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Thema Eingetragen
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Matrizenrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Positiv definite, symmetrische Matrix, EW<1 => strikt dominante Diagonale?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-04
Lea5619
 

Hallo Ochen,

Danke für die Antwort!

Und bei Dreiecksmatrizen?

Matrizenrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Positiv definite, symmetrische Matrix, EW<1 => strikt dominante Diagonale?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-01
Lea5619
 

Hi,

ich frage mich gerade etwas zu einem Argument, das ich in einem Buch gelesen habe.

Ist eine symmetrische und positiv definite Matrix, bei dem der Betrag des größten Eigenwertes $1$ entspricht immer eine Matrix mit strikt dominanter Hauptdiagonale?

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Eigenschaften Gauß-Seidel-Verfahren  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-23
Lea5619
 

Hallo,

ich soll die Definition des Gauss-Seidel Verfahrens, die Eigenschaften und die Gruppen von konvergenten Matrizen ausarbeiten.

Ich frage mich, was dabei mit Eigenschaften gemeint sein kann. Ich hätte da eher an die Konvergenzeigenschaften gedacht. Aber das steht ja dann schon im Part über die Gruppen von konvergenten Matrizen.

Mehrdim. Differentialrechnung
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Geschlossene Differentialform  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-29
Lea5619
 

Hallo,

Küstenkind, danke für die Übungsaufgaben.

Wie heißt das Buch?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Exakte Differentialform  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-29
Lea5619
 

Hallo,

wie kann man überprüfen, ob eine Differentialform exakt ist?

Die Differentialform $w=(xdy \land dz-ydx \land dz +zdx \land dy)(x^2+y^2+z^2)^{\frac{-3}{2}}$ ist geschlossen, was ja eine notwendige Bedingung für Exaktheit ist.

Aber wie kann ich jetzt hinreichend überprüfen, ob die Differentialform exakt ist? Man muss ja eine Differentialform $\alpha$ finden, deren Ableitung der Differentialform $w$ entspricht.  

Ich erkenne bei $w$ keine Stammfunktion. Deshalb würde ich sagem, dass $w$ nicht exakt ist...

 

Mehrdim. Differentialrechnung
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Geschlossene Differentialform  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-29
Lea5619
 

Dankesehr!

Habe es berechnet. Aber ich habe noch nicht verstanden, warum diese Gleichheit gilt.

2020-03-29 12:16 - Kuestenkind in Beitrag No. 4 schreibt:

\(\displaystyle \dd \omega=\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \dd x \wedge \dd y \wedge \dd z-\frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \dd y \wedge \dd x \wedge \dd z+\frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \dd z \wedge \dd x \wedge \dd y \)


Wie ist denn hier die Regel? Warum tauchen im Zähler jeweils $x$, $y$ und $z$ auf?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]

Mehrdim. Differentialrechnung
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Geschlossene Differentialform  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-29
Lea5619
 

Hallo,

Danke für die Antworten!!

Für die Pünktchen im letzten Schritt in Küstenkinds Beitrag habe ich dann:

$\dd \omega=\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \dd x \wedge \dd y \wedge \dd z-\frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \dd y \wedge \dd x \wedge \dd z+\frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \dd z \wedge \dd x \wedge \dd y=\left(\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} +\frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right)\dd x \wedge \dd y \wedge \dd z=0$

Dabei hat sich das Vorzeichen des ersten Termes nicht geändert, weil an der Reihenfolge von $\dd x \wedge \dd y \wedge \dd z$ nichts verändert wurde. Beim zweiten verändert sich das Vorzeichen, weil wir einmal einen Tausch gemacht haben von $x$ und $y$. Da beim dritten Term zweimal getauscht wird, ist das Vorzeichen wieder positiv.

Ist das so richtig?

Aber wie kann man die aller letzte Gleichheit dann folgern, dass der gesamte Term $0$ entspricht?

Mehrdim. Differentialrechnung
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Geschlossene Differentialform  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-29
Lea5619
 

Und ich habe das dann mal probiert, aber zunächst das $(x^2+y^2+z^2)^{\frac{-3}{2}}$ weggelassen, weil ich nicht weiß was ich damit machen muss:

$d \omega = d(xdy \wedge dz -ydx \wedge dz +zdx \wedge dy$

Ich habe gelesen, dass man $d$ bei Addition und Subtraktion linear betrachten kann:

Also

$= d(xdy \wedge dz)-d(ydx \wedge dz) + d(zdx \wedge dy)$

Und die Klammern sind ja ähnlich zu deinem Beispiel, zu dem ich ja noch eine Frage hatte.

Wenn ich das berechne, erhalte ich für die erste Klammer
$d(xdy \wedge dz)=d(x \wedge dy) \wedge dz= dx \wedge \wedge dz$. Und analog für die anderen. Aber nach der Rechnung in deinem Beispiel wäre das ja falsch. Oder?

Wenn ich die anderen Klammern analog berechne komme ich auf

$dx \wedge dy \wedge dz - (dy \wedge dx \wedge dz) + dz \wedge dx \wedge dy$.

Habe mich gefragt, ob ich wie in einem Produkt von zwei Formen $dx \wedge dy = - dy \wedge dx$ anwenden kann? Aber letztendlich bringt mich das dann auch nicht weiter, weil sie sich insgesamt nicht auflösen würden.

Was ist mein Fehler? Und was muss ich stattdessen machen?


Mehrdim. Differentialrechnung
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Geschlossene Differentialform  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-29
Lea5619
 

Hallo wessi90,

danke für deine Antwort!

Meine erste Frage ist, was dabei das $(x^2+y^2+z^2)^{\frac{-3}{2}}$ am Ende für eine Rolle spielt?

Die Aufgabe wurde nämlich extra korrigiert, so dass im Exponenten ${\frac{-3}{2}}$ stehen soll.
(Hab das auch gerade im Thread korrigiert, da dort vorher ${\frac{-1}{2}}$ stand.)

Und zu deinem Beispiel:

2020-03-29 00:55 - wessi90 in Beitrag No. 1 schreibt:

Ganz einfaches Beispiel: nehmen wir $\omega=x\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$.
Dann ist also
$$\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}(x\wedge\mathrm{d}x)\wedge\mathrm{d}y-x\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}(\mathrm{d}y)=\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}x-0=0$$ und die Form somit geschlossen.

Im ersten Schritt habe ich die zuerst genannte Regel angewendet. Dann habe ich das Differential der Funktion $f(x,y,z)=x$ berechnet und genutzt, dass $\mathrm{d}\mathrm{d}=0$ ist. Im letzten Schritt habe ich verwendet, dass für eine beliebige Differentialform $\alpha\wedge\alpha=0$.

Von welcher Funktion $f(x,y,z)$ entspricht das Differential $x$?
Ich verstehe nicht, wo nach dem zweiten Gleichheitszeichen das $dy$ hin ist. Ich hätte gedacht, dass dort $dx \wedge dx \wedge dy$ stehen muss.


Mehrdim. Differentialrechnung
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Geschlossene Differentialform  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-28
Lea5619
 

Wie kann man zeigen, dass die 2-Differentialform $w=(xdy \land dz-ydx \land dz +zdx \land dy)(x^2+y^2+z^2)^{\frac{-3}{2}}$
geschlossen ist? Also, dass $dw=0$ gilt.

Mehrdim. Differentialrechnung
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Rechenregeln mit Differentialformen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-28
Lea5619
 

Hallo,

es geht darum zu zeigen, dass eine 2-Differentialform $w$ geschlossen ist. Wo kann ich nachlesen, was Rechenregeln dafür sind, weil ich ja zeigen muss, dass $dw=0$ gilt?

Differentialrechnung in IR
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Diffeomorphismus  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-27
Lea5619
 

Muss ich dann dafür die Differenzierbarkeit von $x_1^{-1} \circ f^{-1} \circ x_2$ betrachten?

Differentialrechnung in IR
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Diffeomorphismus  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-25
Lea5619
 

Ah, ja die gehen vom $\mathbb{R}$ in den topologischen Raum.

Dann ist $\tilde f = x_2^{-1} \circ f \circ x_1 = x$, weil ja die Umkehrfunktion von $x_2$ die Funktion $x \rightarrow \sqrt[3]{x}$ ist und damit differenzierbar, oder?

Differentialrechnung in IR
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Diffeomorphismus  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-24
Lea5619
 

Das heißt, $f$ ist differenzierbar, weil $\tilde f = x^9$ differenzierbar ist?

Differentialrechnung in IR
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Diffeomorphismus  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-23
Lea5619
 

$f$ ist doch in diesem Fall gegeben durch $x_2°{x_1}^{-1}$.
Ist $\tilde{f}$ die Identität?

Differentialrechnung in IR
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Diffeomorphismus  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-23
Lea5619
 

Hallo Nuramon,

ich weiß nicht, was ich weiter machen muss, um die differenzierbaren Strukturen zu berücksichtigen.
Was fehlt dabei?

Differentialrechnung in IR
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Diffeomorphismus  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-23
Lea5619
 

Hallo Wally,

in der Aufgabe steht, "dass" es ein Diffeomorphismus ist. Es ist leider auf Spanisch, sonst könnte ich ein Bild posten.

Ist das also falsch?

Und in einer anderen Aufgabe ging es darum zu zeigen, dass $Id_{\mathbb{R}}:(\mathbb{R},x_1) \rightarrow (\mathbb{R},x_2)$ KEIN Diffeomorphismus ist. Aber hierbei ist ja auch $Id_{R}$ durch $\sqrt[3]{x}$ gegeben (und deshalb in $0$ nicht differenzierbar und kein Diffeomorphismus...)

Ist das letzte über die andere Aufgabe korrekt?

Differentialrechnung in IR
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Diffeomorphismus  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-23
Lea5619
 

Hallo Wally,

dann ist ja die inverse Funktion $x \rightarrow \sqrt[3]{x}$.
Aber dann verstehe ich nicht, warum die Umkehrfunktion differenzierbar sein soll, weil sie ja für negative Werte nicht definierbar ist und damit in $0$ doch nicht differenzierbar ist, oder woran liegt das?

Differentialrechnung in IR
  
Thema eröffnet von: Lea5619
Diffeomorphismus  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-23
Lea5619
 

Hallo,

es geht darum zu zeigen, dass $f:(\mathbb{R}, x_1) \rightarrow (\mathbb{R},x_2)$ mit $f(x)=x^3$ ein Diffeomorphismus ist. Dabei sind die differenzierbaren Strukturen $(\mathbb{R},x_1)$ und $(\mathbb{R},x_2)$ jeweils durch $x_1(x)=x$ und $x_2(x)=x^3$ gegeben.

Dass $f$ differenzierbar und bijektiv ist, ist denke ich klar, oder?
Und ebenso, dass die inverse Funktion $\frac{1}{x^3}$ differenzierbar ist?

Oder was übersehe ich?

Vielen Dank!

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lea5619
Definition "Change of coordinates"  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-28
Lea5619
 

Ich möchte nur wissen, was mit dem Begriff "Change of coordinates" gemeint ist.


Beschreibe aber gerne den Zusammenhang, indem er verwendet wurde:
Es geht insgesamt darum zu zeigen, dass die Menge $P^2(\mathbb{R})=\{(x:y:z) \in \mathbb{R}^3 \setminus\{(0,0,0)\}\}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Jetzt betrachten wir zwei Abbildungen (Ich denke Parametrisierungen):

$X_{\alpha}:\mathbb{R}^2 \rightarrow P^2(\mathbb{R})$, $(x,y) \rightarrow [x:y:1]$

und

$X_{\beta}:\mathbb{R}^2 \rightarrow P^2(\mathbb{R})$, $(x,y) \rightarrow [1:y:z]$

Und jetzt ist die Frage, wie die "change of coordinates" von $X_{\alpha}^{-1}(W)$ nach $X_{\beta}^{-1}(W)$ aussieht.

Was ist gesucht? Was ist "change of coordinates"?

 

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