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Ableitungen
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Ableitung der Exponentialfunktion  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-11
Schneepirat
 

Hallo ihr beiden

Ganz herzlichen Dank für eure raschen und hilfreichen Antworten!
Genau diese Begrifflichkeiten zur gleichmässigen Konvergenz und den Satz, den Triceratops erwähnt, helfen mir, diesen Beweis besser einordnen zu können. Mit dem Lehramtsstudium habe ich oft das Gefühl, nur knapp fachlich überhöht zu sein. Viele Begriffe hört man im Studium einmal, kann sie dann aber im Kontext der Schulmathematik nicht anwenden. Dank diesem Forum und euren Antworten konnte ich bereits sehr viel dazu lernen!

Sehr gut finde ich den didaktischen Vorschlag von Vercassivelaunos. Da ich die Ableitung der Umkehrfunktion bereits anschliessend an den Beweis der Kettenregel gezeigt hatte, können wir diesen Satz nun verwenden. Der angegebene Beweis für die Ableitung des Logarithmus über den Differenzialquotienten werde ich zuerst zeigen und anschliessend mit dem Satz über die Umkehrfunktion die Ableitung der Exponentialfunktion. Sehr schön.

Beste Grüsse
Schneepirat

Ableitungen
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Ableitung der Exponentialfunktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-10
Schneepirat
 

Hallo zusammen

Einem Buch (Mathematik einfach verständlich, A. Wetzel, S. 214) entnehme ich folgenden Beweis:


Ich weiss nicht recht, ob da mit dem Limes, den man durch die Ableitung einfach "mitschleppt" alles mit rechten Dingen zu und her geht. Kurz gesagt: Ist dieser Beweis für Schüler brauchbar, oder sollte man besser den Beweis mit Differenzialquotienten präsentieren?

Vielen Dank schon mal für eure Einschätzungen.

Gruss
Pirat

Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Knacknuss Kreiswinkelsätze, Pythagoras  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-06
Schneepirat
 

Vielen Dank für die tollen Hinweise. Echt Klasse, wie du das so schnell gefunden hast!




Für den Winkel Epsilon (AEC) erhalte ich den Ausdruck 123°-Gamma. Über Nebenwinkel und Innenwinkelsumme sieht man, dass der Winkel Delta bei C (123°-Gamma)/2 ist. Winkel Beta ist halb so gross, also (123°-Gamma)/4.

Dein zweiter Tipp führt zu Beta=90°-Gamma über die Innenwinkelsumme in ABD.

Nun kann man beide Ausdrücke für Beta gleichsetzen:

(123°-Gamma)/4 = 90°-Gamma

Man erhält Gamma = 79°, die korrekte Lösung.

Wow, das war echt schwer! Ohne deine Unterstützung hätte ich das nicht geschafft. Herzlichen Dank.

LG
Schneepirat

Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Knacknuss Kreiswinkelsätze, Pythagoras  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-06
Schneepirat
 

Danke schon mal für den Tipp. Ich habe damit einen neuen Winkel (rot) gefunden und weiss, dass bei Punkt A ein rechter Winkel ist.



Und dann?!?

LG Schneepirat

Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Knacknuss Kreiswinkelsätze, Pythagoras  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-06
Schneepirat
 

Vielen Dank für die Ergänzung! Interessant, dass es auch "allgemein" funktioniert!

Wenn wir schon dabei sind... Folgendes Problem kann ich ebenfalls (noch) nicht lösen:



Folgendes habe ich bereits gefunden:



Bin dankbar um weitere Tipps!

LG
Schneepirat

Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Knacknuss Kreiswinkelsätze, Pythagoras  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-05
Schneepirat
 

Lieber Diophant

Herzlichen Dank für die schnelle Antwort! Du rettest gerade meine Nachtruhe 😄

Ich habe das ganze noch mit Geogebra gezeichnet.


Dein Tipp hilft zum Winkel Beta=30°. Dann weiss man wegen dem Zentriwinkelsatz, dass Gamma=60° ist. Damit ist x eine Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge 6 cm.

Die Aufgabe stammt aus einem alten, aber grossartigen Büchlein "Geometrische Denkaufgaben" von P. Eigenmann.
www.zvab.com/buch-suchen/titel/geometrische-denkaufgaben/autor/eigenmann/

Beste Grüsse

Schneepirat

Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Knacknuss Kreiswinkelsätze, Pythagoras  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-05
Schneepirat
 

Hallo zusammen

Folgendes Problem geht mir nicht aus dem Kopf. Es handelt sich um eine Aufgabe für Schüler der 8. Klasse. Kreiswinkelsätze und Pythagoras dürfen verwendet werden (keine Ähnlichkeit, Trigonometrie).



Ich habe bisher herausgefunden, dass der Kreisradius 6 cm und Alpha=60° ist. Bin sehr dankbar um weitere Hinweise.

LG
Schneepirat

Thermodynamik & Statistische Physik
  
Thema eröffnet von: TheoRiemann
Was genau passiert eigentlich, wenn man eine Cola-Flasche schüttelt?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-09-24
Schneepirat
 

Durch das Schütteln wird auch die Temperatur (minimal) erhöht, damit würde gemäss dem Gesetz von Henry auch weniger CO2 gelöst, aber das ist wohl nicht der entscheidende Beitrag.

Zitat aus www.kids-and-science.de/kinderfragen/detailansicht/datum/2009/08/13/warum-sprudelt-mineralwasser.html :

"Durch das Schütteln werden im Inneren der Flasche die lokalen Druckverhältnisse gestört. Es entstehen kurzzeitig Gebiete mit niedrigem Druck, in denen Kohlendioxid sofort aus dem Wasser austritt. Dieses Kohlendioxid steigt dann als Gasbläschen sofort nach oben, es "sprudelt" dann mehr. Bei einer geschlossenen Flasche geschieht das gleiche, nur kann das so austretende Gas nicht die Flasche verlassen.

Es sammelt sich im Raum zwischen Wasseroberfläche und Flaschendeckel unter starker Druckerhöhung. Läßt man eine solche "unter Druck stehende" Flasche längere Zeit ruhig stehen, dann beginnt sich ein Teil des Kohlendioxids aufgrund des hohen Drucks wieder im Wasser zu lösen, bis wieder ein Gleichgewichtszustand herrscht."



Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Modelle der hyperbolischen Ebene  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-09-22
Schneepirat
 

Falls niemand antworten kann: Gibt es vielleicht irgendwo im Netz "einfach verdauliche" Literatur dazu?

Mengenlehre
  
Thema eröffnet von: Schneepirat
Hilberts Hotel mit reellen Zahlen?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-09-21
Schneepirat
J

Super, ich glaube ich hab's verstanden. Herzlichen Dank für die Antworten!

Mengenlehre
  
Thema eröffnet von: Schneepirat
Hilberts Hotel mit reellen Zahlen?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-09-21
Schneepirat
J

Vielen Dank für die schnellen Antworten!

Verstehe ich richtig: Durch die Vorschrift, [0,1] auf (0,1] abzubilden wird an der Stelle 0 Platz frei für meinen zusätzlichen Punkt. Also: Ich kann einen (oder beliebig viele) weitere Punkte diesem Intervall hinzufügen?

Die ursprüngliche Frage war eigentlich, ob man einer Fläche einen zusätzlichen Punkt hinzufügen kann. Ich deute eine Fläche als Punktmenge in R^2, also lässt sich analog zum eindimensionalen Fall (Strecke+Punkt) argumentieren: In jede Fläche in R^2 kann man noch weitere Punkte hinzufügen. Man definiert dazu eine Bijektion wie oben, um "Platz zu schaffen" für den neuen Punkt.

Stimmt das?

Mengenlehre
  
Thema eröffnet von: Schneepirat
Hilberts Hotel mit reellen Zahlen?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-09-21
Schneepirat
J

Hallo zusammen

Wir diskutieren folgendes Problem:

Der abgeschlossenen reellen Zahlenmenge [0,1] (z.B. einer Strecke) soll ein weiterer Punkt hinzugefügt werden.

Geht das überhaupt?

Ich meine: Bei Hilberts Hotel geht es ja, man kann ein weiteres "freies Zimmer" für diesen zusätzlichen Punkt konstruieren. Dort hat man unendlich viele natürliche Zahlen, man kann beliebig Punkte "nachfüllen" da diese Menge nach oben unbegrenzt ist.

Hier hat man ja ebenfalls unendlich viele (reelle) Zahlen. Aber alle Zimmer sind schon besetzt, da die reellen Zahlen alles "abdecken". Zudem ist die Menge abgeschlossen, ich kann nicht "nach oben" Punkte nachfüllen. Ergo: Es hat keinen Platz mehr für weitere Punkte.


Sorry für die unwissenschaftliche Schreibweise. Aber diese Frage brennt mir brutal unter den Nägeln und ich bin sehr dankbar um jede Antwort!



Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Modelle der hyperbolischen Ebene  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-09-20
Schneepirat
 

[Dieser Thread wurde abgespalten von [diesem Thread] von viertel]


Sind folgende Aussagen korrekt?:

Die hyperbolische Ebene in R^3 könnte man sich als unendlich ausgedehnten Pringles-Chip (Sattelfläche) vorstellen. Leider würde sich eine solche Fläche zwangsläufig überlappen. Deshalb kann man sie nicht in R^3 einbetten, was Hilbert bewiesen hat (en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_theorem_(differential_geometry)). In R^5 würde es aber gehen (de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolischer_Raum#Einbettung_in_den_euklidischen_Raum).

Man muss sich deshalb mit Modellen behelfen um die hyperbolische Ebene in der euklidischen Ebene darzustellen. Davon gibt es viele (Poincaré, Hyperboloid-Modell, Halbkugel-Modell, Beltrami-Klein, etc.). Diese Modelle können auch ineinander überführt werden und sind gleichwertig.


Ich danke im Voraus für Hinweise! Es ist für mich sehr wichtig, diese Begriffe zu verstehen. Ich benötige sie für eine Abschlussarbeit. Leider hatte ich nie eine Vorlesung in Differentialgeometrie besucht...

Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Einbettung hyperbolische Ebene in R^3  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-07-29
Schneepirat
J

Vielen Dank für die Erklärung. Ich habe im Wikipedia-Artikel zur Pseudosphäre die "Theoretische Pseudosphäre" mit dem oben erwähnten Rotationskörper durcheinandergebracht, den Begriff "einfach zusammenhängend" nicht richtig verstanden.


Es bleibt für mich aber noch die Frage, wie ich die pseudosphärischen Flächen (z.B. auch die Breather Surface im Virtual Math Museum) verstehen soll. Sind das Flächen, auf welchen die Gesetze der hyperbolischen Geometrie gelten, aber keine hyperbolischen Ebenen sind?





(Mich interessiert es insbesondere, da die Breather Surface Titelbild einer sehr interessanten Sprektrum-Spezialausgabe war: www.spektrum.de/inhaltsverzeichnis/ist-mathematik-die-sprache-der-natur-spektrum-highlights-3-2014/969930)

Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Einbettung hyperbolische Ebene in R^3  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-07-28
Schneepirat
J

Vielen Dank für die Antwort. Ich beschäftige mich nur als Hobby mit Mathematik und bin in einem "Spektrum der Wissenschaft"-Artikel auf diese Frage gestossen. Verzeihe deshalb meine manchmal ungenaue Ausdrucksweise.
 
Mit der Pseudosphäre meine ich genau jene Fläche, welche du beschreibst (Rotationsfläche einer Traktrix). Diese hat, so wie ich das verstehe, die Gauss-Krümmung -1, ist vollständig und einfach zusammenhängend und müsste demnach eine hyperbolische Ebene sein (nach Definition im Wikipedia-Artikel)?... und diese Ebene ist auch in R^3 eingebettet?...


Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Einbettung hyperbolische Ebene in R^3  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-07-28
Schneepirat
J

Vielleicht noch etwas klarer formuliert:

Weshalb gelten die pseudospärischen Flächen nicht als Einbettungen der hyperbolischen Ebene (als ganzes) in R^3?

Beispiele von pseudosphärischen Flächen sind auf dieser schönen Seite zu betrachten:

virtualmathmuseum.org/Surface/gallery_o.html


Geometrie
Schule 
Thema eröffnet von: Schneepirat
Einbettung hyperbolische Ebene in R^3  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-07-26
Schneepirat
J

Liebe Leute

Meine Frage dreht sich um folgenden Wikipedia-Artikel:

de.wikipedia.org/wiki/Hyperbolische_Ebene

Es steht dort, dass man eine hyperbolische Ebene nicht als ganzes in den euklidischen Raum R3 einbetten kann.

Ich verstehe das nicht. Es ist schwierig, ein Hyperboloid einzubetten, da dieses sich irgendwann überschneidet, ok. Aber wieso ist die Pseudosphäre keine solche Einbettung, die überschneidet sich ja nie? Das wäre ja genau ein Gegenbeispiel zu obigem Satz.

Ich danke schon im Voraus für eure Antworten!

Beste Grüsse,
Schneepirat
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