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Thema Eingetragen
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Schwingungen und Wellen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Wellengleichung einer Saite bei rechteckförmiger Auslenkung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-30
Mandacus
 

Guten Abend,

ich habe ein Problem mit der Lösung einer Wellengleichung bei vorgegebener rechteckiger Anfangsauslenkung.

Die Auslenkung einer Saite wird beschrieben durch die Wellengleichung

\[\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} – c^2 \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} =0 \ wobei \ w=w(x,t).\]

Betrachten Sie eine an den Rändern fest eingespannte Saite (w(0,t)=w(l,t)=0) der Länge l mit den Anfangsbedingungen  

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und \( \dot{w(x,0)}=0\).


a) Bestimmen Sie nun w(x,t) mithilfe der Lösungsformel von D’Alembert und skizzieren Sie w(x,t) für verschiedene Zeiten zwischen t=0 und \(t=\frac{l}{c}\)

Hinweis: Setzen Sie die Lösung w(x,t) an den Rändern geeignet fort um die Randbedingungen stets zu erfüllen. Das heißt, Sie stellen sich vor, die Saite wird über die Ränder hinaus fortgesetzt und auf den zusätzlichen (virtuellen) Stellen befinden sich ebenfalls Schwingungen. Nutzen Sie dann das Prinzip der Superposition.

b) Bestimmen Sie w(x,t) mithilfe des Ansatzes
\(w(x,t)=[A \ cos(\omega t)+B \ sin(\omega t)] \cdot [C \ cos(\frac{\omega x}{c})+D \ sin(\frac{\omega x}{c})]\)

Hinweis: Berechnen Sie das Integral \(\int\limits_{0 }^{l} w(x,0) sin(\frac{n \pi x}{l}) \ dx \)  zur Bestimmung der allgemeinen Lösung. Verwenden Sie die Orthogonalitätsrelation

\[\int\limits_{0 }^{1} sin(n \pi x) \ sin(m \pi x) \ dx =\frac{1}{2} \delta_{m,n}\]

für n,m  \( \in N \setminus \{0\} \).

Mein Problem:
Das  Problem liegt zunächst bei a). Die Formel von D’Alembert lautet:

\[w(x,t)=\frac{1}{2} \cdot (w(x+ct,0) + w(x-ct,0) + \frac{1}{c} \cdot \int\limits_{x-ct}^{x+ct} \dot{w(y,0)} \ dy \].




Mit der Bedingung \( \dot{w(x,0)}=0 \) vereinfacht sich dies zu

\[w(x,t)=\frac{1}{2}(w(x+ct,0)+ w(x-ct,0)) \]


Ich weiß aufgrund der Randbedingungen, dass gilt:


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Das liefert mir aber noch keine schönen Bedingungen an w(x,t), da die Ausdrücke x+ct und x-ct sowohl von dem Ort x als auch von der Zeit t abhängen. Daher meine Frage: Welche Informationen kann man aus den gegebenen Informationen um eine schöne Darstellung für w(x,t) zu bestimmen?  

Dynamik des starren Körpers
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Weihnachtsmann auf Schlitten fährt auf Kreisbahn  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-14
Mandacus
 

Guten Tag,

ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zur Rotation.

Ein Weihnachtsmann mit Masse m und Trägheitsmoment J bezüglich der Rotation um seinen Schwerpunkt (um die y-Achse) sitzt mit seinem Schwerpunkt in der Höhe h über den Kufen eines masselosen Schlittens, der auf einer ortsfesten Eiskugel mit Radius R steht. Bestimmen Sie für den Fall, dass bei \(\theta = 0\) gestartet wird, die Bahnkurve z(x) sowie die Eigenrotation \(\phi(x)\). Die Reibung des Schlittens soll vernachlässigt werden.

(a) Berechnen Sie bei welchem Winkel der Schlitten abhebt und betrachten Sie hierzu die Erhaltungssätze des Systems.

(b) Geben Sie die Bahnkurve \(\vec{r}\)(t) und schreiben Sie die Höhenkomponente z als Funktion der Orientierung \(\phi\) der Höhe des Weihnachtsmannes. Welche Konstanten bestimmen \(\phi(z)\)?

Ein Bild zur Geometrie des Problems habe ich unten eingefügt.

Mein Problem ist zunächst bei der Bestimmung der Bahnkurve und der Eigenrotation. Für die Bahnkurve habe ich bisher:

\[\vec{z}(\theta)=((R+h) \cdot sin(\theta),0, (R+h) \cdot cos (\theta))^T=((R+h) \cdot cos(\frac{\pi}{2}-\theta),0,(R+h) \cdot sin(\frac{\pi}{2}-\theta))^T \\
=(x,0,\sqrt{(R+h)^2-x^2})^T \]
Das Problem ist, dass ich nicht weiß, ob ich in die richtige Richtung gehe. Ebenso bin ich mir mit der Bestimmung der Eigenrotation unsicher.

 

Bewegte Bezugssysteme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Corioliskraft auf ICE  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-01
Mandacus
 

Hallo,  

ich habe eine Schwierigkeit mit einer Aufgabe zur Corioliskraft:

a) Ein voll beladener ICE mit einer Gesamtmasse M=660 t fährt mit der Höchstgeschwindigkeit \(v=250 \frac{km}{h}\) auf der Rheintalstrecke von Karlsruhe nach Basel (also von Nord nach Süd). Wie groß ist die Corioliskraft auf den Zug? In welche Himmelsrichtung wirkt sie? Wie groß ist die Gewichtskraft auf den Zug?  

b) Ein Fluss der Breite D fließt mit einer Strömungsgeschwindigkeit \(v_0\) auf der Nordhalbkugel bei der geographischen Breite \(\alpha\) nach Norden. Wie weit höher liegt das rechte Flussufer als das linke aufgrund der Corioliskraft? Berechnen Sie den Höhenunterschied für D= 2 km, \(v_0= 5 \frac{km}{h}, \alpha=50^\circ\).

Ich habe ein Problem mit der Geometrie von a). Die Corioliskraft ist gegeben durch \(-2M (\vec{\omega} \times \vec{v})\). Ich muss also ein kartesisches Koordinatensystem wählen. Da der Zug sich auf einer Kreisbahn bewegt, die in einer Ebene liegt, denke ich, dass es sinnvoll ist diese Ebene als x-y-Ebene zu wählen. Weiter würde ich die Richtung des Erdmittelpunktes zum Nordpol als positive y-Achse wählen, sodass \(\vec{\omega}\) parallel zur y-Achse liegt und positive Koordinaten bekommt. Ebenso würde ich die positive x-Achse so legen, dass Karlsruhe und Basel positive Koordinaten bekommen. Die z-Achse wird über das Kreuzprodukt von x-Richtung und y-Richtung festgelegt. In diesem System hätte die Winkelgeschwindigkeit die Koordinaten \(\vec{\omega}= (0, \omega, 0)^T\) und Basel die Koordinaten \(\vec{B}=(B \cdot \cos(48^\circ), B \cdot \sin(48^\circ), 0)^T\), wobei \(48^\circ \)die geographische Breite von Basel ist. Über das Kreuzprodukt der beiden Vektoren komme ich dann auf die Tangentialgeschwindigkeit und dann mithilfe der Tangentialgeschwindigkeit auf die Corioliskraft. Aber das verwendet nicht die Information über die Höchstgeschwindigkeit des Zuges. Ich glaube, dass ich einen Fehler in meiner Geometrie habe, aber ich sehe nicht welchen.  

Dynamik der Punktmassensysteme
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Drehimpuls eines Zweikörperproblems  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-25
Mandacus
 

Guten Tag,

ich habe leider ein Problem mit der Berechnung eines Drehimpulses.

Zwei Körper der Massen \(m_1\) und \(m_2\) seien über eine Feder mit Ruhelänge \(r_0\) aneinander gekoppelt. Das dazugehörige Potential lautet  \(U(r)=\frac{1}{2} f (r-r_0)^2\).

(a) Leiten Sie aus den Newtonschen Bewegungsgleichungen der Ortsvektoren \(r_1\) und \(r_2\) der zwei Körper die Bewegungsgleichungen für den Schwerpunkt und den Relativvektor her. Auf welcher Bahn bewegt sich der Schwerpunkt?

(b) Welche Erhaltungssätze gelten für die Relativbewegung? Warum findet sie in der Ebene statt? Wählen Sie für den Drehimpuls \(\textbf{L}=L \cdot \textbf{e}_z\) und berechnen Sie L mithilfe mithilfe von Polarkoordinaten.

(c) Berechnen Sie die Gesamtenergie in Polarkoordinaten. Diskutieren Sie die möglichen Bahnen mit Hilfe des efektiven Potantials. Wie hängen Sie von L ab?

(d) Es ist bequemer die Bahnen in kartesischen Koordinaten zu bestimmen. Lösen Sie die Newtonschen Bewegungsgleichungen für \(r_0=0\) aus Aufgabenteil (a). Auf welcher Bahn bewegt sich die reduzierte Masse.

Mein Problem liegt bei b). Ich habe bereits gezeigt, dass der Drehmpuls konstant ist. Wenn ich jetzt Polarkoordinaten einführe, erhalte ich durch Rechnen die Darstellung \[\textbf{L}=\mu \rho^2 \dot \phi \] wobei \(\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\) und \(\rho\) bzw. \(\phi\) den Radius bzw. Winkel in Polarkoordinaten bezeichnen. Die Frage ist, ob das schon alles ist oder ob ich nun noch konkret eine Darstellung für \(\dot \phi\) finden soll. Das Problem ist, dass ich für die Bewegung ja keine kartesischen Koordinaten gegeben habe, weshalb ich den Winkel \(\phi\) nicht (direkt) ausrechnen kann. Daher verstehe ich nicht, was hier erwartet wird.      

Gravitation
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Arbeit im Gravitationsfeld  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-01
Mandacus
 

Guten Tag,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

\[- \gamma \frac{mM}{r^3} \cdot r\]
und wird vom Ort \(r_0\) zum Ort \(r_1\) bewegt. Dies geschieht nacheinander auf drei verschiedenen Wegen, die nebenstehend skizziert sind. \(r_0\) und\(r_1\) sollen den Abstand\(R\) bzw. 2\(R\) vom Planetenmittelpunkt haben (R ist natürlich größer als der Radius des Planeten).

a) Berechnen Sie explizit für alle drei Wege die jeweils geleistete Arbeit.
Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Wegparametrisierungen der einzelnen Streckenabschnitte.

b) Lässt sich ein Potenzial finden, so dass gilt \[F=\nabla V(r)\]? Wenn ja, ermitteln Sie das Potenzial V(r).

c) Zur Behandlung dynamischer Probleme auf der Erdoberfläche wird häufig statt der Gravitationskraft das homogene Schwerefeld \(F=mg\) verwendet. Welche Bedingung muss für \(r\) gelten, damit dieses Kraftfeld in guter Näherung die gleichen Ergebnisse liefert? Wie der Zusammenhang zwischen \(g\) und \(\gamma\) ? Geben Sie den relativen Fehler, der hierbei gemacht wird, als Funktion von der Höhe über der Erdoberfläche an.

Hier das Bild zur Geometrie des Problems:




Ich habe das Problem mit a). Wir haben

\(r_0=(0,R)^T\)

\(r_1=(0,2R)^T\)

Dem Hinweis folgend habe ich zunächst nur für die einzelnen Streckenabschnitte Parametrisierungen gesucht. Das sieht so aus:

Weg 1:

\[ \gamma_1: [0,1] \to R^2, \gamma_1(t)=(0,R+R \cdot t)^T \]
Weg 2:

\[\gamma_1: [0,1] \to R^2, (R \cdot cos((1-t) \cdot \frac{\pi}{2}), R \cdot sin((1-t) \cdot \frac{\pi}{2}))^T\]
\[\gamma_2: [0,1] \to R^2, ((1+t) \cdot R,0)^T\]
\[\gamma_3: [0,1] \to R^2, (2R \cdot cos(t \cdot \frac{\pi}{2}),2R \cdot sin(t \cdot \frac{\pi}{2}))^T\]
Weg 3:

\[\gamma_1: [0,1] \to R^2, (1-t) \cdot (r_0 \cdot cos(\frac{\pi}{2}), r_0 \cdot sin(\frac{\pi}{2}))^T+t \cdot (2R \cdot cos(\phi),2R \cdot sin(\phi))^T\]
\[\gamma_2: [0,1] \to R^2, (2R \cdot cos((1-t) \cdot \phi+t \cdot \frac{\pi}{2}), 2R \cdot sin((1-t) \cdot \phi+t \cdot \frac{\pi}{2}))^T\]
wobei $\phi=\pi-arc sin \frac{r_0}{R}$.

Als nächsten Schritt wollte ich mir dann mithilfe dieser Teilparametrisierungen eine zusammengesetzte Kurve definieren, die die Wege beschreibt und dann jeweils das Arbeitsintegral ausrechnen. Mein Problem ist, dass ich befürchte, dass die Parametrisierungen noch zu kompliziert sind, um damit das Arbeitsintegral zu berechnen. Daher meine Frage: Können die einzelnen Streckenabschnitte noch einfacher parametrisiert werden?  

Elektrotechnik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Graphische Bestimmung des Nennstroms möglich?  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-07-15
Mandacus
 

Ach so na klar. Das Strom-Spannungs-Diagramm habe ich nat"urlich auch.  

Elektrotechnik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Graphische Bestimmung des Nennstroms möglich?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-07-15
Mandacus
 

Das mit der Interpolation verstehe ich noch nicht ganz. Soll ich einfach durch die im Diagramm aufgetragenen Messpunkte ein Interpolationspolynom  legen (in meinem Fall lässt sich der Verlauf in dem Stromstärke-Widerstandsdiagramm gut durch Polynome 3. Grades beschreiben). Wenn ja, wo finde ich dann den Widerstand?  

Elektrotechnik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Graphische Bestimmung des Nennstroms möglich?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-07-15
Mandacus
 

2018-07-15 13:50 - dromedar in Beitrag No. 3 schreibt:
denn diesen Strom hast Du doch vorher schon direkt gemessen und dann benutzt, um den zugehörigen Widerstand auszurechnen und in das Diagramm einzutragen.

Da könnte das Problem liegen. Die Messpunkte waren im Abstand von 0,5 Volt aufzunehmen. Eine direkte Messung des Nennstroms oder des Widerstands bei der Nennspannnung wurde nicht explizit verlangt.  

Elektrotechnik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Graphische Bestimmung des Nennstroms möglich?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-07-15
Mandacus
 

Es handelt sich um ein physikalisches Experiment. Es waren für einen Ohmschen Widerstand eine Glühlampe und einen VDR-Widerstand jeweils die Stromstärke in Abhängigkeit der Spannung zu messen und die Messwerte jeweils in eine Tabelle einzutragen. Die Arbeitsanweisung für die Auswertung des Versuchs lautet nun:

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Da ich ja nun schon die entsprechenden Diagramme für die Widerstände habe, bin ich davon ausgegangen, dass sich aus dem Diagramm der Nennstrom und der Widerstand direkt ablesen ließe.  

Elektrotechnik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Graphische Bestimmung des Nennstroms möglich?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-07-15
Mandacus
 

Hallo,

ich habe eine Frage zum Thema Nennströme bei Glühlampen. Wenn man den Strom in Abhängigkeit von der Spannung gemessen hat und die entsprechenden Widerstände ausgerechnet hat, ist es dann möglich, die Widerstände als Funktion des Stromes in einem Diagramm aufzutragen und daraus den Nennstrom direkt abzulesen?    

Diophantische Gleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Die Schlacht von Hastings und Pellsche Gleichungen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-29
Mandacus
 

Hallo,

ich habe ein Problem mit der Lösung folgender Aufgabe aus dem Buch Algebraische Zahlentheorie.

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Ich weiß bereits, dass das ganze auf die Lösung der Pellschen Gleichung
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hinausläuft, was wiederum äquivalent dazu ist die Einheiten des Rings
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zu bestimmen. Dank des Dirichletschen Einheitensatzes weiß ich, dass die Einheitengruppe von einem einzigen Element erzeugt wird. Natürlich sollten   x und y positiv sein, da eine negative Anzahl an Soldaten nicht sinnvoll ist.

Der klassische Weg zur Lösung scheint eine Kettenbruchentwicklung zu sein, was ein Verfahren ist mit dem ich leider noch nicht vertraut bin. Meine Frage ist aber: Gibt es noch eine andere Möglichkeit zur Lösung, die nicht auf Ausprobieren hinausläuft?
 

Diophantische Gleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Unlösbarkeit einer Gleichung  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-25
Mandacus
 

Dann will ich nur noch schnell versuchen die (6) zu lösen, wenn wir schon mal dabei sind. Mithilfe von (5) könnte ich versuchen zu zeigen, dass Zahlen, a,b existieren mit

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Ich weiß auch, dass für die Klassengruppe CL gilt, dass CL nur 2 Elemente enthält und von der Idealklasse des Primideals

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erzeugt wird. Es gilt hierbei:

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Diophantische Gleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Unlösbarkeit einer Gleichung  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-24
Mandacus
 

Ich glaube ich stehe ein bisschen auf dem Schlauch. Wenn ich den Ansatz

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Diophantische Gleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Unlösbarkeit einer Gleichung  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-24
Mandacus
 

Zu (3) habe ich mir bisher folgendes überlegt:

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Diophantische Gleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Unlösbarkeit einer Gleichung  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-24
Mandacus
 

Was die Größe von P angeht: Mit etwas Nachdenken bin ich darauf gekommen, dass P auf jeden Fall alle Elemente
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Diophantische Gleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Unlösbarkeit einer Gleichung  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-23
Mandacus
 

Wenn ich annehme, dass die Aussage falsch ist, weiß ich zumindest, dass es in I keine Einheiten gibt. Da x gerade ist, muss x+1 ungerade sein, d.h. P enthält 2 und eine ungerade Zahl. Ich weiß auch, dass

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der Ganzheitsring der Körpererweiterung
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und somit ein Dedekindring ist. Damit ist P als Primideal maximal und I kann höchstens so groß sein wie P. Ich sehe leider überhaupt nicht, wie mir das Wissen, dass 2 und x+1 in P enthalten sind, hilft.

Bei den Rechnungen zu (3) ist leider noch nichts herausgekommen.  

Diophantische Gleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Unlösbarkeit einer Gleichung  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-23
Mandacus
 

Ich habe jetzt noch ein weiteres Problem beim Beweis von (5).
Mir fallen zwei Möglichkeiten zum Beweis ein:
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Ich habe es zwar geschafft zu zeigen, dass x+1 ein Element in P ist, allerdings sehe ich  nicht, wie mir das beim Beweis helfen soll.

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Diophantische Gleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Unlösbarkeit einer Gleichung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-22
Mandacus
 

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Diophantische Gleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Unlösbarkeit einer Gleichung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-22
Mandacus
 

Guten Tag,

ich will folgende Aufgabe lösen:

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Bei (3) bin ich allerdings stecken geblieben.
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Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Primfaktorzerlegungen in Zahlkörpern  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-16
Mandacus
 

Hallo,

ich beschäftige mich derzeit mit einer Aufgabe zum Thema Primfaktorzerlegungen in einem Zahlkörper.

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Meine Ideen:
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