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Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LeMath
Orthogonales Komplement  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-07
LeMath
 

Super :)
Danke euch!

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LeMath
Orthogonales Komplement  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-07
LeMath
 

Hallo alle zusammen!

Ich habe einen eindimensionalen Unterraum U1 vom euklidischen Raum E^3 gegeben.

U1 = span (u1) = span ((1,2,2))^T

Meine Aufgabe ist: Geben Sie eine Orthogonalbasis für das Orthogonale Komplement an.

Kann ich hier nicht einfach den Vektor durch zwei beliebige Standardvektoren zu einer Basis von E^3 ergänzen und dann mit dem Gram-Schmidt-Verfahren zwei zu u1 orthogonale Vektoren bestimmen. Wenn ich diese beiden (die Dank Gram-Schmidt auch orthogonal zueinander sind) dann als span schreibe, müsste das ja das orthogonale Komplement als Orthonormalbasis aufspannen.

Stimmt das? Oder habe ich mich hier vertan?

Euer LeMath

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LeMath
Jordan-Normalform bzw. Jordan-Basis  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-06
LeMath
 

Ja das stimmt! Das löst mein Problem :D

Danke dir!

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LeMath
Jordan-Normalform bzw. Jordan-Basis  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-05
LeMath
 

2020-08-04 18:10 - zippy in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-08-04 17:22 - LeMath in Beitrag No. 1 schreibt:
=> dim (Ker(A)) = 2

Der Kern von $A$ ist der Nullraum, die Dimension also 0.

--zippy

Ja okay, habe mich verschrieben!

Da sollte stehen:


Ker (A-2*Id) =

Ker (A) =

-2  4  5 | 0
 0 -2  1 | 0 =
 1 -3  3 | 0


1  3  0 | 0
0 -2  1 | 0
0  0  0 | 0


Davon ist der dim(Ker) doch nicht =0, oder?

In meinem vorherigen Beitrag hatte ich dim(Ker)=2 geschrieben, aber mittlerweile bin ich mir doch sicher, dass auch das falsch war. Die Dimension vom Kern von A-2*Id ist nämlich 1.

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LeMath
Jordan-Normalform bzw. Jordan-Basis  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-04
LeMath
 

Oder ist damit einfach die Transformationsmatrix S mit A=S^(-1)*J*S gemeint?

Hier einfach mal die Aufgabe:


A=

0  4 -5
0  0  1
1 -3  5


Ker (A) =

1  3  0 | 0
0 -2  1 | 0
0  0  0 | 0


=> dim (Ker(A)) = 2

=> alg. VF. = geom. VF.

=> diagonalisierbar.

Was habe ich falsch gemacht?

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LeMath
Jordan-Normalform bzw. Jordan-Basis  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-04
LeMath
 

Hallo liebe Matheplanet-Community,
ich bin in meiner Vorlesung auf das Problem gestoßen, dass eine (in meinen Augen richtige) Lösung sich von der Lösung des Dozenten unterscheidet (erst ein Mal nix besonderes :D ), aber ich habe eigentlich jeden Schritt so durchgeführt wie ich es gelernt habe.

Ich habe um die geometrische Vielfachheit zu berechnen folgende Formel genutzt: dim( Ker(A - t * Id))

Mein Dozent hat aber die Matrix (A - t * Id) quadriert und dann den Kern berechnet.

Aber ich hatte vorher die Lösung, dass dim( Ker(A - t *Id) = 2 = algebraische Vielfachheit ist. und deshalb war die 3x3 Matrix in meinen Augen diagonalisierbar.

Im nachhinein ist mir aufgefallen, dass er die ganze Zeit von einer Jordanbasis gesprochen hat. Ich dachte einfach immer er nennt die Jordan-Normalform einfach anders :D

Gibt es da einen Unterschied zwischen den Begriffen?
Am Anfang haben mein Dozent und ich alles gleich gemacht (char. Pol, Nullstellen...)

Wenn ja, was ist eine Jordan-Basis und wo liegen die Unterschiede?

Vielen lieben Dank im Voraus.

Euer LeMath!
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