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Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LamyOriginal
Revidierter Simplex-Algorithmus (wann ist ein Vektor kleiner 0?)  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-08
LamyOriginal
 

Hallo, ich soll ein lineares Problem mit dem revidierten Simplex Algorithmus lösen.

Nun ist bei einem Schritt mein Vektor $w=\begin{pmatrix}6\\2\\-1 \end{pmatrix}$.
Im Algorithmus heißt es, dass falls der Vektor $w\leq 0$ ist, das lineare Programm nicht lösbar ist. Nun glaube ich, dass mir ein Fehler unterlaufen ist.

Meine (etwas peinliche) Frage: wann ist ein Vektor kleiner Null?

Wenn alle $x_1 \geq 0$ ist x positiv. Aber was wenn da, wie in meinem obigen Fall, ein Misch-Masch ist?

Danke!!!!!

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LamyOriginal
Lineares Programm graphisch lösen und Dualprogramm  
Beitrag No.14 im Thread
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LamyOriginal
 

2020-07-03 01:47 - Goswin in Beitrag No. 13 schreibt:

So:
(1)  Stellen Sie das zugehörige duale Programm auf.
(2) Lösen Sie das duale Problem zeichnerisch.
(3) Leiten Sie davon die Lösung der primalen Aufgabe ab.

(Die Reihenfolge der Teilaufgaben ist freilich hinterlistig)

Ahh okay danke! Hab ich mir irgendwie schon gedacht, da beim dualen Problem nur noch zwei Variablen vorhanden sind...

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Lineares Programm graphisch lösen und Dualprogramm  
Beitrag No.12 im Thread
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LamyOriginal
 

2020-07-02 22:05 - hanuta2000 in Beitrag No. 11 schreibt:
Leider nein, kein Stück

Mhm same, bin am Montag auf den Lösungsweg gespannt...

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Lineares Programm graphisch lösen und Dualprogramm  
Beitrag No.10 im Thread
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LamyOriginal
 

2020-07-02 18:26 - LamyOriginal in Beitrag No. 9 schreibt:
2020-07-02 18:21 - hanuta2000 in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich probiere mal weiter, aber mal nebenbei: Hast du eine der anderen Aufgaben gelöst?

Nein ich mache nur Aufgabe 3 aber habe da bis jetzt nur das Dualprogramm weil ich nicht verstehe, wie man 3D zeichnet...

Bist du weitergekommen? Habe bei Aufgabe 4 auch nur das DP bestimmt...

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Lineares Programm graphisch lösen und Dualprogramm  
Beitrag No.9 im Thread
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2020-07-02 18:21 - hanuta2000 in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich probiere mal weiter, aber mal nebenbei: Hast du eine der anderen Aufgaben gelöst?

Nein ich mache nur Aufgabe 3 aber habe da bis jetzt nur das Dualprogramm weil ich nicht verstehe, wie man 3D zeichnet...

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Lineares Programm graphisch lösen und Dualprogramm  
Beitrag No.6 im Thread
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2020-07-02 18:05 - hanuta2000 in Beitrag No. 5 schreibt:
Also ich hab graphisch \( x=(5,0,3) \) raus
Sicher bin ich mir damit aber nicht

Wie hast du das gezeichnet?

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Lineares Programm graphisch lösen und Dualprogramm  
Beitrag No.4 im Thread
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2020-07-02 17:54 - hanuta2000 in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich fange gerade damit an, also bisher nicht

Mhm okay, wäre nett, wenn du mir dabei helfen könntest. Ich verstehe nicht, wie man das in (a) mit 3 Variablen zeichnen soll...
Bei dem (DP) kommen nur noch 2 Variablen vor, das kann man zeichnen, aber da kommt bei mir eine unbeschränkte Optimallösung raus.

Der Prof hat das DP in der VL auch definiert, dass es $\leq$ und nicht $\geq$ sein soll, also dass sich das Gößer-Zeichen beim DP nicht ändert. Dann käme bei mir beim DP als Optimallösung $(1,\frac{1}{2})$ raus, was aber auch wieder nur 2 Variablen sind und die (c) erschweren...

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Lineares Programm graphisch lösen und Dualprogramm  
Beitrag No.2 im Thread
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LamyOriginal
 

2020-07-02 17:49 - hanuta2000 in Beitrag No. 1 schreibt:
Kleiner Hinweis: Es ist \(min x_1 +x_3 \)
Ich weiß nicht ob du das duale Problem mit dem Fehler berechnet hast oder mit der richtigen Zielfkt

Oh ja danke, habe es hier nur falsch abgetippt. Machst du die Aufgabe auch? Ich verstehe die irgendwie nicht...

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Lineares Programm graphisch lösen und Dualprogramm  
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LamyOriginal
 

Hallo, ich habe Probleme bei einer Optimierungsaufgabe.

Ich habe das folgende Lineare Programm gegeben:
$min x_1 + x_3$
s.t.$x_1 + 2x_2 \leq 5$
$x_2 + 2x_3 =6 $
$x_1,x_2,x_3 \geq 0$

(a) lösen Sie das Problem zeichnerisch
(b)  Stellen Sie das zugehörige duale Programm auf.


Nun meine Frage: wie mache ich (a)? Ich habe doch drei Variablen $x_1x_2x_3$ gegeben. Wie zeichne ich sowas ein? Hatten bisland nur zwei Variablen $x_1,x_2$ gegeben, die wir einzeichnen mussten...

zu (b) habe ich folgendes DP herausbekommen (wäre nett, wenn mal einer drüberschauen könnte, da ich das für eine weitere Teilaufgabe brauche):
$max 5y_1 + 6y_2$
s.t.$y_1 \geq 1$
$2y_1 + y_1 \geq 0 $
$2y_2\geq 1$

Vielen Dank für jede Hilfe
$y\geq0$

Eigenwerte
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Jordansche Normalform und Polynome  
Beitrag No.2 im Thread
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LamyOriginal
J
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2020-06-30 21:53 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo LamyOriginal,

du kannst zeigen, dass nilpotente Endomorphismen nur einen Eigenwert haben, nämlich 0. Damit und mit dem Rang kannst du die JNF aufstellen.

Zu deiner zweiten Frage: Das charakteristische Polynom einer Matrix ist ja $\det(XI_n-A)$. Wenn du $A$ bereits in JNF gebracht hast, dann handelt es sich bei $XI_n-A$ um eine untere Dreiecksmatrix (oder obere, je nach Konvention). Deren Determinante ist leicht zu berechnen.
Und fürs Minimalpolynom hast du deine Frage im Prinzip schon beantwortet: Der Exponent von $(X-\lambda)$ ist einfach die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert $\lambda$. Das liegt daran, dass die Jordanblöcke im wesentlichen voneinander unabhängig interagieren. Wenn du beispielsweise eine JNF $M$ mit den Jordanblöcken $J_1,\dots,J_n$ hast, dann besteht $(M-\lambda I_n)^k$ aus den Blockmatrizen $(J_1-\lambda I_n)^k,\dots,(J_n-\lambda I_n)^k$. Wenn der Faktor $(X-\lambda)^k$ im Minimalpolynom bereits den größten Jordanblock zum Eigenwert $\lambda$ zu 0 macht, dann macht er auch alle kleineren Jordanblöcke zu 0. Und das kleinste $k$, das diese Eigenschaft hat, ist gerade die Größe des größten Jordanblocks. Entsprechend muss der Exponent des Terms $(X-\lambda)$ gerade die Größe des größten Jordanblocks sein. Beispielsweise ist das Minimalpolynom von

\[\matrix{2&0&0\\1&2&0\\0&0&2}\]
einfach $(X-2)^2$, denn der größte Jordanblock zum einzigen Eigenwert 2 hat die Größe 2.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

Vielen vielen lieben Dank für deine ausführliche Erklärung! :)
\(\endgroup\)

Eigenwerte
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Jordansche Normalform und Polynome  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-30
LamyOriginal
J

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Sei $A \in M_{3,3}(\mathbb{KK})$ eine nilpotente Matrix vom Rang 2.
Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von A.

Ich weiß nur, dass auch $J \in M_{3,3}(\mathbb{K})$ sein muss, also dim(J)=3 und wegen der Ähnlichkeit auch Rang(J)=2 gelten muss, also die Summe der Ränge der Jordanblöcke muss 2 sein. Außerdem weiß ich, dass ein Eigenwert 0 sein muss, da dimA>rangA.
Nun weiß ich leider weder, was die anderen Eigenwerte sind, noch wie groß die jeweiligen Jordanblöcke sind bzw wie viele es gibt...

Außerdem habe ich noch eine Frage:
bei einer anderen Aufgabe habe ich zwei Eigenwerte $\lambda_1, \lambda_2$ gegeben und muss alle Möglichkeiten der Jordanschen Normalform für eine Matrix $A \in M_{4,4}(\mathbb{K})$ angeben inkl. charakteristisches und Minimalpolynom.
Nun meine Frage: was genau ist der Unterschied?

Beim Minimalpolynom bedeutet ja z.B. (ich nehme jetzt eine Matrix größerer Dimension) $(x-4)^3$, dass für den Eigenwert 4 ein 3-er Block der größte Block für diesen Eigenwert ist. Aber was, wenn es noch einen 2-er Block zum Eigenwert 4 gibt?
Und beim charakteristischen Polynom muss ich doch noch die Dimension des Kerns jedes Eigenwerts berechnen für Größe der Blöcke, oder? Die Potenz bei $(x-4)^3$ z.B. sagt mir nur, dass der Eigenwert 4 3-mal in der Diagonalen von J vorkommt...

Wie lese ist denn das charakteristische und Minimalpoylnom aus der Jordanschen Normalform ab?
Hilfeeeeeee

Numerik & Optimierung
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Fourier-Motzkin-Elimination  
Beitrag No.18 im Thread
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LamyOriginal
J

2020-06-17 20:30 - hanuta2000 in Beitrag No. 17 schreibt:
Also bei x_3 bekomme ich raus, dass das gleich93/245 ist. Kann ich irgendwie nicht so ganz glauben...

Hab ich auch raus ;) und für $x_4=-\frac{159}{245}$, aber wenn ich es in alle Ungleichungen einsetze, kommt immer eine wahre Aussage raus.

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Fourier-Motzkin-Elimination  
Beitrag No.16 im Thread
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LamyOriginal
J

2020-06-17 20:16 - hanuta2000 in Beitrag No. 15 schreibt:
ja, glaube schon. Also mit i),ii) argumentieren

Okay, danke für deine Hilfe!!! :)

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Fourier-Motzkin-Elimination  
Beitrag No.14 im Thread
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LamyOriginal
J

2020-06-17 20:11 - hanuta2000 in Beitrag No. 13 schreibt:
Ne alles gut, scheint ja zu stimmen, sehe nur meinen Fehler nicht..

Okeee wie muss man an den zweiten Teil der Aufgabe rangehen? Einfach rekursiv einsetzen und $x_3, x_4$ noch zusätzlich bestimmen?

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: LamyOriginal
Fourier-Motzkin-Elimination  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-17
LamyOriginal
J

2020-06-17 20:01 - hanuta2000 in Beitrag No. 11 schreibt:
Kannst du mir mal die Ungleichungen schicken die du nach Eliminieren von x_4 hattest?

Ja, anscheinend hatte ich da irgendwie schon $x_2$ allein stehen mit $7x_2\leq 2$ mhmm

$\textbf{+:} \hspace{2ex}-9x_1 + 2x_2 + 30x_3 \leq 7$
$\textbf{-:} \hspace{3ex} -7x_1 - 4x_2 \leq -5$
$\textbf{0:} \hspace{6ex} 7x_2 \leq 2$ und $-2x_1 -5x_3\leq -3$


Warum, hab ich iwas falsch gemacht?

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Fourier-Motzkin-Elimination  
Beitrag No.10 im Thread
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J

Ja hast recht. Als ich $x_3$ eliminiert habe, kam bei mir eine Ungleichung $7x_2\leq2 \iff x \leq \frac{2}{7}$ raus.
Habe dann $x_2=\frac{2}{7}$ als eine Lösung in meine Ungleichung $-21x_1 + 2x_2 \leq -11 = -21x_1 + \frac{4}{7} \leq -11 \iff x_1 \geq \frac{27}{49}$ eingesetzt.

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Fourier-Motzkin-Elimination  
Beitrag No.8 im Thread
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J

2020-06-17 18:33 - hanuta2000 in Beitrag No. 3 schreibt:
Kein Ding, das Intervall von der Projektion auf die erste Koordinate ist glaube ich x_1 größer gleich 27/49. Wenn du das auch rausbekommst, dann sag mal gerne deine Ungleichungen nach den Projektionen

Hab die andere nicht, denke mein Übungspartner macht die

Habe auch $x_1\leq\frac{27}{49}$ raus!!!! Yaay, kann ich jetzt rekursiv die anderen Punkte $x_2, x_3, x_4$ für den zweiten Teil der Aufgabe bestimmen, oder wie mache ich das?


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Fourier-Motzkin-Elimination  
Beitrag No.6 im Thread
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J

Mhm man teil ja die Startmatrix in drei Gruppen auf: Ungleichungen
mit positivem, negativem bzw. gar keinem Koeffizient (also $x_4=0$) bei $x_4$, dann habe ich 2x2 Ungleichungen mit positiven und negativen Koeffizienten $x_4$, welche durch Addition wieder zwei Ungleichungen ohne $x_4$ ergeben + die eine Ungleichung, die schon kein $x_4$ hatte.

Bekomme dann nämlich 2 Ungleichungen mit positivem $x_3$ und ohne $x_4$ (eine davon ist ja aus der Startmatrix) und eine mit negativem $x_3$ und ohne $x_4$

Welche Ungleichungen ohne $x_4$ kamen denn bei dir raus, die du dann für die Elimination von $x_3$ verwendet hast?

P.S. was genau sagt mit dann dieses $x_1$ in dieser Aufgabe?

Danke

Wait nvmd hab einen Fehler gefunden, ich versuchs nochmal omg sorryy

Numerik & Optimierung
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Fourier-Motzkin-Elimination  
Beitrag No.4 im Thread
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LamyOriginal
J

Mhm ich habe jetzt $x_4$ eliminiert und möchte nun $x_2$ eliminieren, habe aber folgende Ungleichungen:
$x_1+x_2+3x_3 \leq 2$
$-9x_1 + 2x_2 + 30x_3 \leq 9$ und
$-2x_1 -5x_3 \leq 2$

Wie mache ich das nun, da $x_2$ hier dasselbe Vorzeichen hat und ich ja nicht *(-1) rechnen kann, da sich sonst das Ungleichzeichen dreht?

Numerik & Optimierung
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Fourier-Motzkin-Elimination  
Beitrag No.2 im Thread
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LamyOriginal
J

2020-06-17 18:23 - hanuta2000 in Beitrag No. 1 schreibt:
Im Beweis projektierst du \(x_1,..,x_4\) auf \(x_1,x_2,x_3\). Dann machst du mit den drei Variablen das gleiche und dann mit \(x_1,x_2\) nochmal, sodass dann eine Ungleichung rauskommt die nur von \(x_1\) abhängt. Ich sitze da auch gerade dran, allerdings weiß ich was für die Projektion rauskommen soll, ich verrechne mich aber scheinbar die ganze Zeit, obwohl ich sowohl Taschenrechner als auch WolframAlpha benutze :D

Ah okay danke :D dann versuche ichs mal^^ hast du zufällig auch Aufgabe 2 bearbeitet mit den Polyeder Mengen? Sorry bin echt dumm in Opti...
 

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