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Folgen und Reihen  | |
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Genau sowas hab ich gesucht, danke :)
Liebe Grüße,
PiJey |
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Folgen und Reihen | |
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Guten Abend :)
Ich suche momentan eine gute Konstante c > 0, so dass folgende Ungleichung gilt:
$\sum\limits_{k = s}^\infty \frac{1}{\sqrt{k^3}} \leq c \frac{1}{\sqrt{s}}$
Ich glaube, dass c = 3 eine Konstante wäre die passen könnte, suche aber noch einen Beweis um eine evtl. etwas bessere Konstante zu finden.
Ich hatte dabei überlegt die folgende Ungleichung zu verwenden:
$\sum\limits_{k = 1}^n f(k) \leq \int\limits_{1}^{n + 1} f(x) dx$ für f monoton fallend, weiß aber nicht wie (und ob) ich dies auf Reihen übertragen kann.
Könnte mir jmd bei meinem Problem weiterhelfen?
Liebe Grüße,
PiJey |
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Stochastik und Statistik | |
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Guten Abend :)
Ich bin in einer englischen Literatur über folgenden Ausdruck gestoßen:
$\Theta_\mathbb{P}(n)$
wobei sich $\Theta_\mathbb{P}(n)$ auf einen Ausdruck der Form $\mathbb{P}_\lambda(|C| \geq a log(n)) = O(n^-\delta$) bezieht..
Ich vermute mal, dass dieser Ausdruck irgendetwas mit den Landau Symbolen zu tun hat, finde im Internet dazu aber keine formale Definition. Könnte mir jmd verraten was sich unter diesem Ausdruck verbirgt?
Liebe Grüße,
PiJey |
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Stochastik und Statistik | |
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Stochastik und Statistik | |
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Wunderschönen guten Morgen :)
Ich stehe momentan vor folgendem Problem:
Seien $p, n >= 1, X_n, X \in \mathcal{L}^p(P)$ Zufallsvariablen.
Zu zeigen ist:
$sup_{n \in \mathbb{N}} ||X_n||_p < \infty$ für ein $p > 1$ und $X_n \xrightarrow P X (n \xrightarrow \, \infty)$ dann folgt $X_n \xrightarrow L^1 X (n \xrightarrow \, \infty)$;
Wobei P-Konvergenz gerade stochastische Konvergenz meint und L-Konvergenz die Konvergenz im Mittel.
Mein Ansatz war bisher der Folgende:
$E[|X_n - X|] = E[|X_n - X|*\mathbf{1}_{\{ |X_n - X| > \epsilon \}} + E[|X_n - X| * \mathbf{1}_{\{|X_n - X| \leq \epsilon \}}]$
Ich weiß, dass der erste Ausdruck wegen der stochastischen Konvergenz gegen $\epsilon$ läuft, und da ich $\epsilon$ beliebig wählen kann würde für $\epsilon$ gegen Null zumindestens der erste Term gegen Null laufen. Bei dem zweiten Ausdruck habe ich wahnsinnig viel herum probiert und eine sehr lange Rechnung getätigt mit der ich zeigen kann dass dieser Kleiner / Gleich $3 \epsilon$ ist, allerdings ist diese Rechnung sehr hässlich, weswegen ich gehofft hatte, dass mir diesbezüglich jemand einen Tipp für eine etwas einfachere Argumentation geben könnte.
Liebe Grüße
PiJey
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Stochastik und Statistik | |
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Achso, dann ist das ja deutlich einfacher als ich dachte, Danke :)
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Stochastik und Statistik | |
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Wunderschönen guten Abend :)
ich versuche gerade Folgenes zu zeigen:
$X_n \xrightarrow {L^p} X \, (n \xrightarrow \, \infty )$ (d.h. Konvergenz im p-ten Mittel) $=> E[|X_n|^p] \xrightarrow \, E[|X|^p] (n \xrightarrow \, \infty)$
wobei $p, n >= 1$ und $X_n, X \in L^p(\omega)$ messbare Zufallsvariablen sind.
Ich habe bereits versucht $|E[|X_n|^p] - E[|X|^p]|$ über das Quetschlemma nach oben und unten abzuschätzen (was zumindestens für p = 1 einfach über die Rechenregeln des Erwartungswertes folgt, aber für p > 1 komme ich hier nicht weiter).
Dann hab ich versucht $E[|X|^p]$ über die Hölder Ungleichung abzuschätzen, aber auch da kriege ich die Konvergenz nur nach unten abgeschätzt.
Anschließend hatte ich die Idee zu argumentieren, dass aus Konvergenz im p-ten Mittel die Konvergenz in Verteilung folgt und eine äquivalente Aussage für die Konvergenz in Verteilung ist u.a. dass $E[f_n(x)] \xrightarrow \, E[f(x)] (n \xrightarrow \, \infty)$ zumindestens für stetige, beschränkte Funktionen...
Die 3 Ideen haben mich bisher nicht wirklich zum Ziel geführt, weswegen ich das ganze jetzt über die Majorisierte Konvergenz versuchen wollte, dafür würde mir nur noch eine integrierbare Majorante fehlen. Könnte mir da evtl. jemand weiterhelfen?
Wir haben übrigens Konvergenz im p-ten Mittel (u.a.) durch $E[|X_n - X|^p] \xrightarrow \, 0 (n \xrightarrow \, \infty)$ definiert.
Liebe Grüße,
PiJey |
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Numerik & Optimierung | |
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Vielen Dank für deine schnelle Rückmeldung!
Zur Konvexität:
Dass der Beweis doch so einfach ist hab ich nicht gedacht. Genau das war auch mein Ansatz, ganz stumpf über die Definition und einer Nulladdition zu argumentieren. War mir aber nicht sicher ob ich die Definition anwenden kann wenn ich nicht sichern kann dass das Element $a^T * x + b$ tatsächlich aus meinem Definitionsbereich von g ist, was ich für die Anwendung der Konvexität von g sichern muss, aber wenn a,x und b reelleertig sind dann wird ja auch das Produkt bzw die Summe reelleertig sein.
Zur strengen Konvexität:
Ich glaube dass die strenge Konvexität unabhängig von b ist da b ja im Prinzip nur eine Verschiebung ist. Und Gleichheit gilt nur für a = 0. Wenn ich also für die strenge Konvexität a = 0 ausschließe müsste die strenge Konvexität von f gegeben sein.
Liebe Grüße,
PiJey100 |
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Numerik & Optimierung | |
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Guten Abend :)
Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:
Sei $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ streng konvex, $a \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}$.
Für welche a und b ist dann
$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = g(a^T * x + b)$ konvex bzw. streng konvex, wobei $a^T$ das Transponierte von a meint.
Würde mich über Hilfe freuen.. ich wollte das eigtl ganz stumpf über die Definition machen, komme da aber auf kein zufriedenstellendes Ergebnis. Geht mir auch weniger um eine Lösungsfindung sondern mehr um die Lösung selber. Finde die Aufgabe teilweise echt schwierig, möchte aber gerne die Argumentation dahinter kennen.
Liebe Grüße,
PiJey100 |
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Stochastik und Statistik | |
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Okay ich glaube ich habs, danke |
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Stochastik und Statistik | |
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Guten Tag :)
Ich habe folgende Dichte gegeben:
$f: \mathbb{R} -> [0, \infty ), f(x) = a*x^{(-a-1})*1_{[1,\infty)}, a > 0$
Ich soll nun die Verteilung von einer Zufallsvariablen Y berechnen mit
$Y = (1/X)^a$, wobei X gerade die Dichte f(x) besitzt.
Ich habe es zum einen mit der Transformationsregel für Dichten, sowie ganz klassisch über die Verteilungsfunktion probiert, komme da aber nicht wirklich weiter.
Mein Ansatz bisher war der Folgende.. Sei $F_Y$ die Verteilungsfunktion von Y, $F_X$ die Verteilungsfunktion von X und $t \in \mathbb{R}$ beliebig, dann gilt:
$F_Y(t) = P(Y \leq t) = P((1/X)^a \leq t) = P(1/X \leq t^{(1/a)}) = P(1/t^{(1/a)}) \leq X) = 1 - P(X < 1/t^{(1/a)}) = 1 - F_X(t^{(1/a)})$
Mein Problem ist dass zum einen die letzte Gleichhung nicht zwingend gilt, da dafür auch Gleichheit gelten muss, und zum anderen ich zum berechnen der Verteilungsfunktion von X wahnsinnig viele Fallunterscheidungen machen muss.
Könnte mir jemand weiterhelfen, habe das Gefühl dass mein Ansatz suboptimal ist.
Liebe Grüße,
PiJey |
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Topologie | |
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Richtig, das war auch mein Problem als ich versucht habe eine Bijektion zwischen den beiden Mengen zu konstruieren.
Vielen lieben Dank für eure Hilfe!
Liebe Grüße
PiJey |
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Topologie | |
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Vielen Dank für eure Rückmeldungen traveller und StrgAltEntf.
Du hast absolut recht traveller, ich hab das in meiner Ausarbeitung genau so wie du interpretiert und gesagt, dass es eigentlich
$$H_{d,r}=\left\{h:h^z(d)\in D\right\}\subseteq R\enspace$$
heißen muss. Andere Literaturen bestätigen uns da auch.
So wie es aussieht habe ich die Aussage dann wohl falsch interpretiert, es muss nicht zwingend eine Bijektion zwischen D und $H_{d,r}$ geben. Die Argumentation scheint zu sein, dass die Mächtigkeit von $H_{d,r}$ kleiner (oder gleich) der Mächtigkeit von D ist, und da D abzählbar ist wird auch ${H_d,r}$ (höchstens) abzählbar sein.
Dann müsste es stimmen, oder?
Liebe Grüße
PiJey
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.] |
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Topologie | |
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Wunderschönen guten Morgen :)
Ich beschäftige mich momentan mit dem Banach-Parski Paradoxon und habe Probleme dabei eine Menge als abzählbar zu identifizieren. Es geht dabei um folgenden Beweis, welchen ich in einer Bachlorarbeit gefunden habe:
Mir ist dabei nicht klar, wieso die Menge $H_{d, z}$ abzählbar ist. Dort wird eine zugehörige Bijektion von der Menge D, welche abzählbar ist, angegeben, allerdings verstehe ich die Zuordnung nicht (Sprich der letzte Absatz). Kann mir jemand helfen und diese Bijektion explizit angeben? Ist es $d \rightarrow z$ oder was genau wird dort gemeint?
Hoffe, dass mir diesbezüglich jemand helfen kann.
Liebe Grüße,
PiJey |
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Topologie | |
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Stimmt, vielen Dank euch beiden, ich glaube ich habs :D
Grüße
PiJey |
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Topologie | |
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Wunderschönen guten Tag :)
Ich soll zeigen, dass die beiden Metriken 4
$d(x,y) := |x - y|$ und $p(x, y) := |x/(1 + |x|) - y/(1 + |y|)|$ jeweils die gleiche Topologie über |R induzieren.
Ich hab bereits gezeigt dass
$p(x, y) := |x/(1 + |x|) - y/(1 + |y|)| <= |x/1 - y/1| = |x - y| = d(x, y)$
ist. Allerdings kriege ich die Abschätzung $d(x, y) <= l * p(x, y)$ für ein l > 0 nicht hin.
Wir hatten übrigens in unserer Vorlesung leider noch nicht den Satz, dass zwei Topologien die gleiche Topologie induzieren genau dann wenn sie äquivalent zueiander sind. Bei der einen Richtung ist das kein Problem, das kann ich dann umschreiben, weiß aber nicht ob das bei der anderen Richtung ebenfalls so einfach umzuschreiben ist.
Ich hoffe, dass mir bei der anderen Richtung jemand helfen kann.
Grüße
PiJey |
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Geometrie | |
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Alles klar vielen Dank :) |
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Geometrie | |
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Hallo StrgAltEntf,
Zur Ähnlichkeit:
de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)
Sprich $X_1 und Y_1$ sind ähnlich, wenn es eine Ähnlichkeitsabbildung f gibt, so dass ich $X_1$ durch Verschiebung / Drehung / (zentrische) Streckung in $Y_1$ überführen kann.
Zur Disjunktheit:
Nein, sie müssen nicht zwingend disjunkt sein.
Grüße
PiJey |
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Geometrie | |
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Wunderschönen guten Morgen! :)
Ich wollte mal folgendes fragen:
Angenommen ich habe zwei beschränkte Mengen X, Y $\subset$ $\mathbb{R^n}$, wobei ich X und Y wie folgt aufteilen kann:
X = $X_1 \cup X_2$ und Y = $Y_1 \cup Y_2$, mit $X_1$ ist ähnlich zu $Y_1$ und $X_2$ ist ähnlich zu $Y_2$.
Kann ich unter diesen Voraussetzungen sagen, dass dann auch X und Y ähnlich zueindander sind, sprich es eine Ähnlichkeitsabbildung $f: X -> Y$ gibt?
Grüße
PiJey
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Geometrie | |
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Kann mir niemand helfen? Ich kann es wie gesagt auch noch einmal übersetzen wenn etwas nicht verständlich ist bzw. zusätzliche Definitionen angeben.
Komme da seit Wochen nicht weiter und habe keine anderen Ansprechpartner als euch :(
Grüße
PiJey |
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