.05.2009 19:29:17 ]

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Vektorbündel - Hopf-Faserung  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-05-24
Gonzbert
J

Ok, dann muss ich etwas weiter ausholen. wink
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Danke schon mal, und viele Grüße!  smile

[ Nachricht wurde editiert von Gonzbert am 24.05.2009 11:50:34 ]

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Vektorbündel - Hopf-Faserung  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-05-23
Gonzbert
J

Ja. smile

Aber ich muss vorher noch etwas über die ganze Sache nachdenken, bevor ich das dann hier poste.


Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Vektorbündel - Hopf-Faserung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-05-22
Gonzbert
J

Hi owk!

Danke, werde mich gleich mal über das tautologische Bündel informieren.

Die Aussage aus dem Hatcher kannte ich, aber ich denke nicht, dass ich sie hier benutzen kann, denn es ist nicht klar, dass der Totalraum des Bündels v auch eine Sphäre sein muss.

Grüße!

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Vektorbündel - Hopf-Faserung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-05-22
Gonzbert
J

Hallo!
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Insbesondere interessieren mich der Abbildungskegel (für n=2 ist es der CP2, aber für beliebiges n?) und die Pontrjagin-Klassen.

Ehrlich gesagt ist es so, dass mir auch nicht richtig klar ist, was letzteres bedeuten soll. Was  die Pontrjagin-Klassen eines Vektorbündels sind, ist klar. Aber eines Sphären-Bündels?

Vielmehr ist es so, dass ich ein Vektorbündel v habe - mit Basisraum Sn und Faser Rn-, von dem ich weiß, dass es durch die Euler- und Pontrjagin-Klasse bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.
Und dann wird hier behauptet (nachdem die genannten Klassen von dem konkreten Vektorbündel v bestimmt wurden), dass v das klassische Hopf-Bündel ist.

Weiß jemand, wie das zu verstehen ist?

Besten Dank schonmal!




[ Nachricht wurde editiert von Gonzbert am 22.05.2009 12:20:16 ]

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Faserung durch Mannigfaltigkeit eindeutig bestimmt  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-03-31
Gonzbert
J

Alles klar! Danke! smile

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gonzbert
Faserung durch Mannigfaltigkeit eindeutig bestimmt  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2009-03-31
Gonzbert
J

Hi Fabi,

besten Dank nochmal für gute Erklärung, die Eindeutig ist jetzt klar.

Die Existenz einer solchen Faserung eigentlich auch, denn das ist ja im Prinzip genau die Aussage von Satz 4.71 im Hatcher.
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Zumindest wenn ich nichts übersehe. wink

Eine Frage hätte ich aber noch:
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Danke und beste Grüße!



[ Nachricht wurde editiert von Gonzbert am 31.03.2009 17:17:05 ]
 

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