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Thema Eingetragen
Autor

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Slash
Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5  
Beitrag No.1883 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-12 19:22
StefanVogel
 

2020-01-12 16:36 - haribo in Beitrag No. 1881 schreibt:
diese konstruktion passe ich in der länge auf einen erweiterten kite an, welcher erstaunlicherweise (wiso eigentlich?) auch in einen 60° winkel passt

Das scheint gar keine so einfache Geometrieaufgabe zu sein. Ich muss passen. Wieso ist ∠(P11-P14,P5-P13)=60°?

<math>
%Eingabe war:
%<Streichholzgraph>
%<Bildtext>#1803</Bildtext>
%<Ausrichten von="1" nach="2"/>
%<Winkel size="18" color="blue" id="blauerWinkel" value="60.00000000000001"/>
%<Feinjustieren Anzahl="1"/>
%<Rechenweg>
%P[1]=[0,0]; P[2]=[50,0]; D=ab(1,2); A(2,1,Bew(1)); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,3,4); Q(7,1,6,ab(1,6,[1,6]),ab(1,2,3)); M(13,12,6,blauerWinkel); L(14,12,13); RK([5,13],[11,14],360/6); A(6,13);
%</Rechenweg>
%
%<Knopf id="Stopp_alleWinkel" color="grey"/>
%
%<Knopf id="Start_blauerWinkel" color="blue"/>
%<animate xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" href="#blauerWinkel" attributeName="value" values="0;5;0;-5;0" dur="5" additive="sum" repeatCount="indefinite" keyTimes="0;0.25;0.5;0.75;1" calcMode="spline" keySplines=".3 0 .7 1;.3 0 .7 1;.3 0 .7 1;.3 0 .7 1" begin="Start_blauerWinkel.click+0s" end="Stopp_alleWinkel.click+0s"/>
%</Streichholzgraph>
%Ende der Eingabe.


\begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize]
\definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00}
\definecolor{Violet}{rgb}{0.93,0.51,0.93}


%Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0);
\foreach \i/\x/\y in {
1/1.71352549156242095485/0.00000000000000000000,
2/2.71352549156242117689/0.00000000000000000000,
3/2.21352549156242117689/0.86602540378443859659,
4/3.21352549156242117689/0.86602540378443859659,
5/3.71352549156242117689/0.00000000000000000000,
6/2.71352549156242117689/1.73205080756887719318,
7/1.75000000000000000000/1.99966737489869483824,
8/0.87500000000000000000/1.51554445662276737750,
9/1.73176274578121058845/0.99983368744934741912,
10/0.85676274578121025538/0.51571076917342051349,
11/0.00000000000000000000/1.03142153834684013880,
12/2.46352549156242117689/2.70029664412073167057,
13/3.42705098312484190970/2.43268007679091402551,
14/3.17705098312484190970/3.40092591334276805881}
\coordinate (p-\i) at (\x,\y);

%Innenflchen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle;

%Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt)

%einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2);
%\draw[Violet,very thick] (p-5) -- (p-13);

%Kanten als \draw[line width=0] (p-1) -- (p-2);
\foreach \i/\j in {
1/9, 1/10,
2/1,
3/1, 3/2,
4/3, 4/2,
5/4, 5/2,
6/3, 6/4, 6/7, 6/13,
8/7,
9/7, 9/8,
10/8, 10/9,
11/8, 11/10,
12/7, 12/6,
13/12,
14/12, 14/13}
\draw[line width=0] (p-\i) -- (p-\j);

%nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2);

%Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1};
\foreach \i/\a in {
1/299,
2/330,
3/150,
4/330,
5/330,
6/254,
7/194,
8/59,
9/359,
10/179,
11/179,
12/74,
13/314,
14/74}
\node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i};


\end{tikzpicture}
</math>


Im Moment kann ich es nur mit dem GAP-Programm nachrechnen, dass es exakt stimmt:
GAP
gap> W60:=[[1/2,-1/2*Sqrt(3)],[1/2*Sqrt(3),1/2]]; #60°-Rotationsmatrix
gap> Wbl:=[[1/4,-1/4*Sqrt(15)],[1/4*Sqrt(15),1/4]]*W60^-1; #spitzer Winkel im Dreieck mit Seitenlängen 1,2,2 ("acos(1/4)_Graph")
gap> P[1]:=[0,0];;
gap> P[2]:=[1,0];;
gap> P[3]:=P[1]+W60*(P[2]-P[1]);;
gap> P[4]:=P[3]+W60*(P[2]-P[3]);;
gap> P[5]:=P[2]-(P[1]-P[2]);;
gap> P[6]:=P[3]-(P[1]-P[3]);;
gap> P[7]:=P[6]+(W60*Wbl)^-1*(P[3]-P[6]);;
gap> P[8]:=P[7]+(W60*W60*Wbl)^-1*(P[6]-P[7]);;
gap> P[9]:=P[7]+W60*(P[8]-P[7]);;
gap> P[10]:=P[1]+W60*(P[9]-P[1]);;
gap> P[11]:=P[8]-(P[7]-P[8]);;
gap> P[12]:=P[7]+W60*(P[6]-P[7]);;
gap> P[13]:=P[12]+W60*(P[6]-P[12]);;
gap> P[14]:=P[12]-(P[7]-P[12]);;
gap> Sqrt(((P[13]-P[5])*(P[14]-P[11]))*((P[13]-P[5])*(P[14]-P[11]))/((P[13]-P[5])*(P[13]-P[5]))/((P[14]-P[11])*(P[14]-P[11])));
1/2

Ergebnis 1/2 für den Kosinus des Winkels, also 60°.

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Slash
Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5  
Beitrag No.1882 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-12 17:46
StefanVogel
 

Die beiden untersten (und obersten) blauen Linien sind im letzten Graph gegenüber #1867 rechts hinzugekommen und führen zu vier Knoten von Grad 5.

Zuerst der untere linke Teilgraph vom letzten Graph, er soll im 90° Winkel liegen und um das einzustellen werden alle beweglichen Winkel verbraucht.


21 Knoten, 2×Grad 2, 5×Grad 3, 13×Grad 4, 1×Grad 5, 0 Überschneidungen
38 Kanten, minimal 0.99999999999999966693, maximal 1.00000000001218536383
einzustellende Kanten, Abstände und Winkel:
|P20-P21|=1.00000000001218536383
∠(P19-P20,P5-P7)=89.99999999990558308127°
∠(P19-P9,P5-P7)=90.00000000007770495358°


<math>
%Eingabe war:
%<Streichholzgraph>
%<Bildtext>#1881 unten</Bildtext>
%<Ausrichten von="19" nach="20"/>
%<Winkel size="18" color="green" id="gruenerWinkel" value="75.5224878142018"/>
%<Winkel size="18" color="blue" id="blauerWinkel" value="104.47751218561983"/>
%<Feinjustieren Anzahl="2,2"/>
%<Rechenweg>
%P[1]=[-18.11479523711481,-11.925524469941678]; P[2]=[31.542078892652935,-17.77316088651216]; D=ab(1,2); A(2,1,Bew(1)); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,3,4); M(7,6,4,blauerWinkel); L(8,6,7); L(9,8,7); L(10,6,8); N(11,1,10); L(12,1,11); L(13,12,11); L(14,12,13); M(15,13,11,gruenerWinkel); N(16,14,15); L(17,14,16); L(18,17,16); L(19,17,18); N(20,18,15); N(21,15,9); RA(20,21); RK([5,7],[19,20,9],90);
%</Rechenweg>
%
%<Knopf id="Stopp_alleWinkel" color="grey"/>
%
%<Knopf id="Start_blauerWinkel" color="blue"/>
%<animate xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" href="#blauerWinkel" attributeName="value" values="0;5;0;-5;0" dur="5" additive="sum" repeatCount="indefinite" keyTimes="0;0.25;0.5;0.75;1" calcMode="spline" keySplines=".3 0 .7 1;.3 0 .7 1;.3 0 .7 1;.3 0 .7 1" begin="Start_blauerWinkel.click+0s" end="Stopp_alleWinkel.click+0s"/>
%
%<Knopf id="Start_gruenerWinkel" color="green"/>
%<animate xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" href="#gruenerWinkel" attributeName="value" values="0;5;0;-5;0" dur="5" additive="sum" repeatCount="indefinite" keyTimes="0;0.25;0.5;0.75;1" calcMode="spline" keySplines=".3 0 .7 1;.3 0 .7 1;.3 0 .7 1;.3 0 .7 1" begin="Start_gruenerWinkel.click+0s" end="Stopp_alleWinkel.click+0s"/>
%</Streichholzgraph>
%Ende der Eingabe.


\begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize]
\definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00}
\definecolor{Green}{rgb}{0.00,0.50,0.00}
\definecolor{LimeGreen}{rgb}{0.20,0.80,0.20}
\definecolor{Violet}{rgb}{0.93,0.51,0.93}


%Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0);
\foreach \i/\x/\y in {
1/1.85122958680809945875/0.23390545666281925552,
2/2.84436706940345462868/0.11695272833140960000,
3/2.44908236188267780520/1.03551138187521774014,
4/3.44221984447803297513/0.91855865354380805687,
5/3.83750455199880979862/0.00000000000000000000,
6/3.04693513695725615165/1.83711730708761633579,
7/3.83750455200284568136/2.44948974277889908180,
8/2.91188975859404752811/2.82795672181774193632,
9/3.70245917363963750191/3.44032915750902468233,
10/2.12132034354845799839/2.21558428612645963440,
11/1.98627496517827872857/1.22474487139463938945,
12/1.06066017176452787041/0.84627789236098616144,
13/1.19570555013470714023/1.83711730709280618434,
14/0.27009075672095617104/1.45865032805915295633,
15/1.98627496517598878256/2.44948974278965048157,
16/1.06066017176823335078/2.07102276374825722272,
17/0.13504537836047808552/2.44948974278965048157,
18/0.92561479340775498770/3.06186217847875497000,
19/0.00000000000000000000/3.44032915752014822885,
20/1.85122958681551041948/3.44032915752014822885,
21/2.77684438023188207012/3.06186217846763097938}
\coordinate (p-\i) at (\x,\y);

%Innenflchen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle;

%gefllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle;
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
6/293.28/397.76/0.4/Blue,
13/322.24/397.76/0.4/Green}
\fill[\c!20] (p-\i) -- +(\a:\r cm) arc (\a:\b:\r cm) -- cycle;

%Kanten als \draw[gray,thick] (p-1) -- (p-2);
\foreach \i/\j in {
2/1,
3/1, 3/2,
4/3, 4/2,
5/4, 5/2,
6/3, 6/4,
7/6,
8/6, 8/7,
9/8, 9/7,
10/6, 10/8,
11/1, 11/10,
12/1, 12/11,
13/12, 13/11,
14/12, 14/13,
15/13,
16/14, 16/15,
17/14, 17/16,
18/17, 18/16,
19/17, 19/18,
20/18, 20/15, 20/21,
21/15, 21/9}
\draw[gray,thick] (p-\i) -- (p-\j);

%Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt)
\foreach \i in {1,...,21}
\fill[red] (p-\i) circle (1.125pt);

%einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2);
\draw[LimeGreen,very thick] (p-20) -- (p-21);
%\draw[Violet,very thick] (p-5) -- (p-7);
%\draw[Violet,very thick] (p-5) -- (p-7);

%nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2);

%Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm);
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
6/293.28/397.76/0.4/Blue,
13/322.24/397.76/0.4/Green}
{
\draw[\c,thick] (p-\i) +(\a:\r cm) arc (\a:\b-4:\r cm);
\fill[\c!90!black] (p-\i) -- +(\b:\r cm) coordinate (pfeilspitze-\i) -- ([turn]-24.84:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]15.522:0.04cm) -- ([turn]-39.275:0.04cm) -- ([turn]15.522:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- (pfeilspitze-\i);
}

%Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1};
\foreach \i/\a in {
1/292,
2/263,
3/83,
4/83,
5/323,
6/308,
7/8,
8/188,
9/68,
10/188,
11/52,
12/292,
13/52,
14/172,
15/248,
16/8,
17/188,
18/8,
19/128,
20/128,
21/8}
\node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i};


\end{tikzpicture}
</math>


Der Graph ist nicht beweglich, wenn die Punkte 19,20,9,7,5 im 90°-Winkel verbleiben sollen. Der Winkel ∠(P19-P9,P5-P7)=90° muss sogar extra bewiesen werden, weil er nicht separat einstellbar ist. Der Graph im Ganzen (Button "Kaleidoskop"):


74 Knoten, 8×Grad 3, 56×Grad 4, 4×Grad 5, 6×Grad 6, 0 Überschneidungen
152 Kanten, minimal 0.99999999999999777955, maximal 1.00000000002292543932
einzustellende Kanten, Abstände und Winkel:
|P20-P21|=1.00000000001218536383
∠(P19-P20,P5-P7)=89.99999999990558308127°
∠(P19-P9,P5-P7)=90.00000000007770495358°


<math>
%Eingabe war:
%<Streichholzgraph>
%<Bildtext>#1881 unten</Bildtext>
%<Ausrichten von="19" nach="20"/>
%<Winkel size="18" color="green" id="gruenerWinkel" value="75.5224878142018"/>
%<Winkel size="18" color="blue" id="blauerWinkel" value="104.47751218561983"/>
%<Feinjustieren Anzahl="2,2"/>
%<Rechenweg>
%P[1]=[-18.11479523711481,-11.925524469941678]; P[2]=[31.542078892652935,-17.77316088651216]; D=ab(1,2); A(2,1,Bew(1)); L(3,1,2); L(4,3,2); L(5,4,2); L(6,3,4); M(7,6,4,blauerWinkel); L(8,6,7); L(9,8,7); L(10,6,8); N(11,1,10); L(12,1,11); L(13,12,11); L(14,12,13); M(15,13,11,gruenerWinkel); N(16,14,15); L(17,14,16); L(18,17,16); L(19,17,18); N(20,18,15); N(21,15,9); RA(20,21); RK([5,7],[19,20,9],90);
%</Rechenweg>
%
%<Knopf id="Stopp_alleWinkel" color="grey"/>
%
%<Knopf id="Start_blauerWinkel" color="blue"/>
%<animate xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" href="#blauerWinkel" attributeName="value" values="0;5;0;-5;0" dur="5" additive="sum" repeatCount="indefinite" keyTimes="0;0.25;0.5;0.75;1" calcMode="spline" keySplines=".3 0 .7 1;.3 0 .7 1;.3 0 .7 1;.3 0 .7 1" begin="Start_blauerWinkel.click+0s" end="Stopp_alleWinkel.click+0s"/>
%
%<Knopf id="Start_gruenerWinkel" color="green"/>
%<animate xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" href="#gruenerWinkel" attributeName="value" values="0;5;0;-5;0" dur="5" additive="sum" repeatCount="indefinite" keyTimes="0;0.25;0.5;0.75;1" calcMode="spline" keySplines=".3 0 .7 1;.3 0 .7 1;.3 0 .7 1;.3 0 .7 1" begin="Start_gruenerWinkel.click+0s" end="Stopp_alleWinkel.click+0s"/>
%</Streichholzgraph>
%Ende der Eingabe.


\begin{tikzpicture}[draw=grey,font=\sffamily\scriptsize]
\definecolor{Blue}{rgb}{0.00,0.00,1.00}
\definecolor{Green}{rgb}{0.00,0.50,0.00}
\definecolor{LimeGreen}{rgb}{0.20,0.80,0.20}
\definecolor{Violet}{rgb}{0.93,0.51,0.93}


%Koordinaten als \coordinate (p-1) at (0,0);
\foreach \i/\x/\y in {
1/1.85122958680809945875/0.23390545666281925552,
2/2.84436706940345462868/0.11695272833140960000,
3/2.44908236188267780520/1.03551138187521774014,
4/3.44221984447803297513/0.91855865354380805687,
5/3.83750455199880979862/0.00000000000000000000,
6/3.04693513695725615165/1.83711730708761633579,
7/3.83750455200284568136/2.44948974277889908180,
8/2.91188975859404752811/2.82795672181774193632,
9/3.70245917363963750191/3.44032915750902468233,
10/2.12132034354845799839/2.21558428612645963440,
11/1.98627496517827872857/1.22474487139463938945,
12/1.06066017176452787041/0.84627789236098616144,
13/1.19570555013470714023/1.83711730709280618434,
14/0.27009075672095617104/1.45865032805915295633,
15/1.98627496517598878256/2.44948974278965048157,
16/1.06066017176823335078/2.07102276374825722272,
17/0.13504537836047808552/2.44948974278965048157,
18/0.92561479340775498770/3.06186217847875497000,
19/0.00000000000000000000/3.44032915752014822885,
20/1.85122958681551041948/3.44032915752014822885,
21/2.77684438023188207012/3.06186217846763097938,
22/1.85122958680809945875/6.64675285837747864548,
23/2.84436706940345596095/6.76370558670888666342,
24/2.44908236188267780520/5.84514693316507738530,
25/3.44221984447803341922/5.96209966149648629141,
26/3.83750455199880935453/6.88065831504029734589,
27/3.04693513695725615165/5.04354100795268056601,
28/3.83750455200284568136/4.43116857226139604364,
29/2.91188975859404752811/4.05270159322255452139,
30/2.12132034354845799839/4.66507402891383726740,
31/1.98627496517827917266/5.65591344364565529190,
32/1.06066017176452809245/6.03438042267930985219,
33/1.19570555013470669614/5.04354100794749005132,
34/0.27009075672095617104/5.42200798698114372343,
35/1.98627496517598900461/4.43116857225064553205,
36/1.06066017176823335078/4.80963555129203879090,
37/0.13504537836047808552/4.43116857225064553205,
38/0.92561479340775498770/3.81879613656154148771,
39/2.77684438023188207012/3.81879613657266459015,
40/5.82377951719029063327/6.64675285838402452043,
41/4.83064203459455043799/6.76370558671216048907,
42/5.22592674211835372944/5.84514693316965505687,
43/4.23278925952261353416/5.96209966149779280187,
44/4.62807396704641771379/5.04354100795528825785,
45/4.76311934541289172529/4.05270159322560896697,
46/3.97254993036931969286/3.44032915753171719686,
47/5.55368876045646331363/4.66507402891949496393,
48/5.68873413882337697345/5.65591344365175974218,
49/6.61434893223588193933/6.03438042268846075444,
50/6.47930355386896827952/5.04354100795619864073,
51/7.40491834728146969269/5.42200798699290320570,
52/5.68873413882970258015/4.43116857225674820597,
53/6.61434893223621056535/4.80963555130119058134,
54/7.53996372564521344373/4.43116857226285176807,
55/6.74939431059995431639/3.81879613657114003189,
56/7.67500910400895808294/3.44032915753279544546,
57/5.82377951719344633119/3.44032915752669499199,
58/4.89816472377582723396/3.81879613657616401312,
59/5.82377951721142217423/0.23390545666936704561,
60/4.83064203461645380600/0.11695272833468434159,
61/5.22592674213420149698/1.03551138187979541172,
62/4.23278925953923401693/0.91855865354511323506,
63/4.62807396705698526063/1.83711730709022447172,
64/4.76311934541692760803/2.82795672182079371737,
65/5.55368876046453596729/2.21558428613211688685,
66/5.68873413883797862667/1.22474487140074161928,
67/6.61434893225297670938/0.84627789237013906209,
68/6.47930355387953316182/1.83711730710151388557,
69/7.40491834729453213271/1.45865032807091044020,
70/5.68873413883623513243/2.44948974279575271140,
71/6.61434893224523623445/2.07102276375741034542,
72/7.53996372565174510783/2.44948974280185272079,
73/6.74939431060245009775/3.06186217848835173783,
74/4.89816472377832390350/3.06186217847112995827}
\coordinate (p-\i) at (\x,\y);

%Innenflchen als \filldraw[yellow,shift={+(0.1,0.1)}] (p-1) -- (p-2) -- (p-3) -- cycle;

%gefllte Winkel als \fill[red!20] (p-1) -- +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm) -- cycle;
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
6/293.28/397.76/0.4/Blue,
13/322.24/397.76/0.4/Green}
\fill[\c!20] (p-\i) -- +(\a:\r cm) arc (\a:\b:\r cm) -- cycle;

%Punkte als \fill[red] (p-1) circle (1.125pt)

%einzustellende Kanten als \draw[green] (p-1) -- (p-2);
\draw[LimeGreen,very thick] (p-20) -- (p-21);
%\draw[Violet,very thick] (p-5) -- (p-7);
%\draw[Violet,very thick] (p-5) -- (p-7);

%Kanten als \draw[line width=0] (p-1) -- (p-2);
\foreach \i/\j in {
2/1,
3/1, 3/2,
4/3, 4/2,
5/4, 5/2, 5/62, 5/60,
6/3, 6/4,
7/6, 7/63, 7/64, 7/46,
8/6, 8/7,
9/8, 9/7, 9/29, 9/28, 9/39,
10/6, 10/8,
11/1, 11/10,
12/1, 12/11,
13/12, 13/11,
14/12, 14/13,
15/13,
16/14, 16/15,
17/14, 17/16,
18/17, 18/16,
19/17, 19/18, 19/37, 19/38,
20/18, 20/15, 20/21, 20/35, 20/38, 20/39,
21/15, 21/9,
23/22,
24/22, 24/23,
25/23, 25/24,
26/23, 26/25, 26/41, 26/43,
27/24, 27/25,
28/27, 28/44,
29/27, 29/28,
30/27, 30/29,
31/22, 31/30,
32/22, 32/31,
33/31, 33/32,
34/32, 34/33,
35/33,
36/34, 36/35,
37/34, 37/36,
38/36, 38/37,
39/35,
41/40,
42/40, 42/41,
43/41, 43/42,
44/42, 44/43,
45/44, 45/28,
46/28, 46/45, 46/64, 46/74,
47/44, 47/45,
48/40, 48/47,
49/40, 49/48,
50/48, 50/49,
51/49, 51/50,
52/50,
53/51, 53/52,
54/51, 54/53,
55/53, 55/54,
56/54, 56/55, 56/72, 56/73,
57/52, 57/55, 57/58, 57/70, 57/73, 57/74,
58/46, 58/52,
60/59,
61/59, 61/60,
62/60, 62/61,
63/61, 63/62,
64/63,
65/63, 65/64,
66/59, 66/65,
67/59, 67/66,
68/66, 68/67,
69/67, 69/68,
70/68,
71/69, 71/70,
72/69, 72/71,
73/71, 73/72,
74/70}
\draw[line width=0] (p-\i) -- (p-\j);

%nicht passende Kanten als \draw[magenta,ultra thick,dash pattern=on 0.01cm off 0.09cm] (p-1) -- (p-2);

%Winkel als \draw[->,red] (p-1) +(0:0.3 cm) arc (0:60:0.3 cm);
\foreach \i/\a/\b/\r/\c in {
6/293.28/397.76/0.4/Blue,
13/322.24/397.76/0.4/Green}
{
\draw[\c,thick] (p-\i) +(\a:\r cm) arc (\a:\b-4:\r cm);
\fill[\c!90!black] (p-\i) -- +(\b:\r cm) coordinate (pfeilspitze-\i) -- ([turn]-24.84:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]15.522:0.04cm) -- ([turn]-39.275:0.04cm) -- ([turn]15.522:0.08cm) -- ([turn]-120.00:0.08cm) -- ([turn]-31.04:0.08cm) -- (pfeilspitze-\i);
}

%Punktnummern als \node[anchor=30] (P1) at (p-1) {1};
\foreach \i/\a in {
1/292,
2/263,
3/83,
4/83,
5/217,
6/308,
7/172,
8/188,
9/292,
10/188,
11/52,
12/292,
13/52,
14/172,
15/248,
16/8,
17/188,
18/8,
19/128,
20/128,
21/8,
22/68,
23/97,
24/157,
25/277,
26/143,
27/112,
28/188,
29/292,
30/172,
31/308,
32/68,
33/308,
34/112,
35/112,
36/352,
37/112,
38/352,
39/352,
40/112,
41/23,
42/323,
43/143,
44/68,
45/8,
46/112,
47/8,
48/172,
49/352,
50/232,
51/68,
52/68,
53/188,
54/8,
55/248,
56/308,
57/308,
58/188,
59/337,
60/337,
61/97,
62/217,
63/97,
64/112,
65/352,
66/188,
67/8,
68/68,
69/8,
70/292,
71/172,
72/352,
73/172,
74/172}
\node[anchor=\a] (P\i) at (p-\i) {\i};


\end{tikzpicture}
</math>




Statik des starren Körpers
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mondschimmer
Schwerpunkt Seiltänzer und Masse  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-12 16:43
StefanVogel
 

Die Balancierstange wird in der Mitte in 1,2 m Höhe gehalten und biegt sich an den Spitzen bis zu 1,2-0,005*4*4 m durch, das sind 1,12 m. Der Schwerpunkt der Balancierstange müsste deshalb im Bereich von 1,12 bis 1,2 m liegen und nicht bei 0,36 m. Da steckt noch ein Fehler drin, beinahe übersehen:

fed-Code einblenden

Statik des starren Körpers
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mondschimmer
Schwerpunkt Seiltänzer und Masse  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-12 08:57
StefanVogel
 

Hallo Mondschimmer,
beim Ergebnis vom y1 fehlt vermutlich die Division durch 2 und y1 ist auch nicht der Schwerpunkt vom Seiltänzer sondern nur der erste Summand von diesem Rechenweg. Für die Schwerpunktkoorinate des Seiltänzers müsstest du in y1 nicht durch M sondern nur durch M1 teilen und anschließend die einzelnen Schwerpunkte mit der Formel für den Schwerpunkt mehrerer Massepunkte zusammenfassen (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Schwerpunktsystem)

fed-Code einblenden

wobei letztendlich der gleiche Rechenweg herauskommt: Erst wird durch M1 geteilt und dann wieder mit M1 multipliziert und durch M=M1+M2 geteilt.

Viele Grüße,
  Stefan

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tim18
Stabilität einer autonomen DGL 1. Ordnung  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-12 07:44
StefanVogel
 

Hallo tim18,
herzlich willkommen auf dem Matheplanet! So neu wie du auf dem Matheplanet bist, so neu bin ich bei autonomen DGL. Deshalb meine Antwort entsprechend kritisch lesen und nicht allzuviel erwarten wink

In https://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/wise_13_14/r_rechenmethoden/skript/PDFS/25-C7-vor-DifferentialGleichungen-III.pdf auf Blatt C7.5i (pdf-Reader Seite 5) bezieht sich f'(y)<0 auf den Kurvenverlauf von f(y) bezüglich y. Also ist mit f'(y) eher die Ableitung nach y gemeint und nicht die Ableitung nach der Variablen, mit der y' berechnet wird.

Viele Grüße,
  Stefan

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Slash
Streichholzgraphen 4-regulär und 4/n-regulär (n>4) und 2/5  
Beitrag No.1879 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-12 07:02
StefanVogel
 

Die Knotengradabweichungsgleichung (siehe Beitrag No.1632, 1567, 1538, 1279, 622) liefert für diesen Graph (#1877) mit 4 Knoten vom Grad 6

Einsetzkanten = 1/2 Knotengradabweichung + Beweglichkeit + 3

7 = 1/2 (2+2+2+2) + 0 + 3

sieben Einsetzkanten, das waren Kanten, die sich am Ende nicht mehr mit beweglichen Winkeln einstellen lassen und deshalb im zuletzt starren Graph automatisch passen müssen.

Immerhin hat es Slash geschafft, drei von diesen Einsetzkanten passend zu machen, so dass nur vier nicht passende Kanten übrigbleiben. Vielleicht lässt sich daraus eine Methode ableiten, wie man das auch bei anderen Graphen schaffen kann.

Ich gehe mal von der Situation aus, dass der Graph noch einen beweglichen Winkel enhält. Dann bleiben nach der Knotengradabweichungsgleichung am Ende 8=1/2(2+2+2+2)+1+3 Einsetzkanten übrig. Eine davon lässt sich mit dem einen beweglichen Winkel noch einstellen. Da der Graph aber im Idealfall aus vier symmetrischen Teilen besteht, wäre es ja sinnvoll; drei weitere Einsetzkanten so zu positionieren, dass sie symmetrisch zu der einen Einsetzkante liegen, die mit dem beweglichen Winkel eingestellt wird. So würden dann automatisch noch drei weitere Einsetzkanten passen. Nur für die verbleibenden vier Einsetzkanten gibt es keine Einstellmöglichkeit mehr.

Das versuche ich jetzt mit in die Knotengradabweichungsgleichung aufzunehmen:

Anzahl verbleibender Einsetzkanten

+ Beweglichkeit * Anzahl symmetrischer Teile

= 1/2 Knotengradabweichung + Beweglichkeit + 3

kurz

V + B * S = 1/2 K + B + 3

Ziel ist V=0. Mit dem soeben gerechneten Beispiel B=1, S=4, K=2+2+2+2 ist nur V=4 erreichbar. Für B=2, S=4, V=0 müsste K=2+2+2 gewählt werden, also ein Graph aus vier symmetrischen Teilen und drei Knoten vom Grad 6. Wegen der Symmetrie müsste dann ein Knoten vom Grad 6 im Symmetriezentrum liegen, aber soweit ich versucht habe lässt sich dieser Knoten dann nicht nach außen fortsetzen. Für B=3, S=4, V=0 müsste K=2+2+2+2+2+2 sein, also 6 Knoten vom Grad 6. Das wäre in jedem symmetrischen Teil ein Knoten und dann noch zwei auf den Symmetrieachsen. Soviel zur Knotengradabweichungsgleichung.

Kleine Rechenübung für die vielen 2+2+2+2+2+2: 2+0+2+0≠2^0+2+0 .

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: xxxyyy
Eigenvektoren einer Matrix berechnen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-12 05:50
StefanVogel
 

Hallo xxxyyy,
nicht eine linear abhängige Zeile herauspicken und damit den Eigenvektor berechnen sondern eine linear abhängige Zeile herausstreichen und mit den übrigen Zeilen den Eigenvektor berechnen. Eventuell noch weitere Zeilen herausstreichen, die von anderen Zeilen linear abhängig sind.

2020-01-11 23:11 - xxxyyy im Themenstart schreibt:
Hallo,

wie haben bisher die Eigenvektoren einer 2x2 Matrix berechnet.
Dazu haben wir mit dem char Polynom erst die Eigenwerte berechnet und dann in die Bestimmungsgleichung für die Eigenvektoren eingestzt. Dann haben wir argumentiert, dass beide Zeilen voneinander linear abhängig sein müssen und daher nur eine Zeile herausgepickt und damit den Eigenvektor berechnet.

In dem Fall (Eigenwerte einsetzen) sind beide Zeilen linear abhängig aber nicht unbedingt beide Zeilen voneinander linear abhängig. Das ist ein Unterschied, den man beim Herausstreichen beachten muss: In der Matrix

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)

kann man eine der beiden Zeilen herausnehmen und mit dieser oder der anderen den Eigenvektor berechnen. Dagegen in der Matrix

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

muss man stets die erste Zeile für die Bestimmung des Eigenvektors verwenden.


Wie sieht das bei 3x3 Matrizen aus? Kann ich da auch willkürlich eine Zeile herauspicken? Ich denke nicht, da wir ja nur wissen, dass alle 3 Zeilen linear abhängig sind aber nicht welche 2 linear unabhängig sind, oder?

Wenn du mit Absicht nur linear abhängig und nicht linear voneinander abhängig geschrieben hast, dann ist das richtig begründet, man kann nicht willkürlich eine Zeile herauspicken. Auch hier gibt es wieder verschiedene Varianten: Jede Zeile ist von den beiden anderen linear abhängig

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}\)

da kann man beliebig eine Zeile herausstreichen und die übrigen weiter verwenden. Wenn nur zwei Zeilen voneinander linear abhängig sind wie in

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\)

da muss man in dem Beispiel aus der zweiten zusammen mit der ersten oder dritten Zeile den Eigenvektor bestimmen. Weitere Variante, jede Zeile ist von jeder anderen linear abhängig,

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\)

dann reicht eine Zeile für die Eigenwertberechnung. Noch etliche weitere Varianten gibt es dann mit einer oder mehreren Nullzeilen.


Daher würde ich auch zuerst das char Polynom berechnen und die Eigenwerte berechnen. Dann die Matrix (lambda-I-A) aufstellen und mit Gaus in eine obere Dreiecksform bringen.

Ja, gleich mit dem Gauß-Algorithmus loslegen ist richtig.


Dann ergibt sich in meinem Beispiel eine Nullzeile (ist das immer so, dass sich gerade EINE Nullzeile ergibt?). Dann rechne ich die Matrix mal (v1,v2,v3) Vektor und löse die entstehenden Gleichungen. Wobei ich ein v beliebig wählen kann.

Nein, es können auch mehrere Nullzeilen entstehen.


Gibt es eine Möglichkeit die Eigenvektoren auch direkt aus der Matrix abzulesen d.h. ohne „mal den Vektor“ zu rechnen?

Nein, ohne ein Lösungsverfahren, dass die vollständige Lösungsmenge oder wenigstens eine Basis davon bestimmt, geht es nicht.

Viele Grüße,
  Stefan

Matrizenrechnung
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Thema eröffnet von: marathon
4*5-Matrix mit Formvariable  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-11 10:06
StefanVogel
 
fedgeo
a* (2* (2*-1 -1*-1)+2(-2*-1 -a*-1)+1(-2*1-a*2)

Das +2 in der Mitte muss -2 lauten weil diese 2 in der ersten Zeile und zweiten Spalte der 3x3-Matrix steht. Ansonsten fehlt nur die schließende Klammer, was fedgeo bei der Ausgabe zu korrigieren versucht, ebenso -1*(-1) statt -1*-1. fedgeo kann auch Matrizen:

fed-Code einblenden

Wäre Determinate 4a richtig, dann wäre "für die a nicht gleich 0 ist" die richtige Antwort zur Aufgabe.

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: Verzweiflung
Gradientenverfahren  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-11 08:39
StefanVogel
 

Hallo Verzweiflung,
herzlich willkommen auf dem Matheplanet!

Wegen dem "d.h. berechnen Sie..." in der Aufgabe gehe ich davon aus, dass vorher bereits beschrieben wurde, wie man bei einem Gradientenverfahren vorgehen muss. Dabei sollte dann nicht die Funktion selbst sondern deren Gradient in eine Rekursionsgleichung eingesetzt werden.

Zur zweiten Frage ein Hinreichendes Kriterium für positive Semidefinitheit.

Viele Grüße,
  Stefan

Matrizenrechnung
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Thema eröffnet von: marathon
4*5-Matrix mit Formvariable  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-05 16:51
StefanVogel
 

Für alle Werte a, für die 4a plus 6 nicht Null wird, hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung und so hast du das vielleicht schon gemeint.

Matrizenrechnung
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Thema eröffnet von: marathon
4*5-Matrix mit Formvariable  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-05 13:17
StefanVogel
 

Aus welchem Grund auch immer, dein jetziges Ergebnis 4a stimmt nicht. Als Vorausschau, der nächste Schritt ist dann: Für diejenigen a, für die die Determinate der Matrix Null ist, hat das Gleichungssystem für einige rechte Seiten keine, für die übrigen rechten Seiten unendlich viele Lösungen. Bei allen anderen a hat das Gleichungssystem für jede beliebige rechte Seite genau eine Lösung. Dafür braucht man nichts mehr zu rechnen. Das ist eine Feststellung, die für jedes lineare Gleichungssystem gilt. Es fehlen also nur noch die richtigen a.

2020-01-05 12:40 - marathon in Beitrag No. 7 schreibt:

gut zu meiner Vorgehensweise... es wechselt dann jeweils von + nach minus pro Unter Block um er so zu titulieren.
fed-Code einblenden

Das ist richtig aber zu ungenau ausgedrückt. Wenn der Algorithmus in der zweiten Matrixzeile statt in der ersten angewendet wird, beginnt dieser mit - und wechselt nach + und wenn man das umgehen will indem man vorher noch Zeilen oder Spalten vertauscht, wechselt für jedes Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten auch nochmal das Vorzeichen der Determinante.

Matrizenrechnung
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Thema eröffnet von: marathon
4*5-Matrix mit Formvariable  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-05 09:34
StefanVogel
 

Abgesehen von Fingerfehlern wie -a-1 statt richtig -a*-1 enthält die Lösung noch einen systematischen Fehler: in 2*-1+--1*-1 muss in der Mitte ein Minus stehen 2*-1-1*-1, danach geht es nicht mit +2(-2*-1-a-1) weiter sondern mit -2(-2*-1-a-1) und der mittlere Block

2020-01-05 03:19 - marathon in Beitrag No. 5 schreibt:
fed-Code einblenden

geht auch mit Faktor -1 in das Ergebnis ein. Da ist überall der Vorzeichenwechsel wie vor den Faktoren b und d in



nicht beachtet. Besser wäre es noch, diese Vorzeichen als (-1)i+j mit i=Zeilenindex, j=Spaltenindex zu schreiben wie in



dann funktioniert das auch für andere als nur die erste Zeile.

Die Zeile (2*1-1-0*1+2*0-1*1) kann ich nicht interpretieren wie das gerechnet wurde.


Matrizenrechnung
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Thema eröffnet von: marathon
4*5-Matrix mit Formvariable  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-04 14:09
StefanVogel
 

Wie du schon richtig angefangen hast, die Determinante der Koeffizientenmatrix berechnen. Das wird eine Funktion von a sein. Diese Funktion gleich Null setzen liefert eine Lösungsmenge für die a. Für diese a ist das Gleichungssystem unendlich oft oder gar nicht lösbar. Für die übrigen a, also wenn Determinate der Matrix ungleich Null, ist das Gleichungssystem stets eindeutig lösbar und danach war in der Aufgabe gefragt.

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: huntergirl93
Komplexe Umformung/Herleitung einer Variable (Beweis der Lösung)  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-04 09:23
StefanVogel
 

Hallo Lisa,
herzlich willkommen auf dem Matheplanet!

Hat fed-Code einblenden eine andere Bedeutung als fed-Code einblenden ? Was steht an stelle der " fed-Code einblenden " Fragezeichen? Ohne denen kann man nicht zuende rechnen. Bei der Teilaufgabe "Beweis liefern, dass die gegebene Lösung korrekt ist" reicht auch, die vorgegebene Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzten und dann ableiten, muss Null herauskommen. Ich würde mit dem Spezialfall fed-Code einblenden beginnen, also fed-Code einblenden , und auch da muss sich herausstellen, dass diese Lösung korrekt ist. Ich vermute, die Lösung ist nicht korrekt.

Viele Grüße,
  Stefan

Technische Mechanik
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Thema eröffnet von: Neo1900
PVK Drehfederkraft bei den Schnittgrößen nicht berücksichtigt  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-04 09:02
StefanVogel
 

Hallo Neo1900,
die Durchbiegung wird vernachlässigt. Sonst würde sich bei Durchbiegung der linken Feder eine horizontalkraft Gh ungleich Null ergeben. Im Videro ab 1:22 min sinngemäß

... Weil die Steifigkeit endlich ist, bekommen wir eine Durchbiegung. Die hat auf die Schnittgrößen bei diesem Beispiel keinen Einfluss, da es statisch bestimmt ist...

Ich stelle mir das immer so vor bei solchen Aufgaben, die Federn werden so vorgespannt eingebaut, dass die Balken bei der angegebenen Belastung die Durchbiegung 0 haben.

Viele Grüße,
  Stefan

Matrizenrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: marathon
4*5-Matrix mit Formvariable  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-04 07:53
StefanVogel
 

Hallo Markus,
man kann eine Vereinfachung versuchen, indem man zur Berechnung der Determinate nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz eine Zeile oder Spalte mit möglichst vielen Nullen auswählt, im ersten Beispiel geht die vierte Zeile:

fed-Code einblenden

Bei zusätzlichem Vertauschen der Reihenfolge der Zeilen oder Spalten wie in deiner Lösung kann das Vorzeichen der Determinante wechseln.

Viele Grüße,
  Stefan

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mondschimmer
orthogonale Projektion  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-29 11:12
StefanVogel
J

Da fehlt orthogonale Projektion wovon. Da kann man nur selber sich was ausdenken, beispielsweise die vier Basisvektoren, wie deren Projektion auf Span aussieht...

Bilinearformen&Skalarprodukte
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Thema eröffnet von: Mondschimmer
orthogonale Projektion  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-29 07:55
StefanVogel
J

In deiner Skizze ist 1 das Lot von Punkt (0,1) auf den Vektor Span (2,1)^T. Die orthogonale Projektion ist der Vektor vom Koordinatenursprung zum Fußpunkt des Lotes, also der Schatten des Vektors (0,1)^T, wenn die Sonnenstrahlen rechtwinklig auf den Span (2,1)^T einstrahlen. Das Orthogonalisierungsverfahen berechnet das Lot, um einen neuen Basisvektor senkrecht zu den schon berechneten Basisvektoren zu erhalten, und das Lot ist die Differenz von Ausgangsvektor und orthogonaler Projektion.

fed-Code einblenden

Die Aufgabenstellung lautete "Zeichnen sie eine Skizze der beiden Basen in einer Ebene und die Projektion von F". Da muss dazustehen, was mit dem F gemeint ist. Mittlerweile denke ich, dass im nächsten Satz "... ist die Orthogonale Projektion auf den Span" sowas wie F' steht, um das vom original F zu unterscheiden.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mondschimmer
orthogonale Projektion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-28 06:24
StefanVogel
J

Hallo Mondschimmer,
herzlich willkommen auf dem Matheplanet!

Die orthogonale Projektion ist Bestandteil vom Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren: Der erste Basisvektor bleibt unverändert und der neue zweite Basisvektor ist die Differenz aus dem alten zweiten Basisvektor und dessen orthogonaler Projektion auf den ersten Basisvektor. Wenn du kein brauchbares Ergebnis erhalten hast, vielleicht lag es an der Reihenfolge der Basisvektoren. F ist irgendwe nicht richtig definiert. Entweder wird F projiziert oder es ist schon die Projektion, aber wovon?

Viele Grüße,
  Stefan
 

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Herleitung der bedingten Wahrscheinlichkeit  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-28 06:08
StefanVogel
J

Hallo Pter87,
für Gleichverteilung stimmt das so, für eine beliebige Verteilung müsstest du das noch etwas anders aufschreiben.

Viele Grüße,
  Stefan
 

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