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Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Matheistcool
Residuensatz  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-08
Matheistcool
 

Danke für deine Antwort.

Ich möchte das mit $w^k$ multiplizieren, weil ich ja die Funktion $w^k \cdot f(w)$ integrieren will. Also war meine Idee, meine Laurentreihe von f(w) herzunehmen und mit $w^k$ zu multiplizieren. Dann kann ich $a_{-1}$ ablesen. Ist das nicht richtig?

Und zu deiner Antwort: Aber brauche ich nicht genau dafür die Laurentreihe? Denn wenn ich jetzt nur den Sinus als $\sin \left( \frac{1}{w} \right)$ vor mir habe, wüsste ich nicht, wie ich dort $a_{-1}$ ablesen soll, ohne das irgendwie zu entwickeln.

Ich glaube, ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch :D

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Matheistcool
Residuensatz  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-08
Matheistcool
 

Wie kann ich den Koeffizienten $w^{-1}$ denn ohne Laurentreihe bestimmen? Das sehe ich hier leider noch nicht so ganz.

Und wenn ich die Laurentreihe doch bestimmt habe, ist mein Vorgehen dann richtig? Also unabhängig davon, ob ich mich vielleicht irgendwo verrechnet habe, nur so vom Prinzip her.

Danke :)

klassische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Matheistcool
Komplexer Logarithmus  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-08
Matheistcool
J

Vielen Dank! :)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Matheistcool
Residuensatz  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-08
Matheistcool
 

Hallo, danke für die Antwort!

Ich habe die Substitution w=z-1 vorgenommen.
Für die Laurentreihe bekomme ich dann $f(w) = \sum_{n=-\infty}^{-1} (-1)^n \cdot \frac{w^{2n+1}}{(-2n-1)!} + w $, falls ich mich nicht verrechnet habe. Muss/kann ich die noch weiter vereinfachen oder reicht das so als Laurentreihe?

Dann folgt: $w^k \cdot f(z) = \sum_{n=-\infty}^{-1} (-1)^n \cdot \frac{w^{2n+1+k}}{(-2n-1)!} + w^{k+1}$.

$a_{-1}$ erhalte ich dann ja für $2n+1+k=-1$, also für $n = \frac{k-2}{2}$. Also wäre $a_{-1} = (-1)^{\frac{k-2}{2}} \cdot \frac{1}{(-2 \cdot \frac{k-2}{2}-1)!}$, richtig? Und das vereinfache ich dann und wende den Residuensatz an.

Stimmt die Vorgehensweise so?

klassische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Matheistcool
Komplexer Logarithmus  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-08
Matheistcool
J

Hallo,
danke schon mal!

wenn ich das richtig im Kopf habe, müsste der log ja holomorph sein, richtig? Das heißt, das Integral wird wegen des Cauchy'schen Integralsatzes Null für alle geschlossenen, nullhomologen $\gamma$ und damit existiert eine Stammfunktion für den Logarithmus?

Liebe Grüße
Matheistcool

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Matheistcool
Holomorphe Funktionen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-08
Matheistcool
 

Hallo,

ich habe in einer Altklausur folgende Aufgabe gefunden:

Sei $f:U \rightarrow \mathbb{C}$ holomorph (U offen und Teilmenge $\mathbb{C}$) mit $f(U)$ Teilmenge $\mathbb{C} \backslash (-\infty, 0]$. Nun ist zu zeigen, dass dann für jeden geschlossenen, nullhomologen Weg $\gamma$ gilt:
$\int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} = 0$.

Ich habe eine Lösung gefunden, die mir allerdings irgendwie zu leicht vorkommt und deshalb denke ich, dass ich eventuell einen Denkfehler habe.

Und zwar ist ja f(z) ungleich 0 für alle $z \in U$. Da f(z) holomorph ist, ist somit auch $\frac{1}{f(z)}$ holomorph. Zudem ist auch f'(z) holomorph, da f(z) holomorph ist. Als Produkt zweier holomorpher Funktionen ist also $\frac{f'(z)}{f(z)}$ holomorph und damit verschwindet nach Cauchys Integralsatz das Integral.

Alternativ habe ich das Ganze auch mit partieller Integration zeigen können.

Mir kommen allerdings beide Lösungswege viel zu leicht vor, vor allem, weil es auf die Aufgabe recht viele Punkte gibt :D

Danke schon mal!

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Matheistcool
Singularitäten  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-08
Matheistcool
J

Vielen Dank für die Antwort! :)

klassische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Matheistcool
Komplexer Logarithmus  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-08
Matheistcool
J

Hallo,
in einer Altklausur soll ich bei einigen Aussagen angeben, ob diese wahr oder falsch sind. Eine der Fragen ist, ob $\log:\mathbb{C} \backslash (-\infty, 0] \rightarrow \mathbb{C}$ eine Stammfunktion auf $\{z \in \mathbb{C}: Re(z)>0\}$ hat.

Dazu habe ich leider nicht wirklich eine Idee. Ich tendiere eher zu nein, scheitere aber daran, es vernünftig zu beweisen/begründen.
Wenn log dort eine Stammfunktion hat, müsste ja $\int_\gamma log(z) dz=0$ gelten für alle geschlossenen $\gamma$. Ich habe mir dann überlegt, mir ein $\gamma$ herzunehmen, z.B. $\gamma(t) = e^{it} + 1$, was in der gegebenen Menge liegt und für welches das Integral Null wird. Allerdings komme ich hier nicht wirklich weiter.

 

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Matheistcool
Residuensatz  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-08
Matheistcool
 

Hallo,
ich habe die Funktion $f(z) = \sin\left( \frac{1}{z-1} \right) + (z-1)$ gegeben und soll $\int_\gamma (z-1)^k \cdot f(z)$ für alle $k \in \mathbb{Z}$ berechnen, wobei $\gamma = 3e^{it}$ mit t von 0 bis $2\pi$ ist.
Mir fehlt hier leider etwas der Ansatz. Ich würde gerne den Residuensatz anwenden.
Wäre z=1 ein Pol, hätte ich im Skript einen Satz, der mir sagt, wie ich das Residuum von $(z-z_0)^k \cdot f(z)$ berechnen kann. Allerdings ist das ja eine wesentliche Singularität, richtig? Und hierfür finde ich leider nichts im Skript und habe auch keine Idee, wie das funktionieren soll.
Hat da jemand einen Tipp für mich?

Danke schon mal!

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Matheistcool
Singularitäten  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-08
Matheistcool
J

Hallo,
ich habe eine allgemeine Frage zu Singularitäten. Wenn ich eine Funktion beispielsweise der Form $f(z) = \frac{1}{(1+\frac{1}{z})^2}$ habe, ist z=0 dann eine Singularität? Denn ich kann die Funktion ja so umschreiben, dass $f(z) = \frac{z^2}{(z+1)^2}$ gilt. Und wenn ich letztere Funktion betrachte, wäre z=0 ja keine Singularität. Oder ist sie dann einfach hebbar?
Ich bin hier leider etwas verwirrt.

Danke schon mal!
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