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Thema Eingetragen
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Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Feynmann-Diagramme zur Reaktion richtig gezeichnet?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-16
Neymar
 

Hi!

Sorry für die Störung um diese Uhrzeit.
Ich habe mich gefragt, wie die Feynmann-Diagramme zur Reaktion  \[d\overline{u} \rightarrow e^- \overline{\nu_e}  \] aussehen.
Vor allem habe ich mich gefragt, ob es nur einen $s-$ oder aber auch einen $t-$Kanal-Prozess gibt.

Hier mal meine ,,Lösung":


Ist das richtig, was ich da gemacht habe (die Zeit laufe von links nach rechts)? Vor allem hatte ich mich halt auch gefragt, wie ein $t$-Kanal-Prozess allgemein gelesen wird: Ich glaube mittlerweile, es ist so zu verstehen, dass ein down- und up-Quark reinlaufen uns ein Photon, Elektron und Anti-Neutrino abgeben. Stimmt auch das?

Na dann, gute Nacht!

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Kernreaktionen und radioaktiver Zerfall  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-15
Neymar
J

Guten Abend Vercassivelaunos,

vielen Dank für den Hinweis! :-)

Sei gegrüßt (und schönen Abend noch),
Neymar

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Kernreaktionen und radioaktiver Zerfall  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-15
Neymar
J

Jetzt macht es mehr Sinn als noch gestern z.B. :-)

Ich habe mal die Differenzialgleichung gelöst und erhalte dafür als Lösung
\[N(t) = \frac{R}{\Gamma}+Ce^{-\Gamma t},\] wobei $C$ eine Konstante bei mir ist. Nun sende ich dir meinen Rechenweg eingescannt ($\Gamma := \lambda$):



Das Problem ist nur, dass der Dozent $N(t) = \frac{R}{\Gamma}\left( 1-e^{-\Gamma t} \right)$ erhalten hat und damit natürlich auch c) lösen kann, ich aber nicht, weil ich ja noch meine Konstante $C$ habe, die ja eigentlich bei ihm fehlt:

c) Wie viele 37Ar-Atome sind nach 60 Tagen Neutrinobestrahlung vorhanden)


Gruß,
Neymar


Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Kernreaktionen und radioaktiver Zerfall  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-14
Neymar
J

Hi alle zusammen!

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe, die wir in einer Probeklausur hatten, mit dem Dozenten aber zusammen besprochen haben:

,,Im Homestake Experiment [...] wurden 615 $t$ Perchlorethylen ($C_2Cl_4$) 60 Tage lang durch Neutrinos aus der Sonne bestrahlt. Durch die Reaktion $^{37}Cl+\nu_e\rightarrow ^{37}\text{Ar}+e^{-}$ werden während dieser Zeit Argon-Atome erzeugt. Legt man das astrophysikalische Standardmodell der Sonne zu Grunde, sollte dies mit einer konstanten Rate von $R=0,5$ $^{37}$Ar-Atome pro Tag geschehen. Die erzeugten $^{37}$Ar-Atome können sofort wieder zerfallen (durch die Rückreaktion Elektroneneinfang) mit einer Zerfallskonstante $\lambda=0,020$ Tag$^{-1}$.

(a) Wie groß ist die Halbwertszeit von $^{37}Ar$?

(b) Stellen Sie eine Diff.gleichung für die Zahl $N(t)$ der $^{37}$Ar-Atome auf und bestimmen Sie deren Lösung. Nehmen Sie an, dass die Bestrahlung mit Neutrinos zum Zeitpunkt $t=0$ beginnt. Dann seien noch keine Ar-Atome vorhanden: $N(0) = 0$."

ad (b). Meine Idee war, $N(t) = N_0e^{-\lambda t}$ zu benutzen, aber laut Aufgabenstellung \[N(0) = N_0e^{0} = N_0\overset{!}{=}0\Rightarrow N_0 = 0\]. Dann wäre aber $N(t) = 0 \ \forall t$, so dass mein Ansatz offensichtlich nicht stimmen kann. Deshalb habe ich mal nachgeschaut, wie wir das gemacht hatten, und unser Ansatz war \[\dot N = R-\lambda N\] Leider kann ich dies überhaupt nicht nachvollziehen, weshalb ich mich über eine (gerne ausführliche) Begründung sehr freuen würde. :-)

Danke im Voraus!

Thermodynamik & Statistische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Berechnung eines (einfachen) Integrals mittels partieller Integration  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-12
Neymar
J

Guten Abend! Entschuldigt meine blöde Frage zur späten Zeit,
es geht im Grund nur um eine vermutlich triviale Rechnung:

In der stat. Mechanik möchte ich folgendes Integral berechnen:
\[ \int_0^{\infty}\epsilon^2\ln\left(1+e^{\left(\mu-\epsilon\right)/\theta}\right)d\epsilon\] Partielle Integration liefert: \[ \int_0^{\infty}\epsilon^2\ln\left(1+e^{\left(\mu-\epsilon\right)/\theta}\right)d\epsilon = \frac{\epsilon^3}{3} \ln\left(\dots\right)\rvert_{0}^{\infty}-\dots\] Eine Kommilitonin meinte zu mir, der erste Term falle weg, wobei ich aber leider noch nicht so ganz sehe, warum. Für mich ist der Limes $\epsilon\to\infty$ für den erstern Term nicht wohldefiniert ...


Na dann, gute Nacht! :-)

Thermodynamik & Statistische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Methode von Lagrange-Multipliern  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-11
Neymar
J

Guten Morgen!

Gegeben sei z.B. folgende Funktion: $$L = -\sum_i p_i\ln p_i+\alpha\left(-\sum_ip_i\epsilon_i+\mathscr E \right) + \beta\left( 1-\sum_i p_i \ln p_i \right)$$ Was wir maximieren, sind die Wahrscheinlichkeiten $p_i$.
Jetzt bestimmen wir die Ableitung und erhalten: $$\frac{\partial L}{\partial p_i} = -\ln p_i-1-\beta - \alpha\epsilon_i,$$ wobei evtl. ein Vorzeichenfehler drin ist, aber egal. Dann kann man daraus $p_i$ bestimmen etc.

Nun möchte ich aber zeigen, dass die Funktion für die Verteilung $p_i$ ein Maximum besitzt. Wie geht das? Ich hätte gesagt, ich muss zeigen: $$\frac{\partial^2 L}{\partial p_i^2} <0. $$ Aber ein Kommilitone meinte zu mir, man müsse $$\frac{\partial^2 L}{\partial p_i \partial p_j}<0$$ zeigen und ich bin verwirrt. Warum ist nicht meine Version richtig?

Und vielleicht könnt ihr mir bitte noch kurz Folgendes beantworten:
Setzt man in die zweite Ableitung irgendwo die Verteilung $p_i$ ein? Dies Gefühl habe ich nämlich nicht.

Vielen Dank im Voraus und ein schönes Wochenende noch!

Thermodynamik & Statistische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Maxwell-Verteilung, Wahrscheinlichkeiten  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-08
Neymar
J

Hallo Spock,

erst einmal vielen Dank für deine Antworten und Hinweise am Anfang deiner Antwort, ich werde versuchen, in Zukunft darauf zu achten.  

Ich bin aber noch ein bisschen verwirrt, denn ich erhalte folgenden Ausdruck:

\[ dW(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\propto \left( \frac{1}{\theta}\right)^{3/2}\exp\left\{ -\frac{ \mathscr E_{\text{rot}} }{\theta} \right\}\sqrt{\mathscr E_{\text{rot}}}I_1I_2I_3\omega_1\omega_2\omega_3 d\omega_1d\omega_2d\omega_3.   \]  (Die Proportionalität dient dazu, die Normierung erst einmal zu vernachlässigen.) Auf den Term $\Pi_{\nu = 1}^{3}I_i\omega_i$ komme ich, da etwa $\frac{d\mathscr E_{\text{rot}}}{d\omega_1}=I_1\omega_1 ,,\Rightarrow" d\mathscr E_{\text{rot}} = I_1\omega_1 d\omega_1$.

Offensichtlich stimmt mein Ausdruck noch nicht mit dem überein, welchen du erhältst.

Gruß, Neymar

Thermodynamik & Statistische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Freie Energie bei gegebenem Hamiltonian berechnen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-04
Neymar
 

Hallo alle zusammen,

wir haben folgenden Hamiltonian gegeben: \[H = K(p_{\nu})+ U(q_{\nu}), \] wobei $K(p_{\nu})$ eine homogene Funktion 2. Ordnung ist, $i.e. K(\lambda p_{\nu})=\lambda^2 K(p_{\nu})$ und $U(q_{\nu})$ eine n. Ordnung, $i.e. U(\lambda^n q_{\nu})=\lambda^nU(q_{\nu})$.

Wir sollen nun die freie Energie $F(\theta, V, N)$ als eine Funktion von $\theta, V$ und $N$ bis auf eine Funktion einer unbestimmten Variablen bestimmen.

Als Hinweis ist gegeben, dass wir überlegen sollen, wie die Zustandssumme mit $\theta, V$ und $N$ skaliert. Also ich habe folgende Lsg. gefunden:


Was ich aber leider noch nicht verstehe, ist, wieso die Integrationsgrenzen zu $V\rightarrow V' = \lambda^{-3}\cdot V$ abgeändert werden müssen?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen!

Gruß,
Neymar

Thermodynamik & Statistische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Maxwell-Verteilung, Wahrscheinlichkeiten  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-04
Neymar
J

Moin alle zusammen,

für die Geschwindigkeitsverteilung der Maxwell-Boltzmann-Verteilung haben wir in der Vorlesung die Formel \[ dW(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi\theta}\right)^{3/2}e^{-\frac{mv^2}{2\theta}}v^2dv  \] hergeleitet.

Geht man zur kinetischen Energie $\mathscr E_{\text{kin}}$ über, so erhält man \[ dW\left( \mathscr E_{\text{kin}} \right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\cdot \left(\frac{1}{\theta}\right)^{3/2}e^{-\frac{\mathscr E_{\text{kin}}}{\theta}}\sqrt{\mathscr E_{\text{kin}}}d\mathscr E_{\text{kin}}. \] Nun lautet die Aufgabe auf unserem Ü-Blatt:


Also da die $I_i, i\in\{1,2,3\}$, "principal inertial axes" sind, lautet der Trägheitstensor $\mathbf{I}$: \[\mathbf{I}=\begin{bmatrix}I_1&0&0\\0&I_2&0\\0&0&I_3  \end{bmatrix},\] ist also insbesondere diagonal. Damit können wir schreiben: $L_i=I_i\omega_i, \mathscr E_{\text{rot}}=\frac{1}{2}\sum_i I_i\omega^2_i$.

Aber wie kann ich daraus $dW(\omega)$ und $dW(L)$ bestimmen?

Vielen Dank im Voraus!

Gruß,
Neymar

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Urbilder offener Mengen sind offen, wenn die Funktion stetig ist  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-23
Neymar
 

Hallo alle zusammen,

es heißt ja bekannterweise, dass Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Dies gilt nicht für die Bilder stetiger Funktionen, wobei ich leider kein Gegenbeispiel kenne. Hätte jemand ein möglichst einfaches parat für mich?

Vielen Dank im Voraus!

--Neymar

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Isomorphismen zwischen nicht-zyklischen Gruppen, Erzeuger wird auf Erzeuger abgebildet  
Beitrag No.20 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-20
Neymar
J


$G\ker(\gamma)\cong im(\gamma)$

Could you elaborate a bit further on this, please?

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Isomorphismen zwischen nicht-zyklischen Gruppen, Erzeuger wird auf Erzeuger abgebildet  
Beitrag No.19 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-20
Neymar
J

Yes, the center of $D_4$ is $\{(1), (1 3)(2 4)\}$.

Thanks!

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Schiefkörper der Quaternionen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-20
Neymar
 

Hi,

das mit den Drehungen kommt erst im nächsten Aufgabenteil dran. Gibt es keine andere Möglichkeit?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Schiefkörper der Quaternionen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-19
Neymar
 

Entschuldigt, dass ich ein bisschen vage darüber war, was mir genau klar ist.

Also ich habe gerade versucht zu zeigen, dass die Matrix von $\gamma_q$ bezüglich der $\mathbb R$-VR-Basis $(i,j,k)$ in $\text{SO}(3,\mathbb R)$ liegt. Dabei bin ich wie folgt vorgegangen: Ich habe $\gamma_q(i), \gamma_q(j)$ und $\gamma_q(k)$ berechnet, wobei $q$ beliebig ist.

Für $\gamma_q(i)$ kommt z.B. Folgendes raus: $\gamma_q(i)=\left( q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2\right)i+2(q_1q_2-q_0q_3)j+2(q_0q_2+q_1q_3)k$.

Nun würde ich dies in die erste Spalte der darstellenden Matrix $U$ reinschreiben, indem ich die VR-Basen $(i,j,k)$ und die kanonische Basis $(e_1, e_2, e_3)$ miteinander identifiziere: $i=e_1, j=e_2, k=e_3$. Damit kann das Bild $\gamma_q(i)$ als Vektor geschrieben werden. Dies habe ich auch für $\gamma_q(j)$ und $\gamma_q(k)$ getan und erhalte folgende Matrix $U$: \[U = \begin{pmatrix}q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2 & 2q_1q_2-2q_0q_3 & 2q_0q_2+2q_1q_3 \\ 2q_0q_3+2q_1q_2 & q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2 & 2q_2q_3-2q_0q_1 \\ 2q_1q_3-2q_0q_2& 2q_0q_1 + 2q_2q_3 & q_0^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2 \end{pmatrix}\] Also \(\underline{\text{theoretisch}}\) könnte ich nun die Determinanten dieser Matrix, die Transoponierte und dann $UU^{T}$ berechnen, um zu zeigen, dass $U\in \text{SO}(3,\mathbb R)$. Ich habe auch angefangen, die Determinate zu berechnen, und dann aufgehört.

Könnte mir jemand vielleicht einen Stupser geben, wie ich die Aufgabe lösen kann, ohne stundenlange stumpf zu rechnen? :-)

Viele Grüße,
Neymar


--Neymar

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Schiefkörper der Quaternionen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-19
Neymar
 

Hallo alle zusammen,

sei $\mathbb H$ der Schiefkörper der Quaternionen. Wir definieren nun eine Teilmenge durch $V:=\left\{xi+yj+zk\mid x,y,z\in\mathbb R\right\}\subset\mathbb H$. Des Weiteren sollte bereits vorher gezeigt werden, dass $G=\left\{q\in\mathbb H\mid q\overline{q}=1\right\}\subset \mathbb H\backslash \{0\}$ eine Untergruppe bildet.

Nun soll Folgendes gezeigt werden:


Zu $qvq^{-1}\in V$ habe ich eine Idee, ich versuche das mal gleich explizit nachzurechnen, aber beim Rest weiß ich noch nicht so ganz, wie ich da vorzugehen habe.


--Neymar

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Isomorphismen zwischen nicht-zyklischen Gruppen, Erzeuger wird auf Erzeuger abgebildet  
Beitrag No.17 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-18
Neymar
J

Oh, I am so sorry! I mixed up $D_4$ and $Q_8$. Alright, let us find $\text{Inn}(\mathbf D_4)$. We know that $\left|\text{Aut}\left(D_4\right)\right|=8$. Therefore, for $Inn(D_4)$, there are not so many possibilities: $|Inn(D_4)|\in\{1,2,4,8\}$.

EDIT: But since we are supposed to find $Inn(Q_8)$ as well, I wouldn't mind hitting two birds with one stone. :-)

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Isomorphismen zwischen nicht-zyklischen Gruppen, Erzeuger wird auf Erzeuger abgebildet  
Beitrag No.16 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-18
Neymar
J

Nice argumentation. :-) This would then imply that $|\text{Inn}(Q_8)|=4$.

I am still with you that $\text{ker}\left(\Phi\right)=Z(Q_8)=\{\pm 1\}$. However, I do not see yet how we get to your last equation.

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Automorphismen der Quaternionengruppe Q^8  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-18
Neymar
 


If $U \subseteq Q_8$ is any subset, then $\phi(U)$ is the image of $U$ under $\phi$, i.e., the set $\{ \phi(g)| g \in U \}$. If $U$ is a subgroups, then $\phi(U)$ is again a subgroup (this holds for any homomorphism, and as $\phi$ is bijective, we get $|\phi(U)|=|U|$. So, the action is indeed define by $\phi.U :=\phi(U)$ and the above arguments show that this is well-defined.

$>$ Alright, it makes sense.

An action of a group $G$ on a set with $n$ elements always induces a homomorphism $G \to S_n$, this is usually one of the first results one proves on group actions.

$>$ This is good to know! I looked up the proof in a book, it doesn't seem to be that complicated.

I am not quite sure whether I really understand the statement with the kernel. $\text{ker}\left( \Phi\right)=\{\phi\in \text{Aut}(Q_8)\mid \Phi\left(\phi\right)=(1) \}.$ But how does it follow that $\phi\left(  \langle i\rangle\right)=\langle i\rangle$ and $\phi\left(\langle j\rangle\right)=\langle j\rangle$?

--Neymar

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Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Isomorphismen zwischen nicht-zyklischen Gruppen, Erzeuger wird auf Erzeuger abgebildet  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-18
Neymar
J

Hi DavidM,

I just managed to go through all ten possibilities. :-) Unfortunately, there were only 2 cases where bijectivity was not satisfied, therefore I obtain 8 bijective maps. (Unfortunately, because realizing that bijectivity was not satisfied accelerated the process.) For some maps, I tried with one example to check whether homomorphism might not be satisfied because I don't feel like checking that $\forall x,y\in D_4: \phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$. Done properly, this would take too much time.

What I realized is the following though: We never used that $(1 2 3 4)$ and $(1 4 3 2)$ are conjugate to each other (another example: $(1 2)(3 4)$ and $(1 4)(2 3)$ are conjugate to each other).

Actually, this was (a). (b):

I think I already showed that $\text{Inn(G)}\trianglelefteq \text{Aut}(G)$. So for me it remains to determine $\text{Out}(D_4)$. By definition, the factor group (or quotient group) $\text{Out}(D_4)$ consists of all left cosets, i.e., \[\text{Out}\left(D_4\right)=\left\{ \phi\text{Inn}(Q_8) \mid \phi\in\text{Aut}(G)\right\}.\] Ergo, I thought that I first need to determine $\text{Inn}(G)$. I thought a bit of how I can do this and the best I came up with is to determine $\gamma_g$ for all $g\in G$, which can be done by brute force.

I actually started and have the suspicion that $\gamma_{(1 2 3 4)}=\gamma_{(1 4 3 2)}$. For all the other elements it holds that $g=g^{-1}$, so for these elements I don't have any better idea than explicit calculation ... I guess that $\text{Inn}(Q_8)$ has 7 elements. Then I would determine $\text{Out}(D_4)$ via explicit calculation as well.

--Neymar

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Neymar
Automorphismen der Quaternionengruppe Q^8  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-18
Neymar
 

Oh, now I understand my error! Thanks for the answer. I understand by now what you wrote and I am going to try to understand why $\text{Aut}(Q_8) \cong S_4$. This then implies that all the possible $24$ combinations are allowed, which in particular means that I could just write them down. :-)

I looked at the proof on StackExchange that I had referenced to and am afraid that I do not understand it ad hoc.

(i) Where do we know from that $\text{Aut}(Q_8)$ acts on the three subgroups $\left\langle i\right\rangle$, $\left\langle j\right\rangle$ and $\left\langle k\right\rangle$? The elements of $\text{Aut}(Q_8)$ are by definition automorphisms $\phi: Q_8\rightarrow Q_8$. Is the group operation  then $\phi.x := \phi(x)$, where $\phi\in \text{Aut}(Q_8)$ and $x$ is one of the cyclic subgroups $\langle i\rangle$, etc.? (However, I am not sure whether this would be well-defined; what is $\phi(\langle i\rangle)$ supposed to be?

(ii) Why does a group operation induce a HM (homomorphism)? (This question might solve itself when I understand what the group operation is.)

Many thanks in advance. :-)

--Neymar
 

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