Suchwörter   (werden UND-verknüpft)
Keines der folgenden   keine eigenen Beiträge
Name des Autors 
resp. Themenstellers 

nur dessen Startbeiträge
auch in Antworten dazu
Forum 
 Suchrichtung  Auf  Ab Suchmethode  Sendezeit Empfehlungbeta [?]
       Die Suche erfolgt nach den angegebenen Worten oder Wortteilen.   [Suchtipps]

Link auf dieses Suchergebnis hier

Forum
Thema Eingetragen
Autor

Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Kann mir jemand die Vereinfachung erklären?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-24 15:40
Nuramon
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

Sei $g(t,x) := \frac{h(t,x)}{N(x)}$.
Zeige, dass für jedes $z$ die Abbildung $t\mapsto g(t,z+t)$ konstant ist, indem du die Kettenregel benutzt und dann mit (1) zeigst, dass die Ableitung dieser Abbildung die Nullfunktion ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kaikai98
Sei f: R->R differenzierbar und sei 0 eine Maximumstelle. Sind die folgenden Aussagen korrekt?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-21 13:51
Nuramon
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

2020-09-21 13:35 - kaikai98 im Themenstart schreibt:
Ad a. seit bei 0 eine Maximumstelle liegt dann muss die Funktion von oben beschränkt sein, oder?
Ja. "Von oben beschränkt" ist aber nicht das gleiche wie "beschränkt".


Ad c. ich kann hier keine Gegenbeispiel finden, in alles was ich bis jetzt probiert habe war das richtig.
Tust du dir nur damit schwer ein Gegenbeispiel konkret anzugeben? Zumindest einzusehen, dass es Gegenbeispiele gibt ist nämlich gar nicht so schwer: Versuche z.B. einfach mal den Graphen einer Abbildung zu zeichnen, die bei $0$ ein Maximum hat und für die z.B. $f'(1)=1$ gilt.


Ad b. ich weiss nicht wie ich das überlegen kann.
Schreib mal auf, was es eigentlich heißt, dass bei $0$ ein Maximum vorliegt.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

Kongruenzen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: NffN1
Primitivwurzeln mod 2 * 23^k  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-20 20:52
Nuramon
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Ich skizziere den Beweis aus dem Buch "Zahlentheorie" von Leutbecher:

Sei $p$ eine ungerade Primzahl und $g$ Primitivwurzel mod $p$ mit der Eigenschaft $g^{p-1}\not\equiv 1 \pmod{p^2}$ (*).
(So ein $g$ existiert: Ist nämlich $g$ eine Primitivwurzel mit $g^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}$, dann ist $g':= g+p$ eine Primitivwurzel mit der gewünschten Eigenschaft.)

Wir wollen zeigen, dass dann $g$ ein Erzeuger von $(\IZ/p^k)^\times$ ist, mit $k\geq 1$ beliebig.
Dazu genügt es zu zeigen, dass $h:=g^{p-1}$ in $(\IZ/p^k)^\times$ die Ordnung $p^{k-1}$ hat. (**)

Wegen (*) hat $h$ die Form $h=1+pt$ mit $t\not\equiv 0 \pmod p$.
Per Induktion lässt sich jetzt zeigen, dass
$$h^{p^m} \equiv 1 + p^{m+1}t \pmod {p^{m+2}}$$ für alle $m\geq 0$ gilt, woraus (**) folgt.


(2020-09-20 20:06 - Buri in Beitrag No. 4
Gilt das auch modulo 2pk?
Wenn $g$ ungerade ist, ja.
\(\endgroup\)

Kongruenzen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: NffN1
Primitivwurzeln mod 2 * 23^k  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-20 18:49
Nuramon
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Wenn $g$ eine Primitivwurzel modulo einer ungeraden Primzahl $p$ ist, für die $g^{p-1}\not\equiv 1 \pmod{p^2}$ gilt, dann ist $g$ auch Primitivwurzel modulo $p^k$ für alle $k\geq 1$.
\(\endgroup\)

Kongruenzen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: NffN1
Primitivwurzeln mod 2 * 23^k  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-19 22:32
Nuramon
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

zuerst solltest du eine Primitivwurzel modulo $23^2$ finden. Dazu musst unter den schon berechneten Primitivwurzeln $g$ modulo $23$ eine finden, für die $g^{22}\not\equiv 1\pmod{23^2} $ oder $(g+23)^{22}\not\equiv 1 \pmod{23^2}$ gilt. Siehe hier.
\(\endgroup\)

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nachteuler
Modulauswahl zu Beginn von Teilzeitstudium - Analysis 1 oder Lineare Algebra 1  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-19 22:03
Nuramon
 

Hallo,

mit Mathematik als Hauptfach wirst du nicht darum herumkommen früher oder später beide Vorlesungen zu hören.

Wie Kezer schon angedeutet hat, könnte Analysis II ein Problem für dich werden, wenn du Lineare Algebra I noch nicht gehört hast. Umgekehrt dürfte Lineare Algebra II ohne Analysis I aber machbar sein.
Wenn du im ersten Semester nur Analysis I hörst, dann könnte es also passieren, dass du im zweiten Semester keine Vorlesung zur Verfügung hast, mit der du ohne viel zusätzliche Arbeit zurecht kommst.

Daher rate ich ebenfalls zu Linearer Algebra als Einstieg.

Es gibt übrigens eine einfache Methode, mit der man testen kann, ob jemand eher an Algebra oder eher an Analysis interessiert ist. Das korreliert nämlich damit, wie man Maiskolben isst: hier.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

Komplexitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sonnenschein96
n^2+1 nicht Produkt von Funktionen aus O(n)?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-19 18:43
Nuramon
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
@Ixx: $\mathcal O(n)$ enthält auch nichtlineare Funktionen $\IN\to \IN$. Z.B. $n\mapsto n+(-1)^n$.
\(\endgroup\)

Kongruenzen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: NffN1
Restsymbol  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-16 18:08
Nuramon
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Wenn es darum geht das Jacobi-Symbol auszurechnen, dann ist dein Ergebnis doch richtig.

Wenn es darum geht zu prüfen, ob $6957$ QR modulo $1105$ ist, dann könntest du z.B. untersuchen ob $6957$ QR modulo jedem Teiler von $1105$ ist.
\(\endgroup\)

Kongruenzen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: NffN1
Restsymbol  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-16 15:00
Nuramon
 

Hallo,

1105 ist keine Primzahl. Daher hat das Jacobi-Symbol zwar höchstens dann den Wert -1, wenn der entsprechende Rest ein QNR ist, aber der Wert +1 kann sowohl für QR als auch QNR angenommen werden.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LukasNiessen
Wieso ist das eine Galoiserweiterung?  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-13 12:12
Nuramon
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Ja, passt.

Weil du danach gefragt hattest, wie man eine $\IQ$-Basis von $\IQ(a,b)$ bestimmt (sagen wir $a=\sqrt[3]2$ und $b=\omega a, c=\omega^2 a$):
Eine $\IQ$-Basis von $\IQ(a)$ ist $1,a,a^2$.
Eine $\IQ(a)$-Basis von $\IQ(a,b) = \IQ(a)(i\sqrt 3) = \IQ(a)(\omega)$ (mit $\omega^2+\omega+1 = 0$), ist $1,\omega$.
Folglich sind die paarweisen Produkte dieser Basisvektoren, also $1, a, a^2, \omega, \omega a, \omega a^2$ eine $\IQ$-Basis von $\IQ(a,b)$.

Betrachten wir jetzt die Untergruppe der Galoisgruppe von $\IQ(a,b)/\IQ$, die vom Automorphismus $\tau: a\mapsto b, b\mapsto c, c\mapsto a$ erzeugt wird.
Wegen $\omega = \frac ba$ gilt $\tau(\omega) = \frac cb$ und somit für beliebige $a_1,a_2,\ldots, a_6 \in \IQ$:
$$\begin{align*}
 \tau(a_1+a_2 a+ a_3 a^2 + a_4 \omega + a_5 \omega a+a_6 \omega a^2) &= a_1 + a_2b+ a_3b^2 + a_4 \frac cb + a_5 \frac cb b + a_6\frac cb b^2\\
&= a_1 + a_2 \omega a + a_3 \omega^2 a^2 + a_4 \omega+ a_5 \omega^2 a + a_6 a^2\\
&= a_1 + a_2 \omega a -a_3\omega a^2 - a_3 a^2 + a_4\omega -a_5\omega a - a_5 a + a_6a^2\\
&= a_1 -a_5 a + (a_6-a_3)a^2 + a_4\omega +(a_2-a_5)\omega a - a_3\omega a^2
\end{align*}$$ Durch Koeffizientenvergleich sieht man jetzt, dass die Fixpunkte von $\tau$ die Form $a_1 + a_4\omega$ haben müssen.
\(\endgroup\)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LukasNiessen
Wieso ist das eine Galoiserweiterung?  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-12 23:46
Nuramon
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Wie wäre es mit $X^2+3$?
\(\endgroup\)

Informatik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kajam
Sieb des Eratosthenes Algorithmus, Lösung  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-12 20:14
Nuramon
 

Wenn deine Frage ist, was Arrays usw. sind, dann kann ich dem Einfältigen nur zustimmen.

Vielleicht ist dir aber auch nur nicht klar, dass in dem Array die Werte 1 bzw. -1 für "ist prim" bzw. "ist nicht prim" stehen sollen.
Das wäre vielleicht klarer, wenn der Autor bool statt int verwendet hätte.

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MePep
Lineare Abbildung aus Untervektorräumen  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-12 13:56
Nuramon
J

2020-09-12 13:51 - MePep in Beitrag No. 8 schreibt:
Könnte die Abbildung dann nicht so aussehen, dass sie m 0-Spalten hat und die letzten Spalten eine Basis des Bildes sind?
Du meinst eine Darstellungsmatrix der Abbildung, nicht die Abbildung selbst. Aber ja, das ist die richtige Idee.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LukasNiessen
Wieso ist das eine Galoiserweiterung?  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-12 13:40
Nuramon
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Stimmt, für die Grad 3 Zwischenkörper kannst du einfach so argumentieren: $\IQ(a),\IQ(b),\IQ(c)$ sind jeweils fix unter den entsprechenden Untergruppen und haben Grad 3, also sind dies tatsächlich die zugehörigen Fixkörper.

Um den Grad 2 Zwischenkörper zu finden, brauchst du eigentlich nur ein über $\IQ$ irreduzibles quadratisches Polynom zu finden, dass in $\IQ(a,b)$ zerfällt.
\(\endgroup\)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LukasNiessen
Wieso ist das eine Galoiserweiterung?  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-11 18:09
Nuramon
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\defi}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\defeq}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \DeclareMathOperator{\mer}{mer} \DeclareMathOperator{\Sht}{Sht} \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann} \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \newcommand{\h}{\o{h}} \DeclareMathOperator{\ind}{ind} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} \DeclareMathOperator{\Div}{Div} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\dom}{dom} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\Res}{Res} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} \DeclareMathOperator{\Sp}{Sp} \DeclareMathOperator{\vol}{vol} \DeclareMathOperator{\Cl}{Cl} \DeclareMathOperator{\Ét}{Ét} \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator{\rad}{rad} \DeclareMathOperator{\lim}{lim} \DeclareMathOperator{\char}{char} \DeclareMathOperator{\Proj}{Proj} \DeclareMathOperator{\proj}{proj} \DeclareMathOperator{\length}{length} \DeclareMathOperator{\locArt}{locArt} \DeclareMathOperator{\***}{***} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\Pic}{Pic} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\ker}{ker} \DeclareMathOperator{\ht}{ht} \DeclareMathOperator{\Frob}{Frob} \DeclareMathOperator{\Frac}{Frac} \DeclareMathOperator{\det}{det} \newcommand{\AA}{\sc{A}} \newcommand{\Rem}{\gudl{\sc{R}\!emark}} \newcommand{\Def}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{D}\!efinition}}}} \newcommand{\Defn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{D}\!efinition\tx{}#1}}}} \newcommand{\Prop}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{P}\!roposition}}}} \newcommand{\Propn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{P}\!roposition\tx{}#1}}}} \newcommand{\Claim}{\gudl{\sc{C}\!laim\colon}} \newcommand{\Claimn}[1]{\gudl{\sc{C}\!laim \tx{}#1}} \newcommand{\Thm}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{T}\!heorem}}}} \newcommand{\Thmn}[1]{\gudl{\sc{T}\!heorem\tx{}#1}} \newcommand{\O}{\c{O}} \DeclareMathOperator{\Ouv}{Ouv} \newcommand{\Cor}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{C}\!orollary}}}} \newcommand{\Corn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{C}\!orollary\tx{}#1}}}} \newcommand{\Fct}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{F}\!act}}}} \newcommand{\Fctn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{F}\!act\tx{}#1}}}} \newcommand{\Lem}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{L}\!emma}}}} \newcommand{\Lemn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{L}\!emma\tx{}#1}}}} \newcommand{\Exp}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{E}\!xample}}}} \newcommand{\Expn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{E}\!xample\tx{}#1}}}} \newcommand{\Rem}{\gudl{\sc{R}\!emark\colon}} \newcommand{\Remn}[1]{\gudl{\sc{R}\!emark #1\colon}} \newcommand{\brc}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\qst}{{}^{\color{red}{[?]}}} \newcommand{\qstn}[1]{{}^{\color{red}{[?,#1]}}} \newcommand{\sto}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\Ga}{\mathbb{G}_a} \newcommand{\G}{\mathbb{G}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\Gm}{\G_m} \newcommand{\d}[1]{_{#1}} \newcommand{\nz}{\not=0} \newcommand{\x}{(x)} \newcommand{\y}{(y)} \newcommand{\r}[1]{\mid_{#1}} \newcommand{\ij}{(i,j)} \newcommand{\o}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\ne}{\not=\emptyset} \newcommand{\ISLn}{\mathbb{S}\mathbb{L}_n} \newcommand{\tfae}{\textbf{T.F.A.E.}} \newcommand{\ndownlong}[2]{#1\ -\!\!\!\rightharpoonup\!\leftharpoondown\!\to\! #2} \newcommand{\OC}{\c{O}_C} \newcommand{\OF}{\c{O}_F} \newcommand{\gsp}[1]{\udl{\Spec}_S(#1)} \newcommand{\shso}{\udl{\text{Sheaves on}}} \newcommand{\shs}{\udl{\text{Sheaves}}} \newcommand{\ush}[1]{\udl{\text{Sheaf}}(#1)} \newcommand{\sh}{\udl{\text{Sheaf}}} \newcommand{\rr}{/\!\!/} \newcommand{\EE}{\mathscr{E}} \newcommand{\V}{\mathbb{V}} \newcommand{\ddd}{(d,d_1,d_2)} \newcommand{\Vd}{V_{d,d_1,d_2}} \newcommand{\xy}{(x,y)} \newcommand{\OX}{\c{O}_X} \newcommand{\Ox}{\c{O}_{X,x}} \newcommand{\KK}{\mathbb{K}} \newcommand{\lims}{\limsup_{n\to \infty}} \newcommand{\proof}{\gudl{\mathscr{P}\!roof}\colon} \newcommand{\proofofprop}[1]{\underline{\color{orange}{\mathscr{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{P}\!roposition\tx{}#1}\colon}} \newcommand{\proofofcor}[1]{\underline{\color{orange}{\mathscr{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{C}\!orollary\tx{}#1}\colon}} \newcommand{\proofofthm}{\gudl{\sc{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{T}\!heorem\colon}} \newcommand{\proofofthmn}[1]{\gudl{\sc{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{T}\!heorem\tx{}#1\colon}} \newcommand{\Bew}{\underline{\color{orange}{\mathscr{B}\!eweis}\colon}} \newcommand{\defeq}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\set}[2]{\{#1\mid #2\}} \newcommand{\SS}{\mathscr{S}} \newcommand{\FF}{\mathscr{F}} \newcommand{\DD}{\mathscr{D}} \newcommand{\dyadksum}[1]{\sum_{I\in \DD_k,I\sube J}#1} \newcommand{\noem}{\not=\emptyset} \newcommand{\DD}{\c{D}} \newcommand{\BB}{\mathscr{B}} \newcommand{\Pr}{\ff{P}} \newcommand{\exact}[3]{0\to #1\to #2\to#3\to 0} \newcommand{\qed}{\gudl{\ff{Q}.\ff{E}.\ff{D}.}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\wh}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\spr}[1]{\Sper(#1)} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\sp}[1]{\Spec(#1)} \newcommand{\nuplong}[2]{#1\ -\!\!\!\rightharpoondown\!\leftharpoonup\!\to\! #2} \newcommand{\ndownloong}[2]{#1 -\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup\!\leftharpoondown\!\!\!\longrightarrow \!#2} \newcommand{\bop}{\bigoplus} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\lxen}{\langle x_1\cos x_n\rangle} \newcommand{\Xen}{[X_1\cos X_n]} \newcommand{\xen}{[x_1\cos x_n]} \newcommand{\ip}{\langle -,- \rangle} \newcommand{\ipr}[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand{\vth}{\vartheta} \newcommand{\pprod}{\prod_{v\in\ff{M}_\K}} \newcommand{\pfam}[1]{(#1)_{v\in\ff{M}_\K}} \newcommand{\finfam}[1]{(#1)_{i=1}^n} \newcommand{\fam}[1]{(#1)_{i\in I}} \newcommand{\jfam}[1]{(#1)_{j\in J}} \newcommand{\kfam}[1]{(#1)_{k\in K}} \newcommand{\nfam}[1]{(#1)_{i=1}^n} \newcommand{\nifam}[1]{(#1)_{n=0}^\infty} \newcommand{\udl}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\Uij}{U_i\cap U_j} \newcommand{\vpi}{\varphi_i} \newcommand{\vpj}{\varphi_j} \newcommand{\vph}{\varphi} \newcommand{\psij}{\psi_{i,j}} \newcommand{\CC}{\c{C}} \newcommand{\nsum}{\sum_{n\in\N}} \newcommand{\twist}[1]{\c{O}_{\mathbb{P}_k^n}(#1)} \newcommand{\prj}[1]{\Proj (#1)} \newcommand{\part}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\kxn}{k[x_0,\pts,x_n]} \newcommand{\ques}{\gudl{\c{Q}\!uestion\colon}} \newcommand{\quesn}[1]{\gudl{\c{Q}\!uestion\tx{}#1\colon}} \newcommand{\answ}{\gudl{\sc{A}\!nswer\colon}} \newcommand{\cons}{\color{orange}{\udl{\color{black}{\sc{C}\!onsiderations:}}}} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\pr}{\mathfrak{p}} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1\right|} \newcommand{\ab}{\left|-\right|} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\KX}{K[X]} \newcommand{\cov}{\c{U}} \newcommand{\ff}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\half}{\frac{1}{2}} \newcommand{\ANF}{K/\Q} \newcommand{\GFF}{F/{\F_p(t)}} \newcommand{\Os}{\mathcal{O}_{S,s}} \newcommand{\lineb}{\sc{L}} \newcommand{\cyclm}{\Q(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\cyclmK}{K(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\LX}{L[X]} \newcommand{\GG}{\sc{G}} \newcommand{\OS}{\mathcal{O}_S} \newcommand{\bb}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\OY}{\mathcal{O}_Y} \newcommand{\vdp}{\sc{V}\!an\text{ }der\text{ }\sc{P}\!ut} \newcommand{\weierstr***}{\sc{W}\!eierstraß} \newcommand{\runge}{\sc{R}\!unge} \newcommand{\laurent}{\sc{L}\!aurent} \newcommand{\grothendieck}{\sc{G}\!rothendieck} \newcommand{\noether}{\sc{N}\!oether} \newcommand{\glX}{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)} \newcommand{\glY}{\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)} \newcommand{\finKX}{f\in K[X]} \newcommand{\ser}[1]{\sm{n=0}{\infty}{#1}} \newcommand{\sm}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\sum}} #3} \newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\sube}{\subseteq} \newcommand{\hk}{\hookrightarrow} \newcommand{\OYy}{\mathcal{O}_{Y,y}} \newcommand{\supe}{\supseteq} \newcommand{\resy}{\kappa(y)} \newcommand{\LK}{L/K} \newcommand{\iso}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\isom}[3]{#1\overset{#2}{\iso}#3} \newcommand{\kn}{k^n} \newcommand{\kvec}{\textbf{vect}(k)} \newcommand{\fkvec}{\textbf{vect}_{<\infty}(k)} \newcommand{\fz}{f(X)=0} \newcommand{\KIsom}{L\underset{K}{\overset{\sim}{\to}} L} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\L}{\mathbb{L}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\ad}{\A_k} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p} \newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}_q} \newcommand{\Fp}{\mathbb{F}_p} \newcommand{\I}{[0,1]} \newcommand{\In}{[0,1]^n} \newcommand{\Fpn}{\mathbb{F}_{p^n}} \newcommand{\Fpm}{\mathbb{F}_{p^m}} \newcommand{\Zn}{\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}} \newcommand{\Zx}[1]{\mathbb{Z}/{#1\mathbb{Z}}} \newcommand{\md}[3]{#1\equiv #2\pmod{#3}} \newcommand{\ga}{\Gal(L/K)} \newcommand{\aga}[1]{\Gal(\overline{#1}/#1)} \newcommand{\sga}[1]{\Gal(#1^{sep}/{#1})} \newcommand{\gal}[2]{\Gal(#1/{#2})} \newcommand{\c}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\skw}{\{\tau\}} \newcommand{\limes}[1]{\underset{i\in I}{\varprojlim{#1_i}}} \newcommand{\IGLn}{\mathbb{G}\mathbb{L}_n} \newcommand{\IGL}{\mathbb{G}\mathbb{L}} \newcommand{\Co}[2]{H^p(#1,#2)} \newcommand{\OK}{\mathcal{O}_K} \newcommand{\OL}{\mathcal{O}_L} \newcommand{\res}[1]{\kappa(#1)} \newcommand{\resx}{\kappa(x)} \newcommand{\lTen}{\langle T_1\cos T_n\rangle} \newcommand{\lXen}{\langle X_1\cos X_n\rangle} \newcommand{\Te}{[T]} \newcommand{\Tee}{[T_1,T_2]} \newcommand{\Teee}{[T_1,T_2,T_3]} \newcommand{\Ten}{[T_1\cos T_n]} \newcommand{\Tem}{[T_1\cos T_m]} \newcommand{\pts}{\cdots} \newcommand{\pt}{\cdot} \newcommand{\hm}[3]{\Hom_{#1}(#2,#3)} \newcommand{\hom}{\Hom} \newcommand{\dash}{\dashrightarrow} \newcommand{\schemes}{\bb{(Sch)}} \newcommand{\groups}{\bb{(Grp)}} \newcommand{\rings}{\bb{(Ring)}} \newcommand{\tx}[1]{\text{ #1 }} \newcommand{\mm}{\ff{m}} \newcommand{\zkinfsum}{\sum_{k=0}^\infty} \newcommand{\ziinfsum}{\sum_{i=0}^\infty} \newcommand{\zjinfsum}{\sum_{j=0}^\infty} \newcommand{\asum}[1]{\sum_{\a\in\N^n}#1 X^\a} \newcommand{\arr}[3]{#1\overset{#2}{\to} #3} \newcommand{\nrm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\nr}{\nrm{-}} \newcommand{\ext}[2]{#1/{#2}} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\p}{\phi} \newcommand{\bul}{\bullet} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\T}{\mathbb{T}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\tms}{\times\pts\times} \newcommand{\ot}{\otimes} \newcommand{\ots}{\otimes\pts\otimes} \newcommand{\pls}{+\pts +} \newcommand{\cos}{,\pts,} \newcommand{\op}{\oplus} \newcommand{\ops}{\oplus\pts\oplus} \newcommand{\cr}{\circ} \newcommand{\crs}{\circ\pts\circ} \newcommand{\sc}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\scal}[2]{\sc{#1}{\!#2}} \newcommand{\ov}[2]{\begin{matrix}#1 \\ #2\end{matrix}} \newcommand{\viele}{\color{orange}{\udl{\color{black}{\sc{V}\!iele\tx{}\sc{G}\!r\overset{{}_{,,\!}}{u}\textit{ß}e}}}} \newcommand{\xst}{\color{orange}{\udl{\color{black}{X.S.T.\sim 小石头}}}} \newcommand{\gudl}[1]{\color{orange}{\udl{\color{black}{#1}}}} \newcommand{\Task}{\gudl{\sc{T}\!ask:}} \newcommand{\Exer}{\gudl{\sc{E}\!exercise:}} \newcommand{\Drinfeld}{\gudl{\sc{D}\!rinfeld:}} \newcommand{\Goss}{\gudl{\sc{G}\!oss}} \newcommand{\CK}{C/K} \newcommand{\CS}{C/S} \newcommand{\Ck}{C/k} \newcommand{\Om}{\Omega} \newcommand{\J}{\Jac_{\CS}^{g-1}} \newcommand{\Fact}{\gudl{\sc{F}\!act\colon}} \newcommand{\Factn}[1]{\gudl{\sc{F}\!act\tx{}#1\colon}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-09-11 16:51 - LukasNiessen in Beitrag No. 4 schreibt:
Im Falle 1, dass a,b Nullstellen von $X^2+3$ sieht man, dass die Erweiterung den Grad 2 hat und daher die Galois-Gruppe $S_2$ ist, daher gibt es auch keine (echten) Zwischenkörper.
Richtig, aber der Fall ist in der Aufgabenstellung durch die Bedingung $a\not= \pm b$ sowieso ausgeschlossen.


Im Falle 2, dass a von $X^3-2$ und b von $X^2+3$ ist, sieht man (da dritte Einheitswurzel und b sie erzeugen), dass die Erweiterung den Grad 6 hat, daher $G = S_3$.
Warum ist die Galoisgruppe $S_3$ und nicht z.B. $\IZ/6$?


Im Falle 3, dass beide von $X^3-2$ sind:
Da $\IQ(a,b)$ stets Zerfällungskörper über dem Polynom ist und damit eindeutig ist, können wir a,b beliebig wählen. Etwa $a=\sqrt[3]{2}, b=(-1)^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{2}$. Dann gilt $[\IQ(a,b):\IQ]=[\IQ(a):\IQ]\cdot [\IQ(a,b):\IQ(a)] = 3\cdot 2 = 6$ und damit auch $G=S_6$.
Die Notation $(-1)^\frac 23$ (und später auch $\sqrt[3]{-2}$) würde ich nicht verwenden. Besser wäre z.B. $\omega$ als primitive dritte Einheitswurzel (also als eine Lösung von $\omega^2+\omega+1 =0$) zu definieren und dann die Nullstellen von $X^3-2$ mit $\sqrt[3]2, \omega\sqrt[3]2, \omega^2\sqrt[3]2$ zu bezeichnen.


Da wir in beiden Fällen die gleiche Galois-Gruppe sowie Körpererweiterung haben, ist es ausreichend einen Fall zu betrachten um alle Zwischenkörper zu bestimmen. Ich nehme Fall 3:

Eine echte Untergruppe von G hat entweder 2 oder 3 Elemente.
Wenn ich da nichts übersehe sind alle solche Untergruppen die folgenden:

Die Nullstellen um deren Permutationen es geht sind $\sqrt[3]{2} = a, (-1)^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{2} = b, -\sqrt[3]{-2} = c$

Ordnung 2:
$\{a \mapsto a, b \mapsto c, c \mapsto b \}$
$\{a \mapsto c, b \mapsto b, c \mapsto a \}$
$\{a \mapsto b, b \mapsto a, c \mapsto c \}$

Ordnung 3:
$\{a \mapsto b, b \mapsto c, c \mapsto a \}$
Du könntest noch besser begründen, warum die Galoisgruppe gerade aus den Permutationen von $a,b,c$ besteht (das ist verwandt mit meiner Nachfrage zu Fall 2).


Die entsprechenden Fixkörper sind bei Ordnung 2:
$\IQ(a), \IQ(b), \IQ(c)$
Wie begründest du das?


Aber ich weiß nicht ganz, wie ich den Fixkörper bei der Untergruppe der Ordnung 3 bestimmen soll.
Um zu jeder Untergruppe direkt den entsprechenden Fixkörper zu bestimmen, müsstest du eigentlich eine $\IQ$-Basis von $\IQ(a,b)$ bestimmen, ausrechnen, wie die einzelnen Permutationen auf beliebige Linearkombinationen dieser Basis wirken und dann die Fixpunkte bestimmen.

Aber du kannst auch so argumentieren: Laut Hauptsatz der Galoistheorie gibt es 4 echte Zwischenkörper. Drei davon haben Erweiterungsgrad 3 und einer Grad 2. Es reicht also eigentlich aus, wenn du diese vier Zwischenkörper angeben kannst. Im Prinzip musst du also nur noch "erraten", was der Grad 2 Zwischenkörper ist und begründen, dass $\IQ(a),\IQ(b),\IQ(c)$ drei verschiedene Zwischenkörper vom Grad 3 sind.
Anschließend kannst du dir dann immer noch überlegen, welcher Zwischenkörper zu welcher Untergruppe korrespondiert.
\(\endgroup\)

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MePep
Lineare Abbildung aus Untervektorräumen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-10 22:10
Nuramon
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-09-10 16:19 - MePep in Beitrag No. 4 schreibt:
Ok, zuerst: Wenn man solch eine Basis konstruiert, dann sind die ersten m Spalten Vektoren aus U... richtig? Also müsste ja $\varphi(b_{1}) = ... = \varphi(b_{m}) = 0$ sein... richtig?
Ja.

Für den Extremfall, also m = 0, würde diese Abbildung ja einfach ein beliebiger Isomorphismus (bzw. Automorphismus?) von V nach V sein, da beide Vektorräume Basen gleicher Mächtigkeit besitzen und durch m = 0 folgt, dass nur die 0 auf die 0 abgebildet wird und die Abbildung somit injektiv ist, damit surjektiv also bijektiv.
Ja.

Edit: Wenn mein erster Gedanke stimmt, dann gilt ja für diese konstruierte Basis auch, wenn ich einen beliebigen Vektor aus V betrachte, dass:

$\varphi(v) = \varphi(k_{1}b_{1} + ... + k_{n}b_{n}) = 0 + 0 + ... + k_{m+1}\varphi(b_{m+1}) + ... +k_{n}\varphi(b_{n})$

Oder ist das alles falsch?
Alles richtig bis hierhin.👍
\(\endgroup\)

Kombinatorik & Graphentheorie
Beruf 
Thema eröffnet von: Ksahja
10 Punkte auf 7 Felder, Startaufstellung in einem Brettspiel  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-09 17:07
Nuramon
J


Ich habe den Maximalwert 6 nicht beachtet. (schäm)
Dann bin ich beruhigt. Ich habe außerdem aus Versehen einen Beitrag zu viel gelöscht, aber du hast ihn ja zum Glück für die Nachwelt zitiert.

Kombinatorik & Graphentheorie
Beruf 
Thema eröffnet von: Ksahja
10 Punkte auf 7 Felder, Startaufstellung in einem Brettspiel  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-09 16:48
Nuramon
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Stell dir vor, du hättest 10 Steine, die jeweils den Wert 1 haben.
Aus diesen 10 Steinen bildest du jetzt 7 Haufen. Manche Haufen dürfen leer sein und jeder Haufen soll höchstens 6 Steine enthalten.

Die Anzahl der Möglichkeiten solche Haufen zu bilden entspricht der Anzahl der Startaufstellungen für dein Spiel.

Es gibt mehrere Möglichkeiten zu berechnen, auf wie viele unterschiedliche Arten du Haufen machen kannst.😎

Wenn man zunächst auch Haufen mit mehr als 6 Steinen erlaubt, dann ist das ein Standardproblem aus der Kombinatorik für das bekannt ist, dass es $\binom{16}6$ Möglichkeiten gibt.
Davon muss man jetzt aber wieder die Möglichkeiten abziehen, bei denen Haufen der Größe 10, 9, 8 oder 7 vorkommen. Diese lassen sich zum Glück leicht berechnen (darfst du selbst machen).

Etwas abstrakter:
Die gesuchte Anzahl ist der Koeffizient von $x^{10}$ in dem Polynom $(1+x+x^2+\ldots+x^6)^7$.
Es gilt
$$ \begin{align*}
(1+x+x^2+\ldots+x^6)^7 &= \left(\frac{1-x^7}{1-x}\right)^7\\
&= (1-x^7)^7 \frac 1{(1-x)^7}\\
&= (1-x^7)^7 (1+x+x^2+\ldots)^7\\
&= (1-x^7)^7 \sum_{n=0}^\infty \binom {n+6}6 x^n\\
&= (1 -7x^7 + \ldots ) \sum_{n=0}^\infty \binom {n+6}6 x^n.
\end{align*}$$ In der letzten Zeile kann man den Koeffizienten von $x^{10}$ leicht ablesen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LukasNiessen
Wieso ist das eine Galoiserweiterung?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-09 11:52
Nuramon
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\defi}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\defeq}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \DeclareMathOperator{\mer}{mer} \DeclareMathOperator{\Sht}{Sht} \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann} \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \newcommand{\h}{\o{h}} \DeclareMathOperator{\ind}{ind} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Coker}{Coker} \DeclareMathOperator{\Div}{Div} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\dom}{dom} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\Res}{Res} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} \DeclareMathOperator{\Sp}{Sp} \DeclareMathOperator{\vol}{vol} \DeclareMathOperator{\Cl}{Cl} \DeclareMathOperator{\Ét}{Ét} \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator{\rad}{rad} \DeclareMathOperator{\lim}{lim} \DeclareMathOperator{\char}{char} \DeclareMathOperator{\Proj}{Proj} \DeclareMathOperator{\proj}{proj} \DeclareMathOperator{\length}{length} \DeclareMathOperator{\locArt}{locArt} \DeclareMathOperator{\***}{***} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\Pic}{Pic} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\ker}{ker} \DeclareMathOperator{\ht}{ht} \DeclareMathOperator{\Frob}{Frob} \DeclareMathOperator{\Frac}{Frac} \DeclareMathOperator{\det}{det} \newcommand{\AA}{\sc{A}} \newcommand{\Rem}{\gudl{\sc{R}\!emark}} \newcommand{\Def}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{D}\!efinition}}}} \newcommand{\Defn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{D}\!efinition\tx{}#1}}}} \newcommand{\Prop}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{P}\!roposition}}}} \newcommand{\Propn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{P}\!roposition\tx{}#1}}}} \newcommand{\Claim}{\gudl{\sc{C}\!laim\colon}} \newcommand{\Claimn}[1]{\gudl{\sc{C}\!laim \tx{}#1}} \newcommand{\Thm}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{T}\!heorem}}}} \newcommand{\Thmn}[1]{\gudl{\sc{T}\!heorem\tx{}#1}} \newcommand{\O}{\c{O}} \DeclareMathOperator{\Ouv}{Ouv} \newcommand{\Cor}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{C}\!orollary}}}} \newcommand{\Corn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{C}\!orollary\tx{}#1}}}} \newcommand{\Fct}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{F}\!act}}}} \newcommand{\Fctn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{F}\!act\tx{}#1}}}} \newcommand{\Lem}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{L}\!emma}}}} \newcommand{\Lemn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{L}\!emma\tx{}#1}}}} \newcommand{\Exp}{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{E}\!xample}}}} \newcommand{\Expn}[1]{\color{orange}{\underline{\color{black}{\sc{E}\!xample\tx{}#1}}}} \newcommand{\Rem}{\gudl{\sc{R}\!emark\colon}} \newcommand{\Remn}[1]{\gudl{\sc{R}\!emark #1\colon}} \newcommand{\brc}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\qst}{{}^{\color{red}{[?]}}} \newcommand{\qstn}[1]{{}^{\color{red}{[?,#1]}}} \newcommand{\sto}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\Ga}{\mathbb{G}_a} \newcommand{\G}{\mathbb{G}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\Gm}{\G_m} \newcommand{\d}[1]{_{#1}} \newcommand{\nz}{\not=0} \newcommand{\x}{(x)} \newcommand{\y}{(y)} \newcommand{\r}[1]{\mid_{#1}} \newcommand{\ij}{(i,j)} \newcommand{\o}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\ne}{\not=\emptyset} \newcommand{\ISLn}{\mathbb{S}\mathbb{L}_n} \newcommand{\tfae}{\textbf{T.F.A.E.}} \newcommand{\ndownlong}[2]{#1\ -\!\!\!\rightharpoonup\!\leftharpoondown\!\to\! #2} \newcommand{\OC}{\c{O}_C} \newcommand{\OF}{\c{O}_F} \newcommand{\gsp}[1]{\udl{\Spec}_S(#1)} \newcommand{\shso}{\udl{\text{Sheaves on}}} \newcommand{\shs}{\udl{\text{Sheaves}}} \newcommand{\ush}[1]{\udl{\text{Sheaf}}(#1)} \newcommand{\sh}{\udl{\text{Sheaf}}} \newcommand{\rr}{/\!\!/} \newcommand{\EE}{\mathscr{E}} \newcommand{\V}{\mathbb{V}} \newcommand{\ddd}{(d,d_1,d_2)} \newcommand{\Vd}{V_{d,d_1,d_2}} \newcommand{\xy}{(x,y)} \newcommand{\OX}{\c{O}_X} \newcommand{\Ox}{\c{O}_{X,x}} \newcommand{\KK}{\mathbb{K}} \newcommand{\lims}{\limsup_{n\to \infty}} \newcommand{\proof}{\gudl{\mathscr{P}\!roof}\colon} \newcommand{\proofofprop}[1]{\underline{\color{orange}{\mathscr{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{P}\!roposition\tx{}#1}\colon}} \newcommand{\proofofcor}[1]{\underline{\color{orange}{\mathscr{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{C}\!orollary\tx{}#1}\colon}} \newcommand{\proofofthm}{\gudl{\sc{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{T}\!heorem\colon}} \newcommand{\proofofthmn}[1]{\gudl{\sc{P}\!roof\tx{}of\tx{}\sc{T}\!heorem\tx{}#1\colon}} \newcommand{\Bew}{\underline{\color{orange}{\mathscr{B}\!eweis}\colon}} \newcommand{\defeq}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\set}[2]{\{#1\mid #2\}} \newcommand{\SS}{\mathscr{S}} \newcommand{\FF}{\mathscr{F}} \newcommand{\DD}{\mathscr{D}} \newcommand{\dyadksum}[1]{\sum_{I\in \DD_k,I\sube J}#1} \newcommand{\noem}{\not=\emptyset} \newcommand{\DD}{\c{D}} \newcommand{\BB}{\mathscr{B}} \newcommand{\Pr}{\ff{P}} \newcommand{\exact}[3]{0\to #1\to #2\to#3\to 0} \newcommand{\qed}{\gudl{\ff{Q}.\ff{E}.\ff{D}.}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\wh}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\spr}[1]{\Sper(#1)} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\sp}[1]{\Spec(#1)} \newcommand{\nuplong}[2]{#1\ -\!\!\!\rightharpoondown\!\leftharpoonup\!\to\! #2} \newcommand{\ndownloong}[2]{#1 -\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup\!\leftharpoondown\!\!\!\longrightarrow \!#2} \newcommand{\bop}{\bigoplus} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\lxen}{\langle x_1\cos x_n\rangle} \newcommand{\Xen}{[X_1\cos X_n]} \newcommand{\xen}{[x_1\cos x_n]} \newcommand{\ip}{\langle -,- \rangle} \newcommand{\ipr}[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand{\vth}{\vartheta} \newcommand{\pprod}{\prod_{v\in\ff{M}_\K}} \newcommand{\pfam}[1]{(#1)_{v\in\ff{M}_\K}} \newcommand{\finfam}[1]{(#1)_{i=1}^n} \newcommand{\fam}[1]{(#1)_{i\in I}} \newcommand{\jfam}[1]{(#1)_{j\in J}} \newcommand{\kfam}[1]{(#1)_{k\in K}} \newcommand{\nfam}[1]{(#1)_{i=1}^n} \newcommand{\nifam}[1]{(#1)_{n=0}^\infty} \newcommand{\udl}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\Uij}{U_i\cap U_j} \newcommand{\vpi}{\varphi_i} \newcommand{\vpj}{\varphi_j} \newcommand{\vph}{\varphi} \newcommand{\psij}{\psi_{i,j}} \newcommand{\CC}{\c{C}} \newcommand{\nsum}{\sum_{n\in\N}} \newcommand{\twist}[1]{\c{O}_{\mathbb{P}_k^n}(#1)} \newcommand{\prj}[1]{\Proj (#1)} \newcommand{\part}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\kxn}{k[x_0,\pts,x_n]} \newcommand{\ques}{\gudl{\c{Q}\!uestion\colon}} \newcommand{\quesn}[1]{\gudl{\c{Q}\!uestion\tx{}#1\colon}} \newcommand{\answ}{\gudl{\sc{A}\!nswer\colon}} \newcommand{\cons}{\color{orange}{\udl{\color{black}{\sc{C}\!onsiderations:}}}} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\pr}{\mathfrak{p}} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1\right|} \newcommand{\ab}{\left|-\right|} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\KX}{K[X]} \newcommand{\cov}{\c{U}} \newcommand{\ff}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\half}{\frac{1}{2}} \newcommand{\ANF}{K/\Q} \newcommand{\GFF}{F/{\F_p(t)}} \newcommand{\Os}{\mathcal{O}_{S,s}} \newcommand{\lineb}{\sc{L}} \newcommand{\cyclm}{\Q(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\cyclmK}{K(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\LX}{L[X]} \newcommand{\GG}{\sc{G}} \newcommand{\OS}{\mathcal{O}_S} \newcommand{\bb}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\OY}{\mathcal{O}_Y} \newcommand{\vdp}{\sc{V}\!an\text{ }der\text{ }\sc{P}\!ut} \newcommand{\weierstr***}{\sc{W}\!eierstraß} \newcommand{\runge}{\sc{R}\!unge} \newcommand{\laurent}{\sc{L}\!aurent} \newcommand{\grothendieck}{\sc{G}\!rothendieck} \newcommand{\noether}{\sc{N}\!oether} \newcommand{\glX}{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)} \newcommand{\glY}{\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)} \newcommand{\finKX}{f\in K[X]} \newcommand{\ser}[1]{\sm{n=0}{\infty}{#1}} \newcommand{\sm}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\sum}} #3} \newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\sube}{\subseteq} \newcommand{\hk}{\hookrightarrow} \newcommand{\OYy}{\mathcal{O}_{Y,y}} \newcommand{\supe}{\supseteq} \newcommand{\resy}{\kappa(y)} \newcommand{\LK}{L/K} \newcommand{\iso}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\isom}[3]{#1\overset{#2}{\iso}#3} \newcommand{\kn}{k^n} \newcommand{\kvec}{\textbf{vect}(k)} \newcommand{\fkvec}{\textbf{vect}_{<\infty}(k)} \newcommand{\fz}{f(X)=0} \newcommand{\KIsom}{L\underset{K}{\overset{\sim}{\to}} L} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\L}{\mathbb{L}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\ad}{\A_k} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p} \newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}_q} \newcommand{\Fp}{\mathbb{F}_p} \newcommand{\I}{[0,1]} \newcommand{\In}{[0,1]^n} \newcommand{\Fpn}{\mathbb{F}_{p^n}} \newcommand{\Fpm}{\mathbb{F}_{p^m}} \newcommand{\Zn}{\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}} \newcommand{\Zx}[1]{\mathbb{Z}/{#1\mathbb{Z}}} \newcommand{\md}[3]{#1\equiv #2\pmod{#3}} \newcommand{\ga}{\Gal(L/K)} \newcommand{\aga}[1]{\Gal(\overline{#1}/#1)} \newcommand{\sga}[1]{\Gal(#1^{sep}/{#1})} \newcommand{\gal}[2]{\Gal(#1/{#2})} \newcommand{\c}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\skw}{\{\tau\}} \newcommand{\limes}[1]{\underset{i\in I}{\varprojlim{#1_i}}} \newcommand{\IGLn}{\mathbb{G}\mathbb{L}_n} \newcommand{\IGL}{\mathbb{G}\mathbb{L}} \newcommand{\Co}[2]{H^p(#1,#2)} \newcommand{\OK}{\mathcal{O}_K} \newcommand{\OL}{\mathcal{O}_L} \newcommand{\res}[1]{\kappa(#1)} \newcommand{\resx}{\kappa(x)} \newcommand{\lTen}{\langle T_1\cos T_n\rangle} \newcommand{\lXen}{\langle X_1\cos X_n\rangle} \newcommand{\Te}{[T]} \newcommand{\Tee}{[T_1,T_2]} \newcommand{\Teee}{[T_1,T_2,T_3]} \newcommand{\Ten}{[T_1\cos T_n]} \newcommand{\Tem}{[T_1\cos T_m]} \newcommand{\pts}{\cdots} \newcommand{\pt}{\cdot} \newcommand{\hm}[3]{\Hom_{#1}(#2,#3)} \newcommand{\hom}{\Hom} \newcommand{\dash}{\dashrightarrow} \newcommand{\schemes}{\bb{(Sch)}} \newcommand{\groups}{\bb{(Grp)}} \newcommand{\rings}{\bb{(Ring)}} \newcommand{\tx}[1]{\text{ #1 }} \newcommand{\mm}{\ff{m}} \newcommand{\zkinfsum}{\sum_{k=0}^\infty} \newcommand{\ziinfsum}{\sum_{i=0}^\infty} \newcommand{\zjinfsum}{\sum_{j=0}^\infty} \newcommand{\asum}[1]{\sum_{\a\in\N^n}#1 X^\a} \newcommand{\arr}[3]{#1\overset{#2}{\to} #3} \newcommand{\nrm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\nr}{\nrm{-}} \newcommand{\ext}[2]{#1/{#2}} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\p}{\phi} \newcommand{\bul}{\bullet} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\T}{\mathbb{T}} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\tms}{\times\pts\times} \newcommand{\ot}{\otimes} \newcommand{\ots}{\otimes\pts\otimes} \newcommand{\pls}{+\pts +} \newcommand{\cos}{,\pts,} \newcommand{\op}{\oplus} \newcommand{\ops}{\oplus\pts\oplus} \newcommand{\cr}{\circ} \newcommand{\crs}{\circ\pts\circ} \newcommand{\sc}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\scal}[2]{\sc{#1}{\!#2}} \newcommand{\ov}[2]{\begin{matrix}#1 \\ #2\end{matrix}} \newcommand{\viele}{\color{orange}{\udl{\color{black}{\sc{V}\!iele\tx{}\sc{G}\!r\overset{{}_{,,\!}}{u}\textit{ß}e}}}} \newcommand{\xst}{\color{orange}{\udl{\color{black}{X.S.T.\sim 小石头}}}} \newcommand{\gudl}[1]{\color{orange}{\udl{\color{black}{#1}}}} \newcommand{\Task}{\gudl{\sc{T}\!ask:}} \newcommand{\Exer}{\gudl{\sc{E}\!exercise:}} \newcommand{\Drinfeld}{\gudl{\sc{D}\!rinfeld:}} \newcommand{\Goss}{\gudl{\sc{G}\!oss}} \newcommand{\CK}{C/K} \newcommand{\CS}{C/S} \newcommand{\Ck}{C/k} \newcommand{\Om}{\Omega} \newcommand{\J}{\Jac_{\CS}^{g-1}} \newcommand{\Fact}{\gudl{\sc{F}\!act\colon}} \newcommand{\Factn}[1]{\gudl{\sc{F}\!act\tx{}#1\colon}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-09-09 11:39 - LukasNiessen in Beitrag No. 2 schreibt:
Zu 1.:
Meinst du folgendes?
Sei also $X^3-2=(X-a)(X^2+pX+q)$. Mit dem Satz von Vieta folgt, dass für die Nullstellen $b, c$ von $(X^2+pX+q)$ gilt: $bc=q$ und daher gilt auch $c \in \IQ(a,b)$.
Ja. Alternativ geht es auch so: Wenn $a,b,c$ die Nullstellen von $X^3-2$ sind, dann gilt $a+b+c=0$ (Koeffizient von $X^2$), also zerfällt $X^3-2 = (X-a)(X-b)(X+a+b)$ über $\IQ(a,b)$ in Linearfaktoren.


Zu 2.:
Leider weiß ich immer noch nicht ganz weiter. Einheitswurzeln kommen erst im nächsten Kapitel, ich habe mir aber mal die Definition angeschaut, doch ich sehe nicht, wieso $\IQ(b)$ eine dritte Einheitswurzel enthält.
Wie sieht so eine dritte Einheitswurzel denn aus? Schreib das mal explizit hin.


Und ich sehe insbesondere auch nicht, wie wir eine solche Einheitswurzel zum faktorisieren von $X^3-2$ gebrauchen können, denn der konstante Teil des Polynoms ist ja 2 und nicht 1.
Was sind denn die Nullstellen von $X^3-2$? Was fällt auf, wenn du zwei verschiedene Nullstellen miteinander vergleichst?
\(\endgroup\)

Kombinatorik & Graphentheorie
Schule 
Thema eröffnet von: Ksahja
9 Plätze, 4 Zahlen mit Variablen (Brettspiel)  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-09 00:09
Nuramon
J

Hallo,

Vernachlässige zunächst die Anhänge und rechne nur die Anzahl der Konstellationen aus, die mit neun Figuren möglich sind (also z.B. 0.1.2.0.0.0.3.0.0). Weißt du, wie man das macht?

Anschließend kannst du dir dann überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt eine dieser Konstellationen zusätzlich noch mit den Anhängen zu versehen.
 

Sie haben sehr viele Suchergebnisse
Bitte verfeinern Sie die Suchkriterien

[Die ersten 20 Suchergebnisse wurden ausgegeben]
Link auf dieses Suchergebnis hier
(noch mehr als 20 weitere Suchergebnisse)

-> [Suche im Forum fortsetzen]
 
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]

used time 0.043581