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Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Math_user
Teilraumtopologie und Inklusionsabbildung  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-03 20:32
PrinzessinEinhorn
J

2020-08-03 18:46 - Math_user in Beitrag No. 8 schreibt:
ich scheitere noch an: $i_M^{-1}(U)=U$ ich komme auf $i_M^{-1}(U)=U \cap M$...

Damit hast du auch recht. Da war ich nicht aufmerksam. Tut mir leid.




Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Math_user
Teilraumtopologie und Inklusionsabbildung  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-03 17:55
PrinzessinEinhorn
J

Hallo,

du möchtest zeigen, dass $f$ eine stetige Abbildung ist, unter der Voraussetzung, dass $i_M\circ f$ stetig ist.

Eine Abbildung ist stetig, wenn Urbilder von offenen Mengen offen sind.

$f: Y\to M$.

Sei also $W\subseteq M$ offen. Da $M$ die (von $X$ induzierte ) Teilraumtopologie trägt ist $W=U\cap M$ für eine offene Menge $U\subseteq X$.

Nun ist $f^{-1}(W)=f^{-1}(U\cap M)\stackrel{!}{=}f^{-1}(U)\cap f^{-1}(M)$

[
Allgemein gilt die (wichtige) Gleichheit $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$. Dies gilt auch für die Vereinigung etc.

Der einfache Beweis sei dir überlassen.
Weitere Übungen:

Zeige für eine Funktion $f: X\to Y$ und $A,B\subseteq X$ und $U,V\subseteq Y$ folgende Mengengleichheiten (Edit: Gegebenenfalls unter geeigneten Voraussetzungen... :P):

$f(X\setminus A)=Y\setminus f(A)$

$f^{-1}(Y\setminus U)=X\setminus f^{-1}(U)$

$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$

$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$

$f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$

$f^{-1}(U\cup V)=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$.

Es reicht wenn du dir ein paar dieser Aussagen auswählst, und die Erkenntnis erlangst, dass die Beweise (a) leicht sind, und (b) eigentlich immer gleich ablaufen. Also wenn du eine dieser Aussagen verifizieren kannst, dann kannst du auch alle andere beweisen.

Die Beweise lassen sich nach der hier angesprochenen Methode führen:



]

Weiter im Text:

Wir haben also $f^{-1}(W)=f^{-1}(M)\cap f^{-1}(U)$.

Es ist $f^{-1}(M)=Y$ (Warum?)

Außerdem gilt $f=i_M\circ f$. Denn

$i_M(f(y))=f(y)$ für alle $y\in Y$. [f(y) ist ja nun ein Element aus $M$, und die Funktion $i_M$ fixiert alle Elemente aus $M$, wegen $i_M(\color{red}{x})=\color{red}{x}$. Deshalb gilt auch $i_M(\color{red}{f(y)})=\color{red}{f(y)}$]

Insgesamt erhalten wir also:

$f^{-1}(W)=Y\cap (i_M\circ f)^{-1}(U)=Y\cap f^{-1}(i_M^{-1}(U))$

[Hier wirde benutzt, dass ($i_M\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}\circ i_M^{-1}(U)$ gilt. Ist dir diese Gleichheit nicht klar, so ist der einfache Beweis dir überlassen.]

Es ist $i_M^{-1}(U)=U$. (Warum?)

Und $f^{-1}(U)$ eine offene Menge (in $Y$), weil wir ja den Zusammenhang mit $i_M$ haben, und wir wissen, dass $i_M\circ f$ eine stetige Abbildung ist. Deshalb sind Urbilder offener Mengen wieder offene Mengen. (Edit: Falsche Formulierung verbessert...)

Also $f^{-1}(W)=Y\cap f^{-1}(U)$ offen. Warum genau?


Der Beweis sieht jetzt sehr lang aus, weil ich sehr ausführlich war (und hoffentlich deshalb keinen Fehler gemacht habe).
Die im Text eingestreuten Übungsaufgaben sollten dir entweder klar sein, oder die Beweise leicht von der Hand gehen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: X3nion
Unklarheit bei Beweis "Jeder Vektorraum besitzt eine Basis"  
Beitrag No.17 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-17 00:59
PrinzessinEinhorn
 


Bzw. wann werden unendlich dimensionale Vektorräume betrachtet, in Lineare Algebra II?

Unendlichdimensionale Vektorräume werden in vielen Vorlesungen zur linearen Algebra direkt abgehandelt, man unterscheidet also nicht explizit zwischen der Theorie von endlichdimensionalen und unendlichdimensionalen Vektorräumen, weil es im Grunde auch einfach exakt das gleiche ist. Hier und da hat man eben Aussagen die nicht selbstverständlich sind, wie eben die Existenz einer Basis bei unendlichdimensionalen Vektorräumen.

Ähnlich wie man in der Analysis viele Aussagen direkt auch allgemeiner über den Körper der komplexen Zahlen zeigt und nicht nur über $\mathbb{R}$.

Prof. Beutelspacher beschränkt sich in seinem Buch auf endlichdimensionale Vektorräume. Er begründet das auch, und es liegt im Grunde daran, dass die entwickelte Theorie eben nicht wirklich davon abhängt, bzw. sich etwas ändert wenn man eben einen unendlichdimensionalen Vektorraum hat.
Das Buch behandelt eigentlich auch die Themen der linearen Algebra I und II, auch wenn manche Themen nicht drankommen.

Unendlichdimensionale (topologische) Vektorräume werden genauer in der Funktionalanalysis behandelt, aber damit kenne ich mich nicht aus.

Jedenfalls nehmen unendlichdimensionale Vektorräume in der linearen Algebra eigentlich keinen speziellen Platz ein.

Die anderen Frage habe ich noch nicht gelesen, weil ich gerade zu müde bin.

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: X3nion
Unklarheit bei Beweis "Jeder Vektorraum besitzt eine Basis"  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-16 23:56
PrinzessinEinhorn
 

Ich antworte mal trotzdem hier:

2020-07-16 21:50 - X3nion im Themenstart schreibt:

Frage 1) Muss man im Falle, dass
$A_{j(1)} \subset A_{j(2)}$ und $A_{j(2)} \subset A_{j(1)}$
gilt, beide Fälle abklappern?

Ich glaube ich verstehe die Frage nicht.
Beide Fälle gleichzeitig (also $A_{j(1)}\subset A_{j(2)}$ und $A_{j(2)}\subset A_{j(1)}$) treten ja nicht ein. Es gilt immer eine dieser Mengeninklusionen.

[Edit: Ich hatte diese Frage ja auch eigentlich schon in Beitrag No. 1 abgehandelt, also vielleicht guckst du da nochmal.]


Frage 2)

Wieso ist der Induktionsschritt
$A_{j(i)}\subset A_{k(p)}$ für alle $1\leq i\leq p+1$
und nicht
$A_{j(i)}\subset A_{k(p+1)}$ für alle $1\leq i\leq p+1$ ?

Ich dachte, im Induktionsschritt wird aus p => p+1, also aus jedem p ein p+1? Wieso ist das hier dann nicht so?

Eigentlich ist das ja auch so.
Man definiert das $k(p+1)$ entsprechend.
In einem Fall gilt $k(p+1)=k(p)$ (es ist also egal, ob wir $k(p+1)$ nun $k(p)$ nennen).

Im anderen Fall wird $k(p+1)=j(p+1)$ gesetzt.

In meinem ersten Beitrag bin ich eigentlich darauf eingegangen, vielleicht sieht du da nochmal nach.


2020-07-15 21:14 - X3nion in Beitrag No. 14 schreibt:

Auch wenn es kein endliches Erzeugendensystem gibt, ist jeder Vektor Linearkombination von endlich vielen Erzeugenden.

Wie meintest du deinen Satz oben, magst du den noch etwas konkretisieren?

Das ist mehr oder weniger nach Definition so.
Auch für unendlich dimensionale Vektorräume besteht eine Linearkombination immer nur aus endlich vielen Summanden.

Es ist plausibel das so zu tun, weil eine unendliche Summe ja in der Regel nicht mehr definiert ist. Sowas muss ja nicht mehr konvergieren, und selbst wenn Konvergenz vorliegt, wird ja ein Grenzwertprozess beschrieben.
Sinnvoll kann man es also nur für endliche Summen hinschreiben, und fasst daher den Begriff der Linearkombination auch für unendlich dimensionale Vektorräume so auf.

Im Buch von Beutelspacher gibt es das Projekt "Der unendlichdimensionale Vektorraum $V_\infty$" am Ende von Kapitl 3, wo man eingeladen ist, das ganze nochmal für sich genauer zu untersuchen.

Also wie gesagt, dass man nur endliche Linearkombinationen zulässt, ist nach Definition so.


Aber trotzdem ist das maximale Element dann eine unendliche Teilmenge und keine endliche Teilmenge? Weil sonst hätten wir ja keinen unendlich dimensionalen Vektorraum?

Ich weiß gar nicht ob man diese Frage so genau beantworten kann.

Zum einen weiß niemand wie dieses maximale Element eigentlich aussieht.
Zum anderen wird die Aussage ja sehr allgemein bewiesen "Jeder Vektorraum hat eine Basis".
Also betrachtet man neben unendlichdimensionalen Vektorräumen auch endlichdimensionale, wobei man für die endlichdimensionalen Vektorräume das Lemma von Zorn ja eigentlich nicht benötigt, und dort eine Basis ohne größere Probleme angeben kann.

Für unendlichdimensionale Vektorräume wird die Basis aber natürlich unendlich viele Elemente enthalten.

Die Dimension eines Vektorraums ist ja über die Kardinalität der (oder besser 'einer') Basis gegeben.

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: X3nion
Unklarheit bei Beweis "Jeder Vektorraum besitzt eine Basis"  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-14 23:19
PrinzessinEinhorn
 

@Beutelspacher

Ich werde mir aber auf jeden Fall das Buch von Beutelsbacher zu Gemüte führen, wenn ihr beide der Ansicht seit, dass dieses einen "sanfteren" Einstieg in die schöne Welt der linearen Algebra gewährt!

Das Buch von Beutelspacher gewährt grundsätzlich einen sanften Einstieg in die Mathematik, da es relativ Locker geschrieben ist, ohne dabei auf mathematische strenge zu verzichten.

Deshalb sind die Beweise sehr klar, und leicht verständlich. [Edit: Was übrigens nicht heißt, dass man den Beutelspacher lesen kann, und dann erwarten darf, dass man alles sehr viel besser versteht, als vorher. Es ist ein Lehrbuch und ebenso wie mit dem Skript, oder anderen Büchern, muss man damit arbeiten und Zeit investieren. Prof. Beutelspacher macht es den Studierende aber verhältnismäßig leicht.]

Allerdings enthält das Buch auch in der 8. Auflage (die liegt mir vor) relativ viele Tippfehler (ist vielleicht übertrieben), die dem aufmerksamen Leser aber sofort auffallen und nicht weiter stören.

Der größte Kritikpunkt an dem Buch sind meiner Meinung nach die Übungsaufgaben, die zu einem Großteil recht langweilig sind, und daher nicht gerade einladen sich mit ihnen zu beschäftigen.
Von 30 Aufgaben sind dann gefühlt nur 5 Interessant, und welche das sind, ist dann auch nicht unbedingt klar.
Wenn dann Übungsaufgaben auftauchen, die lauten "Schlage den Beweis im Buch von Halmos nach" dann wird Prof. Beutelspacher an der Stelle seinem eigenen Anspruch auch irgendwie nicht gerecht...
Übrigens ist das Buch von Halmos wahrscheinlich die ehere Anlaufstelle, wenn du wirklich das Lemma von Zorn besser verstehen möchtest, aber ich kenne dieses Buch nicht.

Anstelle "interessanter Übungsaufgaben" gibt es aber recht Interessante sog. "Projekte", die dann aber auch mehr Arbeit erfordern, und zu denen es im Buch keine Lösungen gibt.

Allerdings finde ich, dass man ein Lehrbuch eigentlich immer als Übungsbuch verstehen sollte.
Jeder Beweis eine Übungsaufgabe (und wenn die Übung "nur" daraus besteht sich den Beweis zu erarbeiten), für die man nun praktischer Weise eine Komplettlösung vorliegen hat, um sich selber zu kontrollieren.

Studiert man den Text sorgfältig, also überlegt sich die Beweise erst kurz selber, guckt dann ob man richtig liegt, oder spickt, wenn man nicht mehr weiter weiß, lernt man eine ganze Menge, und dann sind die Übungsaufgaben auch nicht mehr notwendig, weil dann teilweise als Übungsaufgabe verlangt wird bestimmte Sätze nochmal zu beweisen, was man dann ja schon erledigt hat. Man hat ja in der Regel auch mit den eigenen genug zu tun.


Sind die eigenen Übungsaufgaben jedoch zu schwer, kann man wiederum die einfacheren Aufgaben aus dem Buch lösen. Hauptsache man beschäftigt sich mit Mathematik.

Die eigentliche Übung sollte das verstehen und lesen der Beweise sein, damit man dies lernt. Also die Grundlegende Methode einen Beweis zuführen.

Ich würde sagen 95% der Beweise in diesem Buch (oder eben in einer Vorlesung zur linearen Algebra) sind Paradebeispiele für die hier beschriebene Methode.


Genau deshalb eignet sich das Buch auch so sehr für den Einstieg. Denn diese Methode muss man verstanden haben, wenn man Mathematik studieren möchte. Und hat man den Beutelspacher sorgfältig studiert, dann sollte man das dann auch drauf haben.

Dabei ist zu empfehlen, dass du einfach ganz vorne anfängst. Wirklich jede Aussage probierst eigenständig zu beweisen, ohne nachzusehen. Die Beweise sind dementsprechend leicht, dass du das schaffen kannst. Und wenn nicht, dann studiere heute den Beweis, und schaue morgen, ob du es diesmal ohne Hilfe schaffst.

Es ist auch hilfreich, wenn du das Buch, bzw. die Beweise zusammenfasst. Also die Schritte notierst, welche du eben nachgucken musstest, oder wo du nicht weiter gekommen bist.

Beweise die du auf Anhieb schaffst, kannst du etwa mit "trivial" zusammenfassen. So nach dem Motto "Das habe ich einmal geschafft, das schaffe ich auch ein zweites mal".

Bei anderen Beweisen eben die wichtigsten Schritte, ohne dass du zu ausführlich wirst. Wie gesagt dann später einfach nochmal probieren. Schaffst du es wieder nicht, nutze erst mal deine knappe Notizen, ob du es damit hinbekommst. Wenn nicht, dann kannst du die Notizen erweitern. So prägen sich die wichtigen Ideen/Beweisschritte dann auch ein.  



Auf Frage 5 bist du nicht eingegangen

Indirekt wurde die Frage schon beantwortet.

Es gilt $\rangle B\langle =V$, da $B$ eine Basis (bzw. Erzeugendensystem) ist.
$B$ ist Basis, da Element aus $\mathcal{U}$ (also linear unabhängige Teilmenge) und maximal. Die Maximalität wurde mit dem Lemma von Zorn gezeigt.


Hmm aber trotzdem muss man sich ja für ein k(2) entscheiden?

Nein, das $k(2)$ ist nicht eindeutig. Je nach Situation wird es anders gewählt. Wir unterscheide ja die entsprechenden Fälle.
Wichtig ist, dass wir in jedem Fall ein entsprechendes $k(2)$ angeben können.


Aber man folgert ja, dass $A_{j(i)}\subset A_{k(p)}$ für alle $1\leq i\leq p+1$ gilt.

Das ist für den Induktionsschritt zu zeigen. Dass die Aussage für $1\leq i\leq p$ gilt, wissen wir nach Induktionsvoraussetzung.

Die Aufgabe ist nun das $k(p+1)$ richtig anzugeben, um den Induktionsschritt zu beenden.
Versuche das nochmal nachzuvollziehen.


Übrigens ist das Verständnis dieses Beweises nicht unbedingt notwendig.
Wenn du Probleme damit hast, was verständlich ist, dann ist das nicht weiter schlimm. Man muss nicht alles sofort verstehen. Klausurrelevant ist dieser Beweis auf gar keinen Fall.

Funktionen
Beruf 
Thema eröffnet von: akd
Unterstützung in Auflösung einer Gleichung nach Variable ..  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-14 21:46
PrinzessinEinhorn
 

Hallo,

die angegebene Gleichung lässt sich nicht algebraisch durch Termumformungen nach $v_a$ auflösen.

Vermutlich ist es am einfachsten ein numerisches Näherungsverfahren anzuwenden.
Sind die anderen Größen denn bekannt?

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: X3nion
Unklarheit bei Beweis "Jeder Vektorraum besitzt eine Basis"  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-14 08:13
PrinzessinEinhorn
 

In dem Buch von Beutelspacher wird allerdings diese Aussage nicht bewiesen, bzw. generell nur endlich dimensionale Vektorräume betrachtet, was ja auch nicht verkehrt ist.

Es ist ja schon so wie Beutelspacher schreibt. Sinngemäß "Die Details gehen an den meisten Studenten vorbei".

Um einen mathematischen Text zu studieren, finde ich das Buch von Beutelspacher auch als einstieg sehr geeignet.

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: X3nion
Minimalität und Basiseigenschaft  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-14 02:23
PrinzessinEinhorn
J

Hallo,


Wieso ist $S\setminus\{b\}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von $V$?

Das liegt daran, dass $S$ nicht(!) minimal ist.
Also gibt es (mindestens) ein Element, das wir hier $b$ nennen, sodass $S\setminus\{b\}$ immer noch ein Erzeugendensystem bleibt.


Und wieso ist $S$ linear unabhängig?

Es wird die Implikation "$\Rightarrow$" gezeigt. Mittels Widerspruchsbeweis.

"Sei also $S$ eine Basis. Angenommen $S$ ist kein minimales Erzeugendensystem, dann ..."

Da $S$ eine Basis ist, ist $S$ linear unabhängig.

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: X3nion
Unklarheit bei Beweis "Jeder Vektorraum besitzt eine Basis"  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-14 02:16
PrinzessinEinhorn
 

Hallo,


Frage 1) Für was benötigt man $A_i\subset A$ ?

Du möchtest zeigen, dass $A$ eine obere Schranke von $\{A_i\}_{i\in I}$ ist.
Dafür muss dies gelten.


Frage 2) Was passiert, wenn $A_{j(1)}\subset a_{j(2)}$ und $A_{j(2)}\subset a_{j(1)}$ gelten, kann man dann $k_2$ beliebig wählen?

Du meinst hier jeweils ein großes $A$, sowie $k(2)$?

Normalerweise würde man dieses wohl mit "o.B.d.A gelte $A_{j(1)}\subset A_{j(2)}$" abhandeln.

Wir wissen, dass einer der beiden genannten Fälle eintritt. Hier könnte man nun zwei Fälle unterscheiden, wenn man wirklich möchte.
Der Beweis sollte aber in beiden Fällen identisch ablaufen, weshalb man sich auch einfach auf einen beschränken kann (also o.B.d.A gilt einer der Fälle).

In dem Beweis macht man es dann noch genauer.

Beliebig gewählt ist $k(2)$ nicht. Man wählt es ja jeweils so, dass die entsprechende Inklusion gilt.


Frage 3) Müsste es nicht korrekt "Es folgt $A_{j(i)}\subset A_{k(p+1)}$" lauten?

Jein.
Wie wurde unser $k(p+1)$ denn definiert?


Gilt auch $A_{j(p+1)}\subset A_{k(p)}$, so setze $k(p+1):=k(p)$, sonst $k(p+1):=j(p+1)$. Es folgt $A_{j(i)}\subset A_{k(p)}$ für $1\le i\le p+1$.

(1) Wenn $A_{j(p+1)}\subseteq A_{k(p)}$ dann ist $k(p+1)=k(p)$.

(2) Gilt (1) nicht, dann setzen wir $k(p+1)=j(p+1)$

Der erste Fall ist klar.
Im zweiten Fall sind wir, wenn $A_{j(p+1)}\subset A_{k(p)}$ nicht gilt. Wegen


gelte also stets $A_i\subset A_j$ oder $A_j\subset A_i$.

und weil nun ja $A_{j(p+1)}\subset A_{k(p)}$ NICHT gilt, muss

$A_{k(p)}\subset A_{j(p+1)}=A_{k(p+1)}$ gelten.

$k(p+1)$ steckt also im Grunde schon in $k(p)$ drin.


Frage 4) Die Induktion wurde ja hier nach $p$ gemacht. Gilt $p+1\leq n$?

Im allgemeinen wohl nicht, da keine Beziehung zwischen $p$ und $n$ hergestellt wurde.
Die Induktionsvoraussetzung gilt ja für ein festes, aber beliebiges $p$. Im Induktionsschritt zeigt man dann, dass wenn die Aussage für $p$ gilt, dann gilt sie auch für $p+1$.


Und wieso folgt aus dem Induktionsschritt, dass ein Index k(n)\in\{j(1),...,j(n)\} existiert mit $a_i\subset A_{k(n)}$ für alle $1\leq i\leq n$?

Es wurde gezeigt, dass es einen solchen Index gibt, sodass immer $A_{j(i)}\subset A_{k(n)}$ gilt. Also liegen die $a_i$ ebenfalls alle in $A_{k(n)}$

Denn es gilt ja $A_{j(1)}\subset A_{k(n)}$, $A_{j(2)}\subset A_{k(n)}$ usw. Also $a_1, a_2,\dotso, a_n\in A_{k(n)}$. Es war ja $a_i\in A_{j(i)}$.


Frage 5) Ist der Beweis so aufgezogen, dass man sich einen beliebige linear unabhängige Teilmenge $\mathcal{U}$ rauspickt, und die Bedingungen des Zorn'schen Lemmas prüft und dabei immer herauskommt, dass $V$ eine Basis besitzt, nämlich gerade $B$?

$\mathcal{U}$ ist die Menge aller linear unabhängigen Teilmengen von $V$.

Mit dem Lemma von Zorn wird gezeigt, dass diese Menge ein maximales Element hat.
Dieses maximale Element ist selbst ein Element aus $\mathcal{U}$. Also eine linear unabhängige Menge. Zusammen mit der maximalität erhält man, dass dies eine Basis ist.

Die "Konstruktion" (Beweise mit dem Auswahlaxiom/Zornschen Lemma, sind ja nicht konstruktiv) hängt also nicht von einer beliebigen Wahl von linear unabhängigen Mengen ab, sondern man betrachtet alle linear unabhängigen Mengen. Wie gesagt ist $\mathcal{U}$ ja gerade die Menge aller linear unabhängigen Teilmengen.


Ich hoffe ich konnte helfen, bzw. habe jetzt nichts übersehen und etwas falsches gesagt.

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Häufungspunkt einer Folge  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-09
PrinzessinEinhorn
J

Hallo,


$\forall \varepsilon >0\exists n\in \mathbb{N} :d(x_n,A)<\varepsilon$

Was genau würde dann bei dieser Definition fehlen?

Nun, was sagt diese Definition denn anschaulich?
Kannst du mit dieser Definition eine Folge angeben, die einen 'Häufungspunkt' hat, der offensichtlich keiner ist?

Also was muss nach dieser Definition gelten, damit ein Punkt ein Häufungspunkt ist?


Bei uns in der Vorlesung wurde der Begriff vom Häufungspunkt $A$ einer Folge folgendermassen definiert:

$\forall \varepsilon >0\forall N\in \mathbb{N} \exists n\in \mathbb{N} :d(x_n,A)<\varepsilon$

Hmm, schau nochmal in die Vorlesung, wie es definiert wurde.
Diese Definition macht nämlich keinen Sinn.

Was ist denn mit dem $N$? Dieses wird in der Definition eingeführt, aber nie weiter benutzt. Das ist immer ein schlechtes Zeichen.



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MePep
Gruppen und Quotientengruppen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-02
PrinzessinEinhorn
J

2020-07-02 18:03 - MePep in Beitrag No. 2 schreibt:
$\mathbb{Z}_{11}^{*}$ die Einheitengruppe [...] ist aber unabhängig betrachtet, eine Gruppe und jede Gruppe ist eine Untergruppe von sich selbst oder?

Ja. Trivialerweise stimmt das.


Kann ich dann also aus dem Satz von Lagrange folgern, dass alle Elemente aus $\mathbb{Z}_{11}^{*}$ eine Ordnung haben welche die Gruppenordnung, also 10, teilt?

Ja, das ist korrekt.

Für die Ordnungen der Elemente kommt also nur 1,2,5 und 10 in Frage.

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MePep
Gruppen und Quotientengruppen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-02
PrinzessinEinhorn
J

Hallo,


1.) Mittlerweile bin ich sehr verwirrt was denn der Unterschied zwischen den Schreibweisen $m\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}_m$ und $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ ist.

So wie du es hinschreibst sind es erstmal "nur" Mengen.
Gruppen, Ringe, oder Körper benötigen auch immer eine Struktur, also eben die entsprechenden Operationen (etwa $+$ und $\cdot$)

In der Regel lässt man dies jedoch Weg. Anstelle eine Gruppe $(G,\circ)$ schreibt man oft einfach eine Gruppe $G$, vor allem dann wenn klar ist, was die entsprechende Gruppenoperation sein soll.

So ist zum Beispiel $\mathbb{Z}$ eine Gruppe bzgl. $+$, aber nicht bzgl. $\cdot$ (Warum?)

Wie du richtig sagst, ist $m\mathbb{Z}$ die Menge aller m-vielfachen, oder anders ausgedrückt aller durch $m$ teilbaren Zahlen.

Also zum Beispiel $2\mathbb{Z}=\{0,\pm 2,\pm 4,\pm 6,\dotso\}$
oder allgemein $m\mathbb{Z}=\{mz|\, z\in\mathbb{Z}\}$

Einen wirklichen Unterschied zwischen $\mathbb{Z}_m$ und $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ gibt es nicht. Oft werden diese Bezeichnungen synonym verwendet.

Beides meint also (zumindest in einer einführenden Vorlesung) das gleiche. Also die Gruppe der ganzen Zahlen modulo $m$.

Diese Gruppe ist dann endlich und hat $m$ Elemente.
Die Elemente in dieser Gruppe sind nun nunmehr Äquivalenzklassen, oder genauer Restklassen.

In der Mathematik gibt es aber auch die p-adischen Zahlen.
Dann bedeutet $\mathbb{Z}_p$ etwas (ganz) anderes.


Für eine Primzahl $p$ ist $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ein Körper.
In der Regel ist $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ jedoch ein Ring.


Im Grunde hast du also mit deinen Ausführungen recht. Man kann $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ sowohl als Gruppe, Ring, oder (wenn wie gesagt $m$ Prim ist) Körper betrachten. Aus dem Kontext wird eigentlich immer klar sein, was denn eigentlich gemeint ist.

Zum Satz von Lagrange:

Du musst hier nun aufpassen.
Bezüglich welcher Operation ist denn $\mathbb{Z}_{11}$ eine Gruppe?

Das ist nur für $+$ so. Nicht aber für $\cdot$.


 da es sich um einen Körper handelt und jedes Element außer der 0 ein multiplikatives Inverses besitzt.

Genau. Im Klartext: $\mathbb{Z}_{11}$ ist bezüglich $\cdot$ eben keine Gruppe.
Denn es gibt ja kein multiplikatives Inverses der Null.
Also kein Element aus $\mathbb{Z}_m$ sodass $0\cdot x=1$.

In einer Gruppe muss aber jedes Element bezüglich der Gruppenoperation invertierbar sein.

Die Einheitengruppe bezieht sich auf die Operation $\cdot$. Also gemeint ist hier $(\mathbb{Z}_{11}^\ast,\cdot)$ ist eine Gruppe.
Das ist also eine ganz andere Operation, und damit keine Untergruppe von $(\mathbb{Z}_{11},+)$

Damit ist dann der Satz von Lagrange auf diese spezielle Sitation nicht anwendbar.


Wie sind Quotientengruppen überhaupt zu verstehen?

Woher der Name genau kommt, kann ich dir auch nicht sagen.

Wie es aussieht habt ihr auch noch keine sog. Normalteiler eingeführt.
Das sind Untergruppen mit einer ganz speziellen Eigenschaft.
Ihr betrachtet hier nur kommutative Gruppen. In kommutativen Gruppen sind jedoch alle Untergruppen automatisch solche Normalteiler, und eine Quotientengruppe ist normalerweise auch nur für solche Normalteiler definiert.

Es gibt die sog. Isomorphiesätze.
Diese beschreiben eine Art "Kürzungseigenschaften", wie man es eben von Brüchen (Quotienten) kennt.

Man kann dann also mit solchen Quotientengruppen rechnen wie mit Brüchen. Jedenfalls lässt sich die Rechenregel "Man dividiert zwei Brüche, indem man mit dem Kehrwert multipliziert" in einem dieser Isomorphiesätze wiederfinden.

Ansonsten spricht man bei Äquivalenzrelationen auch oft davon, dass man etwas "rausteilt", oder allein die Notation mit dem / erinnert an Quotienten.

Grundsätzlich ist eine Quotientengruppe erstmal nur eine Gruppe, deren Elemente nun Nebenklassen sind.


Ps: Irgendwie schaffe ich es nicht in Unterforen von Unterforen zu posten

Ich glaube nur Moderatoren und Senioren können deine Frage entsprechend enger einsortieren, aber ich bin mir nicht sicher.

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Henrik1998
Stetigkeit der Umkehrfunktion  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-14
PrinzessinEinhorn
 

Hallo,

eine Funktion $f: X\to Y$ ist genau dann invertierbar, wenn $f$ bijektiv ist.

Im ersten Schritt müsstest du also die Bijektivität von $f$ nachweisen.

Wenn du ein potentielles Inverses $f^{-1}$ hättest, dann könntest du nachweisen, dass es wirklich ein Inverses ist, indem du $f(f^{-1}(x'))=x'$ bzw. $f^{-1}(f(x))=x$ nachweist, wie von dir vorgeschlagen.
Natürlich muss das für alle entsprechenden x' und x gelten.

Dabei ist es vermutlich ausreichend, wenn du die Injektivität und Surjektivität (die du ja für Bijektivität benötigst) dir anderweitig überlegst, also nicht strikt nach Definition.

Das Inverse musst du dann gar nicht genau angeben. Sieh nochmal ins Skript nach, was für Aussagen ihr über stetige Funktionen bewiesen habt.

Einer könnte so beginnen: Stetige streng monotone Funktionen ...



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandin94
Ordnung (Element/Gruppe)  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-11
PrinzessinEinhorn
 

Hallo,

wir haben eine endliche Gruppe der Ordnung $n$ und ein $b\in\mathbb{N}$ mit $(n,b)=1$ (also der ggT von n und b ist 1, bzw. n und b sind teilerfremd).

Wir sollen alle Lösungen der Gleichung $x^b=e$ bestimmen.

Nun gilt:

1. $\operatorname{ord}(x)\mid b$. Warum?

2. $\operatorname{ord}(x)\mid n$. Warum?

3. $\operatorname{ord}(x)\mid (n,b)=1$. Warum?

Wie viele Lösungen hat die Gleichung?

Mache dir eventuell auch einmal ein Beispiel.

Etwa $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ (was ist die Gruppenoperation?), und rechne damit etwas rum.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Funktionen und Schaubilder
Ausbildung 
Thema eröffnet von: Joel_1930
Lineare Gleichungen/Funktionen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-28
PrinzessinEinhorn
 

Hallo,


Für a) müsste ich überprüfen, für welche a die Steigung gleich ist.

Das ist korrekt.
Welcher Faktor in der Darstellung gibt denn die jeweilige Steigung an?

Dies musst du nur gleichsetzen.



Für b) Muss die Steigung der einen gerade -1/m sein, wenn die andere m ist.

Ebenfalls korrekt.
Wenn du die Steigungen richtig identifizierst, dann sollte auch diese Aufgabe kein Problem sein.

Ich verstehe übrigens nicht so recht, wieso man hier auf den Taschenrechner verweist.
Wie man diese Aufgabe mit dem Taschenrechner löst, weiß ich leider nicht, da ich den Taschenrechner nicht kenne, bzw. mich generell mit GTR nicht auskenne.

Die Aufgabe sollte aber auch keinen Taschenrechner brauchen.
Es könnte sein, dass die Aufgabe so gestellt ist, um sich mehr mit dem Taschenrechner vertraut zu machen.
Wie gesagt kann ich dabei nicht helfen.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: max20001403
Untergruppen von Restklassen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-24
PrinzessinEinhorn
 

Hallo,

$\mathbb{Z}_3$ (also $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$), ist keine Untergruppe von $\mathbb{Z}_2$.

Das kann alleine aus Kardinalitätsgründen nicht der Fall sein.

$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ hat drei Elemente.
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ hat zwei Elemente.

Nach dem Satz von Lagrange teilt die Ordnung einer Untergruppe die Gruppenordnung.
Für die Untergruppen von $\mathbb{Z}_2$ kommen also nur die trivialen Untergruppen (die triviale Gruppe, und die Gruppe selbst) in Frage.



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Bücher & Links
  
Thema eröffnet von: stpolster
Kostenlose Matheangebote im Netz  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-22
PrinzessinEinhorn
 

Ich gucke nicht oft rein, aber die Aufgaben vom Monoid finde ich für Schüler ganz nett.



Wobei in der ersten Aufgabe vom aktuellen Mathe-Mittwoch wohl ein Fehler sein sollte.

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mathfox123
Heuser Analysis I Kapitel 7 A14  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-21
PrinzessinEinhorn
 


Ist diese Seitenzahl nicht ein bisschen hoch für das 7. Kapitel?

Hast du schon mal im Heuser gelesen? :D

Das Kapitel 7 (Anwendungen), bzw. VII umfasst bei mir die Seiten 291 - 347.

Edit: Achso, jetzt verstehe ich was du meinst... Hmm, vermutlich hast du recht, dass eigentlich "Rekursive Definitionen und induktive Beweise. Kombinatorik" gemeint ist. Eigentlich klar...



Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mathfox123
Heuser Analysis I Kapitel 7 A14  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-21
PrinzessinEinhorn
 

Hallo,

geht es um die Aufgabe:


Die Funktion $g(t):=t^2\sin(1/t)$ für $t\neq 0$ und $:=0$ für $t=0$ ist im Nullpunkt stetig, jedoch nicht differenzierbar.

[Ich habe die 17. Auflage vorliegen. Seite 341.]

Dann müsstest du zeigen, dass diese Funktion im Nullpunkt stetig ist, aber dort nicht differenzierbar.

Es ist in der Mathematik üblich, dass Aufgaben so formuliert sind, als wären Dinge bereits bekannt.
In der Regel wird aber ein formaler Beweis gefordert.
So ist es ja auch im Skript, oder in dem Buch. Erst folgt eine konkrete Aussage, und dann wird bewiesen, dass dies stimmt.

Man kann ja erstmal alles behaupten, aber wirklich gültig wird es erst mit dem Beweis.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Theoretische Informatik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: jwagner
Primzahlen Beweis  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-23
PrinzessinEinhorn
J

Habt ihr den Satz den zur Verfügung?
Damit ist die Aussage nämlich ebenfalls völlig trivial.
 

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