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Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Faktor wegskalieren  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-06
Schokopudding
J

Hallo,

habe eine kurze Frage.

Wenn ich die Gleichung

<math>u_t=\alpha u_{xx} + f(u)</math> habe,

wie kann ich dann reskalieren, um den Faktor <math>\alpha</math> da "wegzubekommen", d.h. ihn auf <math>1</math> zu setzen?



Kann ich nicht einfach <math>x</math> reskalieren, indem ich <math>y=x/\sqrt{\alpha}</math> setze, also die neue Variable <math>y</math> nehme statt <math>x</math>?

Denn dann sollte man doch für die erste bzw. zweite partielle Ableitung nach <math>x</math> bekommen
<math>\displaystyle
\frac{\partial}{\partial x}v(y,t)=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\partial_y v(y,t),\quad \frac{\partial^2}{\partial x^2}v(y,t)=\frac{1}{\alpha}\partial_{yy}v(y,t)
</math>
und somit, wenn ich <math>v(y,t)</math> in die Gleichung einsetze, bekomme ich die neue Gleichung
<math>\displaystyle
v_t=v_{yy}+f(v).
</math>



Kann man das so interpretieren, dass man die Schnelligkeit der Diffusion, die durch <math>u_{xx}</math> passiert, ändert, indem ich die Ortsvariable <math>x</math> kleiner oder größer mache? Wenn zum Beispiel <math>\alpha</math> positiv, aber klein ist, ist die Diffusion langsam und wenn ich den Faktor <math>\alpha</math> auf <math>1</math> reskaliere, muss deswegen die neue Ortsvariable <math>y</math> "groß sein" (man teilt ja durch den kleinen Wert <math>\sqrt{\alpha}</math>), damit die Diffusion weiterhin langsam bleibt?

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Ist die Komposition gleichmäßig stetig?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-25
Schokopudding
J

Nabend!

Sei $u\in C([0,T]\times\mathbb{R})$ beschränkt und $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ beschränkt und gleichmäßig stetig.

Ist dann $f\circ u$ ebenfalls beschränkt und gleichmäßig stetig?



Dass $f\circ u$ beschränkt ist, ist klar, da es sowohl $u$ als auch $f$ sind. Aber es ist mir nicht klar, ob die Komposition gleichmäßig stetig ist.





Viele Grüße

Matlab
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Plotte nur jeden 500. Wert: Kann man das glätten?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-05
Schokopudding
J

Hallo, Delastelle!

Vielen Dank für deinen Tipp, es hat gut funktioniert:
Erst habe ich, wie du vorgeschlagen hast, gemittelt mittels der MATLAB-Funktion mean(). Anschließend habe ich dann noch interpoliert mittels
interp1(.,.,'spline').

Das Ergebnis gefällt mir, sieht jetzt schön glatt aus und nicht mehr so treppenmäßig wie vorher.

Viele Grüße
Schoko

Matlab
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Plotte nur jeden 500. Wert: Kann man das glätten?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-04
Schokopudding
J

Hallo,

ich habe folgendes MATLAB-Problem:

Ich habe eine Funktion, die ich insgesamt 500.000 Mal auswerte, aber nur alle 500 Schritte abspeichere, denn sonst dauert das viel zu lange bzw. frisst zu viel Speicher.

Anschließend speichere ich die Funktionswerte in einer Matrix A mit 1000 Einträgen ab und plotte sie:

x=1:1000;
plot(x,A);

Der Graph, der entsteht ist natürlich alles andere als glatt, weil ich mir ja nur jeden 500. Zeitschritt abgespeichert habe.

Kann man den Graphen irgendwie glätten mit MATLAB?


Viele Grüße!


Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Zeit reskalieren?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-27
Schokopudding
 

Hallo, nochmals!

Die Zeitreskalierung ist hier also $\tau=t/a$ und die Reskalierung von $x$ ist $y=ax$.

Wenn ich also $y(t)=ax(t/a)$ habe, müsste das in den neuen Variablen doch jetzt $y(a\tau)=ax(\tau)$ sein?


Kann man die DGL jetzt umschreiben für die neuen Variablen $\tau$ und $y$? 🤫

Also ich möchte ja jetzt irgendwie nach der neuen Zeitvariablen ableiten statt wie vorher nach t.
Ich hoffe, es ist klar, was ich meine.

Viele Grüße

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Zeit reskalieren?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-14
Schokopudding
 

Hallo,

wenn ich es richtig verstehe, macht es also für die Lösungskurven keinen Unterschied, ob ich die Gleichung $x'=e^{-ax}$ oder die Gleichung $y'=e^{-y}$ betrachte, weil Lösungen von (2) von der Form $y=ax(t/a)$ sind, wenn $x$ eine Lösung von (1) ist. Der Grund dafür ist, dass $y=ax(t/a)$ lediglich bedeutet, dass die Vektoren an jedem Punkt des Phasenraums durch den Faktor $a$ gestreckt/ gestaucht werden und $t/a$ ändert nur die Zeit, in der die Trajektorien durchlaufen werden?

Bis auf Reskalierung von Ort und Zeit, sollte das Phasenporträt also "ähnlich" aussehen, d.h. man findet eine Bijektion zwischen den Trajektorien beider Gleichungen?


Ich hoffe, ich habe das nun verstanden! :)
Viele Grüße

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Zeit reskalieren?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-14
Schokopudding
 

Hallo,

eine Reskalierung von x ist auch in Ordnung. Ich möchte nur gerne haben, dass beide Gleichungen die selben Lösungskurven (bis auf Reskalierung) haben.

Für $x'=f(x)$ und $x'=g(x)f(x)$ mit einer positiven Funktion g ist mir das klar.

Wie ist es bei Zeit- UND x-Reskalierung?

Was sind bei dir die beiden Gleichungen, die hoffentlich gleiche Lösungskurven (bis auf Reskalierung) haben? Ist mir noch nicht so ganz klar geworden.


Viele Grüße

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Zeit reskalieren?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-14
Schokopudding
 

Hi,

ich habe die ODE $x‘=f(x)=e^{-ax}, a>0$ und meine Frage ist, ob man hier eine Zeitreskalierung vornehmen kann, sodaß man die Gleichung $x‘=e^{-x}$ bekommt.


Ich kenne das so, dass man schreibt
$x‘=g(x)f(x)=e^{-x}$ für geeignete Funktion g, also hier wohl $g(x):=e^{ax}e^{-x}$ und dann definiert man
$$ B(t):=\int_0^t \frac{1}{g(x(s)}\, ds,
$$ wobei $x$ eine Lösung von $x‘=f(x)=e^{-ax}$ ist.

Wenn man dann die Inverse von $B(t)$ mit $\beta(t)$ bezeichnet, dann sollte
$$ \tilde{x}(t):=x(\beta(t))
$$ eine Lösung von $x‘=g(x)f(x)$ sein.

Also damit hätte man zumindest schonmal, dass beide Gleichungen die gleichen Lösungskurven haben (bis auf Zeitreskalierung). Stimmt das bis hierhin?

Wie kann man jetzt die Zeitreskalierung konkret angeben, also zum Beispiel $\beta(t)$ explizit angeben?


Viele Grüße

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Ein Grenzwert für Integrale mit dem "heat kernel"  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-20
Schokopudding
 

Hi!

Ich habe den "heat kernel"
<math>\displaystyle
K(x,t):=K_t(x):=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{\lvert x\rvert^2}{4t}}
</math>
und es seien <math>t\in [0,T], x\in\mathbb{R}</math>.

Ich würde gerne zeigen, dass
<math>\displaystyle
\lim_{h\to 0}\left(\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h}(x-y)-K_t(x-y)\rvert\, dy+\int_0^t\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h-s}(x-y)-K_{t-s}(x-y)\lvert\, dy\, ds+\int_t^{t+h}\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h-s}(x-y)\rvert\, dy\, ds\right)= 0.
</math>

Ich glaube, dass ich dafür am besten zeigen sollte, dass jeder der drei Summanden gegen <math>0</math> konvergiert, also

<math>\displaystyle
\textrm{(1)} \lim_{h\to 0}\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h}(x-y)-K_t(x-y)\rvert\, dy=0
</math>

<math>\displaystyle
\textrm{(2)} \lim_{h\to 0}\int_0^t\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h-s}(x-y)-K_{t-s}(x-y)\lvert\, dy\, ds=0
</math>

<math>\displaystyle
\textrm{(3)} \lim_{h\to 0}\int_t^{t+h}\int_\mathbb{R}\lvert K_{t+h-s}(x-y)\rvert\, dy\, ds=0
</math>


Kann ich für (1) und (2) den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden, d.h.

(1) betrachte die Funktionenfolge <math>(K_{t+h})</math>. Diese konvergiert für <math>h\to 0</math> gegen <math>K_t</math>. Außerdem ist <math>\lvert K_{t+h}\rvert\leq K_t</math> für jedes <math>h</math>. Darum kann ich den Satz anwenden und der sagt einem sofort, dass (1) gilt.

(2) hier würde ich zunächst mit Fubini-Tonelli argumentieren, dass man das Doppelintegral als ein Produktintegral schreiben kann. Und auf dieses würde ich wieder den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden auf die Folge <math>(K_{t+h-s})</math>.

(3) Hier kann man, glaube ich, direkt rechnen: Das innere Integral müsste meines Wissens <math>1</math> sein (eine Eigenschaft des "heat kernels") und das äußere Integral ist dann <math>h</math> und geht somit gegen 0 für <math>h\to 0</math>.



Kann mir jemand sagen, ob das Sinn macht oder ob ich Unsinn fabriziere?
Vielleicht ist das Ganze ja auch viel einfacher einzusehen...  😵



Vielen Dank!

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Ist dieser Ausdruck endlich?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-18
Schokopudding
J

Und wenn x nicht fest wäre, kann man den Faktor dann wegbekommen?

Kann man den Ausdruck so schreiben, wie ich es am Ende meines letzten Beitrags editiert habe?

Oder vielleicht zumindest dadurch nach oben abschätzen?

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Ist dieser Ausdruck endlich?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-18
Schokopudding
J

Hi!

Ich denke, dass die Integrale endlich sind, bekomme ich gezeigt.
Aber was ist mit den beiden Vorfaktoren?

Kann man das anfängliche Integral auch so umschreiben, dass man den Faktor <math>e^{-C|x|}</math> wegkürzen kann?

Zum Beispiel frage ich mich, ob ja man das Ganze auch als
<math>\displaystyle
e^{-C\lvert x\rvert}\int_{-\infty}^\infty e^{-z^2+C\lvert x\rvert+C\lvert z\rvert}\, dz
</math>
schreiben kann.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Ist dieser Ausdruck endlich?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-18
Schokopudding
J

Hallo, ich habe eine Frage!

Sei <math>C</math> eine Konstante und <math>x\in\mathbb{R}</math>.
Ist dann
<math>\displaystyle
e^{-C\lvert x\rvert}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-z^2+C\lvert x-z\rvert}\, dz<\infty?
</math>

Weiß auch nicht so genau, ich würd es erstmal umschreiben, um den Absolutbetrag im Exponenten wegzukriegen:

<math>\displaystyle
e^{-C\lvert x\rvert}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-z^2+C\lvert x-z\rvert}\, dz=e^{-C\lvert x\rvert}\left(\int_{-\infty}^x e^{-z^2 +C(x-z)}\, dz+\int_x^\infty e^{-z^2+C(z-x)}\, dz\right)
</math>

Kann ich die Terme mit dem <math>x</math> jetzt einfach rausziehen:

<math>\displaystyle
=e^{-C\lvert x\rvert}e^{Cx}\int_{-\infty}^x e^{-z^2-Cz}\, dz + e^{-C\lvert x\rvert}e^{-Cx}\int_x^{\infty}e^{-z^2+Cz}\, dz?
</math>


Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Limes bestimmen  
Beitrag No.31 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-02-08
Schokopudding
J

Wie wäre es mit

<math>
\left(1+\frac{\log x}{x}\right)^x=e^{x\log\left(1+\frac{\log x}{x}\right)}\sim e^{x\frac{\log x}{x}}=x, x\to\infty</math>

PS. Wenn ich gewusst hätte, was ich hier auslöse, hätte ich die Frage nie gestellt.

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Limes bestimmen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-01-20
Schokopudding
J

Ich bin nicht hier, um mich herunterputzen zu lassen.
Dann eben nicht!

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Limes bestimmen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-01-20
Schokopudding
J

Ja, was machen wir da?  😁

Intuitiv würde ich sagen, der Grenzwert ist 1, denn <math>1+z_n</math> geht gegen 1 und der exponent gegen unendlich.

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Limes bestimmen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-01-20
Schokopudding
J

2018-01-20 12:47 - weird in Beitrag No. 3 schreibt:
Ok, dann noch ein Hinweis: Was ist

<math>\lim\limits_{n \to \infty} (1+z_n)^{\frac1{z_n}}</math>

wobei <math>(z_n)</math> irgendeine Nullfolge bezeichnet?

Für <math>z_n=1/n</math>, er gibt sich als Limes <math>e</math>.


Allgemein weiß ich es nicht.

Wenn $z_n$ eine Nullfolge ist, geht jedenfalls der Exponent $1/z_n$ gegen unendlich.

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Limes bestimmen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-01-20
Schokopudding
J

Hallo, weird,

ich fühle mich gerade leider an nichts erinnert.
 😵

Ein kleiner Hinweis vielleicht?

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Limes bestimmen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-01-20
Schokopudding
J

Hey,

ich versuche,
<math>\displaystyle
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\log n}{n}\right)^n
</math>

zu bestimmen, aber bin gerade etwas ratlos.

Erinnert mich natürlich irgendwie an
<math>\displaystyle
x=\exp(\log x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\log x}{n}\right)^n,
</math>
aber hier ist halt zusätzlich noch <math>x=n</math>.

Vielleicht mag jemand helfen?

Grüße!

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Ordnung auf Restklassenring?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-09-11
Schokopudding
 

Hallo,

wenn ich mir zum Beispiel den Restklassenring modulo 6 hernehme, also
<math>\{0,1,2,3,4,5\}</math> so gibt es darauf ja keine Ordnung.

Das heißt, es macht bezüglich des Restklassenrings z.B. keinen Sinn von <math>3<4</math> zu sprechen.

Ist es aber legitim folgende Konvention zu machen (zum Beispiel in einem Paper):

"Wenn wir Ungleichungen wie zum Beispiel <math>x-y (\text{ mod }6)\leq 4</math>  benutzen, dann meinen wir diese bezüglich <math>\mathbb{Z}</math>"?

Falls ja, kann man das irgendwie "professioneller"/"schöner" ausdrücken?



Viele Grüße
Schoko




Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Wie erkenne ich die uneigentlichen Symmetrien?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-07-22
Schokopudding
J

Hallo,

ich habe mir Folgendes überlegt.

Wenn ich mich richtig informiert habe, so bilden die reinen Drehungen die sogenannte Punktgruppe erster Art, ich nenne sie <math>P_1</math> während die anderen Symmetrieabbildungen, zusammen mit den Elementen aus <math>P_1</math>, die Punktgruppe zweiter Art bilden, die ich <math>P_2</math> nenne. Das heißt <math>P_1</math> ist eine Untergruppe von <math>P_2</math>.

Die Abbildungen in <math>P_1</math>, also die Drehungen, sind orientierungserhaltend, d.h. <math>det p_1=1</math> für alle <math>p_1\in P_1</math>. Die Abbildungen in <math>P_2</math> sind dies nicht, also <math>det p_2=-1</math> für alle <math>p_2\in P_2</math>.

So, jetzt seien <math>F,G\in P_2</math> beliebig und <math>FP_1</math> und <math>GP_1</math> die Linksrestklassen, dann gilt wegen <math>det F=det G=-1</math> doch für beliebiges <math>p_1\in P_1</math>:

<math>det (F^{-1}Gp_1)=det(F^{-1})det(G)det(p_1)=1</math>, d.h. <math>F^{-1}Gp_1\in P_1</math>, d.h. <math>F^{-1}GP_1\subset P_1</math> und somit <math>GP_1\subset FP_1</math>.

Analog: <math>G^{-1}FP_1\subset P_1</math> und <math>FP_1\subset GP_1</math>.

Das heißt: <math>FP_1=GP_1</math>.

Das wiederum bedeutet, dass es neben der Linksrestklasse <math>eP_1=P_1</math> nur eine weitere Linksrestklasse in <math>P_2</math> gibt.
(Diese ist darum auch die einzige Rechtsrestklasse neben <math>P_1</math>.)

Mit anderen Worten, der Index <math>(P_1:P_2)</math> ist 2.

Folgerung: <math>P_2</math> besteht aus <math>P_1</math> sowie der Linksrestklasse <math>SP_1</math> für irgendein beliebig gewähltes <math>S\in P_2</math>.

Beispiel Platonische Körper:

Für alle Platonischen Körper bis auf das Tetraeder könnte man als S einfach die Punktspiegelung  bzgl. des Mittelpunkts nehmen.

Für das Tetraeder könnte man als <math>S</math> irgendeine Spiegelung an einer Ebene, die durch eine Kanten und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante geht, nehmen.










Kann mir das bitte jemand bestätigen oder korrigieren? Mein Algebrawissen ist nicht gerade sehr groß und es ist lange her...

Danke und VG

 

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