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Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sb997
Beweis endliche Gruppe  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-01 23:34
juergenX
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-08-01 15:15 - Nuramon in Beitrag No. 13 schreibt:
@juergenX: Korrekt.  Ist dir klar, wieso aus der Surjektivität die Existenz eines Inversen folgt?


ja.
da unser $\circ$ eine Bijektion ist gelten meine ich alle Gruppenregeln.
Insbesondere gilt, dass es ein Rechtsinverses zu jedem Bild c gibt, und wg. der Injektivitaet nur eines.
$(G,\circ)$ ist Gruppe und nicht nur Monoid.
\(\endgroup\)

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sb997
Beweis endliche Gruppe  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-01 14:59
juergenX
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-07-31 10:24 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
Welche Eigenschaft von $l_a$ kannst du aus der Voraussetzung $a\circ b = a\circ c \Rightarrow b = c$ folgern?


Aus der Implikation $a\circ b = a\circ c \Rightarrow b = c$ folgt die Injektivität von $l_a$, denn das ist genau die Definition der Injektivität.
Oder $l_a(b) = l_a(c) \Rightarrow b=c$
Und da $l_a$ G in G abbildet, also in eine gleich grosse Gruppe folgt Surjektivität von $l_a$. Und auch von $\circ$, da a,b,c beliebig gewählt werden können.
\(\endgroup\)

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sb997
Beweis endliche Gruppe  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-31 00:51
juergenX
J

2020-07-30 22:39 - sb997 im Themenstart schreibt:
Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei G eine endliche Menge mit einer inneren Verknüpfung ∘: G x G -> G, die assoziativ ist und für die ein neutrales Element in G existiert. Außerdem gelte für alle a,b,c ∈ G, dass aus a ∘ b = a ∘ c auch b = c folgt. Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist.

wenn
a ∘ b = a ∘ c => b = c
dann existiert ein eindeutiges a´ so dass gilt
a ∘ b ∘ a´ = a ∘ c ∘ a´  => b = c
also nur dann wenn es ein eindeutiges rechts-Inverses a´ zu a gibt.
und dann ist auch aa´= e, denn
a ∘ a´ ∘ b = b
a ∘ a´ ∘ c = c

mein ich ;)

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: matthias_12
Binomialkoeffizient / Binomialverteilung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-19
juergenX
J

Bei dem ziehen ohne zurücklegen bekommst du eine abhängige Verteilung
d.h.
hast du 6 rote und 6 blaue Kugeln in der Urne, und ziehst 3 rote, so ändert sich dich die Wahrscheinlichkeit augenscheinlich weitere rote zu ziehen vom 1/2 auf 3/9.

Damit arbeiten Kartenzählet, am bestem mit sehr gutem Gedächtnis, indem in einem  Set von 104 Karten mitgezählt wird, wieviel Bildertkarten bube 2, dame 3, könig 4 Punkte noch im Stack enthalten sind.
Die alle recht günstig sind auf 21 zu kommen.
Ass glaub ich 1 Punkt aber 2 Asse 21, so auch ein sehenswerter film heisst.

Das kann man bei allen Kartenspielen ohne Zurücklegen auch Poker und Baccara einsetzen.
Allerdings ist das heute fast unmöglich, da in Vegas z.B. ständig die kompletten Kartensätze ausgewechselt werden.


Textsatz mit LaTeX
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
latex satz und tables am Beispiel Z2 x Z2  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-07
juergenX
J

2020-05-07 11:46 - rlk in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo juergenX,
willst Du die Tabellen in $\LaTeX$ formatieren wie der Titel andeutet oder in HTML?
Für den zweiten Fall könntest Du Dir
ansehen.
Du verwendest <tr/> nicht richtig, damit wird eine Zeile in einer Tabelle definiert, daher muss es zwischen und
stehen.


Servus,
Roland

ja danke!

In den answer postes hier muss man manchmal $\LaTeX$ und html irgendwie vermischen..
Da sind einige <tr/> zuviel hereingeraten...
Am besten sieht es aus wie sie es in wikipedia einsetzen.
Aber diese dort verwendete (oder verwandte?) Syntax habe ich noch nie gesehen.
Aber man sieht am obigen schon recht gut den Gruppenautomorphismuis $Z_2 x Z_2 \cong V_4$, der sich auf die Aufgabe bezieht.
Genau gesagt muesste man noch zeigen, dass isomorphe Grupem jeweis die gleich Anzahle von Elementen gleicher Ordnung habe MÜSSEN, indem man zeigt, dass fur gewisse $a,b,\varphi \in Z_4, \psi \in V_4: \varphi (a \cdot b) \ne \psi(a) * \psi(b)$ ist, wenn diese Vorrauss. nicht gegeben ist.

Hierbei sei
$\varphi(a)$ Permutation also Element aus $Z_4$ der Ordnug 4 wenn nicht id.
$\psi(b)$ Permutation also Element aus $V_4$ der Ordnug 1, 2 oder 4.
Ein richtiger Beweis dass isomorpe Strukuren die gleiche Anzahl von Elementen einer Ordnung haben muessen ist das noch nicht, liegt aber in dem Wort "strukturgleich" beinhaltet.

html:
Aus deinem link kannte ich das  < th > noch nicht.

Gutes Wetter
Mai frei

Textsatz mit LaTeX
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
latex satz und tables am Beispiel Z2 x Z2  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-05
juergenX
J

Vielleicht kann man die unteren tabellen schöner machen, so wie in

Versuch, die Isomorphie von Z2 x Z2 zur V4 zu "sehen"
An sich muss man jeweils die Ordnung der Elemente b,c,d überprüfen, also der je 6 Permutationen. Das ist recht leicht, es sind alles Spiegelungen.
Dann haetten wir einen Gruppenautomorphismus von $\displaystyle Z_2 \times Z_2 \Leftrightarrow V_4$.

$\displaystyle a\equiv <id>, b\equiv (12)(34), c\equiv (13)(24), d\equiv (14)(23)$.
$\displaystyle bc = cb = d, bd = db = c , cd = dc = b$. b,c,d haben Ordnung 2. ord (a) =1.

Ich weiß nicht nehme aber stark an, dass man in wikipedia mit html 5 arbeitet, kennt sich wer aus?

$\displaystyle a \equiv (0,0), b \equiv (0,1), b^2 = a \equiv <id>, c \equiv (1,0), c^2 = a \equiv <id>, d \equiv (1,1), d^2 = a \equiv <id>$.

<tr/> <tr/>
+ (0,0)(0,1)(1,0)(1,1)
(0,0)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)
(0,1)(0,1)(0,0)(1,1)(1,0)
(1,0)(1,0)(1,1)(0,0)(0,1)
(1,1)(1,1)(1,0)(0,1)(0,0)
(1,2)(1,0)(1,1)(0,0)(0,1)


<tr/>
+ (a)(b)(c)(d)
(a)(a)(b)(c)(d)
(b)(b)(a)(d)(c)
(c)(c)(d)(a)(b)
(d)(d)(c)(b)(a)


Danke für Kenntnisnahme. . Ok thats it :)

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Marie97
Kleinsche Vierergruppe isomorph zu ℤ₂⨯ℤ₂  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-05
juergenX
 

Man nehme einfach eine 4 elementige Menge bestehend aus a;b;c;d

In einer Gruppe mus es eine <id> geben:
a->a
b->b
c->c
d->d

Angenommen, wir wuessten nicht wie oben gesagt, dass es nur folgende 2 strukturfremden Gruppen der Ordnung 4 gaebe.

Man kann man a noch auf b auf c auf d auf a abbilden: zyklische Gruppe (1)$Z_4$.
Durch Umnummerierung der a,b,c,d geht auch noch: a auf c auf b auf d auf a., was eine zu o.a. $Z_4$ isomorphe (strukturgleiche) Gruppe ergibt.

Zeige: es gibt eindeutige Inverse.
Man kann  
a noch auf b auf a (Ord 2)
a noch auf c auf a (Ord 2)
a noch auf d auf a (Ord 2) abbilden.
Zeige: es gibt eindeutige Inverse.

Das ist die sog. (2) $V_4$.
a b c d koennen auch Paerchen sein (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) oder anderes.

Entscheidend ist:
Zeige: es kann ausser den beiden Abbildungsmoeglichkeiten (1) und (2) von a,b,c,d keine anderen geben, die die Gruppenbedingungen voll erfuellen!

Anm.:

Das zeigt dann:
"Liste alle Untergruppen von S4 auf, die isomorph zu der Gruppe Z2×Z2 sind."

Es gibt nur eine, die V4.

Stochastik und Statistik
Schule 
Thema eröffnet von: johnson0815
Aktuar: Mit Risiken rechnen?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-01
juergenX
J

Ich grüße das 40000ste Mitglied!
Kann man überhaupt aus der Vergangenheit auf die Zukunft schliesen?
Vielleicht versucht man das in der Versicherungsbracnche?

Zahlen - Darstellbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: OliverFuchs
Jede ganze Zahl n∈ℕ ist Summe von Primzahlen.  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-30
juergenX
 

Das eine ist ja die starke Goldbachsche Vermutung, dass jede gerade Zahl >4 alsumme 2er ungerader primzahlen darstelbar ist, wobei 1 nicht als primzahl gilt
$\displaystyle x=a+b, a,b>1$, a und koennen gleich sein, 1 ist keine Primzahl.
$\displaystyle 4 = 2+2$
$\displaystyle 6 = 3+3$
$\displaystyle 8 = 3+5$
$\displaystyle 10 = 3+7$
$\displaystyle 12 = 5+7$
$\displaystyle 14 = 7+7=3+11$
$\displaystyle 16 = 5+11=3+13$
$\displaystyle 18 = 5+11=3+13$

usw.
dafüt gibt es noch keinen endgültigen Beweis.
für die Goldbachsche Vermutung, gilt, dass jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, Summe dreier Primzahlen ist
$\displaystyle 7  = 2+2+3$
$\displaystyle 9  = 2+2+5$
$\displaystyle 11 = 2+5+5 = 2+2+7 = 3+5+3$
$\displaystyle 13 = 3+3+7 = 3+5+5$
es gibt immer mehr gültige Partitionen von n in Primsummanden, je höher der Summand ist.

Dafür liegt ein Beweis von Iwan Matwejewitsch Winogradow vor, der aber die Richtigkeit der Riemann Vernutung voraussetzt.

In o.a. Artikel finden sich viele Ansaetze für gerade und ungerade Zahlen  und deren Darstellungs als Summe endlich vieler Primsummanden.

$\displaystyle 14=2+2+2+2+2+2+2 = 2+3+3+3+3 = 5+3+3+3 = 7+7 =11+3$ etc..
$\displaystyle 15=5+5+5 = 2+3+5+5 = 11+2+2+2 = 13+2  = 11+2+2 = 7+5+2$  etc..

Eine Abschätzung, dass alle gerade oder ungeradne Zahlen oberhalb einer Grenze durch eine Minimazahl von PrimSummanden darstellbar ist  fand ich noch nicht..
Ein Computerprogramm, dass die maximale Partionsanzahl m einer beliebigen $\displaystyle z \in Y$ liefert liesse sich aber finden.
Mein Vermutung also die stärkste schwache Goldbachsche_Vermutung (ssGV) wäre, dass m=3 ist bliebe Imho noch zu zeigen. Wenn die starke Goldbachsch Vermutung gilt,
so gilt auch ssGV.

Und somit 3a 3b aus dem letztem Beitrag


3a. Fall: ist $n=3k+1$ und $k=1$ so ist $n=3+1=4=2+2$ also Summe der Primzahlen $2$.

3b. Fall ist $n=3k+1$ und $k>1$ so ist $n=3(k-1)+3+1=3(k-1)+4 = 3(k-1)+2+2$, also $n$ wieder die Summe der Primzahlen $2$ und $3$.

also n wieder die Summe der Primzahlen 2 und 3. Damit habe ich ,so hoffe ich, gezeigt, dass jede natürliche
Zahl als Summe der Primzahlen 2 und 3, und damit als Summe von Primzahlen, geschrieben werden kann.


Bisher bewiesen ist:

(10) 1995 bewies Olivier Ramaré, dass jede gerade Zahl Summe von höchstens m= sechs Primzahlen ist. doppelte Vorkommen erlaubt
(11) 2012 bewies Terence Tao, dass jede ungerade Zahl größer als Summe von höchstens m= fünf Primzahlen ist, doppelte Vorkommen erlaubt, und erbesserte damit das Resultat von Ramaré.

Somit sind wir von der sehr starken schwachen Goldbachschen Vermutung ssGV mit m=3 doch noch ewtas enfernt..
Es wäre sicher mal interesant den Algorithmus für (10) und (11) anzugeben und zu schreiben.






Kombinatorik & Graphentheorie
Schule 
Thema eröffnet von: Oez
Geburtstagsparadoxon  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-27
juergenX
 

2020-04-27 15:19 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
2020-04-27 14:58 - Oez im Themenstart schreibt:
Wie viele Schülerinnen und Schüler muss eine Schule haben, damit garantiert an zwei verschiedenen Tagen beides mal zwei oder sogar noch mehr Schülerinnen und Schüler Geburtstag haben?

[...]

Und bei der letzten Frage 730 Schüler angebe?

wenn man Schaltjahre außer acht laesst:

Eher 3*365 =1095, dann erst kann mit 100% sicherheit ein 3er Klumpen entsehen mein ich hmm. wenn die Frage so gemeint ist.
minimal 3 koennten auch schon reichen. Was kann bei 1094 auftreten? oder 731?
Die frage ist auch miss-verstaendlich 2 mal 2 mal was ?
also 2 am 1. mai oder beliebig und 2 oder mehr an irgendein anderen tag so Versteh ich das ?



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]

Teilbarkeit
Schule 
Thema eröffnet von: Oez
Teilbarkeit  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-26
juergenX
J

Die Zahl Z ist 10x+y mit y=0.
die Quersumme von Z ist x. (x>0, x <=9 erlaubt)
Teilt also x 10*x ohne Rest?
Ist die Aussage $x |10x$ wahr? Sicher, denn 10x = 10 mal x.






[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Polynom 6-ten Grades  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-26
juergenX
J

Anmerkung:
Grade in schreibe laune befindlich ;)
Ich gehe natürlich erst mal davon aus, es gäbe eine Lösung in Radikalen, also einen Kompositionsreihe
$\displaystyle G_0\supset G_1 \ldots \supset G_n \ldots \supset <id>$., obwohl das eher die Ausnahme ist.
Obwohl der Anteil der wirklich ein Radikaleerweiterungen zerfallender quintics oder "Sextics und Septics" marginal ist. Und ich wuesste auch kein Schnelltrick irreduzible (un)lösbare von anderen zu unterscheiden.
Überhaupt irrduzible zu finden, geht mit demn modulo 2 Trick ganz gut.

$\displaystyle G_0$ nennen wir  hier die Galoisgruppe also eine Gruppe von bijektiven Abbildungen des Körpers $L  \supset \dots \supset  Q$ in sich so, dass zumindest die Nullstellen eines gegebenen Polymons nten Grades
auf eine andere Nullstelle desselben gegebenen Polynoms in einem möglichst kurzen Körperturm K_n ist mit $\displaystyle K_0  \supset K_1 \supset K_n$

Gute Diplomarbeit hierzu (duerfte vielen bekannt sein):



Und werde das noch,am von vorn nach hinten durcharbeiten, welch Algorithm er da bei/für/durch die verehrte (naja, sagen wir klar in der Darstellung) Frau Prof Eick einführft, deren sehr  korrekte Art ich persönlich schätzen lernen konnte, selbe Uni!

Die Frage ist auch, ist der Aufwand geringer erst die Galoisgruppe ohne Nullstellen zu finden oder umgekehrt. Zumindest eine zu wissen führt uns weiter über elementarsymmetrische andere zu "erraten". Also ist das konjugiert komplex auch automatisch möglich? Wenn $\displaystyle a+bi$
Loesung ist und $\displaystyle a-bi$ auch, das heisst aber nicht automatisch, dass $\displaystyle C_2$ sich in der Normalreihe inter G_0 befindet.
"Gegen"-beispiel $\displaystyle f(x)= x^3-2$, wo wir

$\displaystyle x_1, x_2=\sqrt[3]{2} *\left(-\frac{1}{2}\pm\frac{i\sqrt{3}}{4}\right)$ finden.
also das mir  dem rausdividieren von Kreistelungpolynomen geht so
nicht in  vorliegendem Fall, der wahrscheinlich ein "unloesbarer" in Radikalen ist also die galoisgruppe effektfrei war das der richtige Ausdruck?
danke

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Polynom 6-ten Grades  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-26
juergenX
J

ich denke hier mal weiter bis irgendwer protestiert😁

DiePolynom division: $\displaystyle x^6+x^4+x^2+x+1/x^2-x+1$ geht nicht auf.

Kann ich daraus schliessen, dass obige Annahme, dass die 6te E-wurzel $\displaystyle \alpha = e^{\frac{pi}{3}}$ keine geeignete algebraische Koerpererweiterung die zu den gesuchten Nullstellen führen könnten?

Des weiteren haben ja alle Polynome $\displaystyle h(x)*(x^2-x+1)$ also alle Elemente des Hauptideals $\displaystyle (x^2-x+1) \in Q[x]$ Nullstellen wie $\displaystyle \alpha,\alpha^2,\alpha^3=-1,\alpha^4,\alpha^5$.
Edit genau geagt nur $\displaystyle \alpha,\alpha^5$.

$\displaystyle x^6+x^4+x^2+x+1$ liegt nicht hierhin, wie die Polynomdivision zeigt.

Ich versuche einen geeigneten Ansatz zum finden der Nullstellen und/oder Galoigruppe eines beliebigen Polynoms vom Grad > 4 zu finden.
Wenn es irreduzibel ist muss dann nicht irgendeine E-wurzel als KE weiterführen?

Ich habe $x^6+x^4+x^2+x+1$ testweise durch alle Kreisteilungspolynome 1,2,3,4,5,6,8,12
siehe


dividiert, aber überall bleibt ein Rest.
Ein sehr Interssantes Minimalpolymom ist auch ist auch noch das des goldenen Schnittes $\displaystyle \Theta: \theta(x)=x^2-x-1$.


Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Polynom 6-ten Grades  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-24
juergenX
J

2016-08-04 08:16 - weird in Beitrag No. 45 schreibt:
2016-08-04 07:42 - juergen007 in Beitrag No. 44 schreibt:
Die Permutationen in der Galoisgruppe  sind demnach <math>\sigma_1  = id, \sigma_2 = (13), \sigma_3 = (24), \sigma_4 = (13)(24)</math>.
also nicht die Kleinsche Vierergruppe V.

Offenbar verstehen wir beide unter "Kleinscher Vierergruppe" etwas anderes. Für mich ist es einfach ganz allgemein die nichtzyklische Gruppe der Ordnung 4, was hier ja zutrifft, für dich aber möglicherweise die ganz spezielle Gruppe bestehend aus den Permutationen

id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)

also dann eine andere nichtzyklische Untergruppe der <math>S_4</math> der Ordnung 4.

Und ja, bezüglich weiterer Fragen zur Galoistheorie mach einfach einen neuen Thread auf. Es werden sich sicher Leute finden, die dir dort antworten, sogar für mich selbst würde ich das - je nach Gemütsverfassung - jetzt nicht von vornherein ausschließen!  ;-)  


Das war übrigens der Thread, nach dem ich suchte bez. der kurzen exakten Sequenzen den ZetaX einwarf.
Ich versuche das lieber (noch) nicht zu vertehen..

Danke für das Bemühen an weird!
Zur weiteren Übung suchte ich mal ein in Q[x] irreduzibles Polynom 6ten Grades um dessen Nullstellen und Galoisgruppe zu finden.

Ich weis durch nachrechnen, dass im Polynomring  $Z[2][x]$ (schreibt man da jetzt gross oder klein x)
$\displaystyle f(x)= x^6+x^4+x^2+x+1$ irreduzibel isr einsetzen aus  $\displaystyle W= \{0,1\}$ immer 1 ergibt.

Also ist auch $\displaystyle g(x)= x^6+3x^4+x^2-x+1$ irreduzibel in $\displaystyle Q[x]$, denn wenn man die Koeffizienten  g(x) modulo 2 reduziert kommt man
gerade auf $f(x)$. Wie jetzt weiter?

Das 6. Kreisteilungspolynom ist $\displaystyle h(x) = x^6-1$. oder einfacher $\displaystyle x^2-x+1$ also 2. Grades
Dessen Loesungen sind ja genau alle 3 primitiven 6ten Einheitswurzeln:

$\displaystyle e^{\frac{2k*pi}{3}}, k = (1,3,5)$

Wahrscheinlich ist eine primitive 6te Einheitswurzel $\displaystyle e^{\frac{2*pi}{6}}$ geeignet, um eine einfache algebraische Körpererweiterung $\displaystyle K=Q(e^{\frac{pi}{3}}) = Q(\frac{1+i\sqrt{3}}{2})$ von Q zu erzeugen, in der die Nullstellen von $\displaystyle g(x)$ liegen koennen oder wir mussenK noch einmal um ein $\omega$ erweitern.
Nenne $\displaystyle \frac{1+i\sqrt{3}}{2} =\alpha , Q(\alpha)=K$, Grad $\displaystyle |K|/|Q|=2$.
Wir brauche dazu mindestens eine weitere Körpererweiterung $K(\omega)$ vom Grad 3 so dass $\displaystyle |L|/|K|=3, |L|/|Q|=6$.
Jetzt muesste man die Nullstellen von g(x) in einem L/K ausdruecken koennen..

Ich hoffe, das ist bis hierhin formal richtig gedacht, aber es fehlt ein algebraisches Element 3ter Ordnung $\displaystyle \omega$, damit alle $\displaystyle x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ sollen in $\displaystyle L=Q(\alpha,\omega)$ liegen.

Die Galoisgruppe von $\displaystyle L$ muesste die Ordnung 6 haben, stimmt das? Oder ein vielfaches da bin ich nicht sicher.

Und können wir g(x) in Elementen aus $K=\displaystyle Q(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}, \omega)$ ausdruecken?

also $\displaystyle g(x) =
(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5), x_0\ldots x_5$ in $L = Q(\alpha,\omega)$ liegen.
Könnte also etwa $\displaystyle x_0 = \alpha+\omega$ sein? (das waere reiner Zufall).
Zumindest ist
$\displaystyle x_0+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0$ und
$\displaystyle x_0\cdot x_1 \cdot x_2 \cdot \cdot x_3 \cdot x_4\cdot x_5=1$
um nur 2 der elementarsymmetischen Polymone hin zuschreiben




Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Was ist eigentlich eine Galoisgruppe?  
Beitrag No.119 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-17
juergenX
 

Ja stimmt .. es gabe auch eine Vorlesung hier an der TU über Galoisgruppen von einem Herren pr. Adelmann, zu Zeiten wo ich nich verfügbar war.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Was ist eigentlich eine Galoisgruppe?  
Beitrag No.117 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-17
juergenX
 

2018-08-26 08:08 - Ehemaliges_Mitglied in Beitrag No. 116 schreibt:
Ich beende den Thread und splitte den in 2
1- Idealbeweise LinkBeweis der Idealgesetze
3- Ringhomomorphismen LinkRinghomomorphismen

Thx erstmal das war sehr hilfreich insgesamt 😄
Jürgen



Ehemaliges_Mitglied war ich wohl hier wer war der Ex-Senior?
Für mich ist das noch nicht zu Ende leider
Wann ist was zu Ende ? wenn ich sagen kann ja das das ist klar wie Kloss brühe.
Jemand hatt sich seh viel Mühe gegeben mit zu erklären was die Galoisgruppe von x^5-4 ist nämlich ein semidirektes Produkt.
Ich finde das nicht mehr.  Es meldete sich jemand anderes der meinte es hätte was mit splittenden exakten sequenzen zu tuen. Heute weiss ich was besser was Sequenzen sind denk ich.
Nan könnte auch $f(x)=(x-a)^5-4+b$ betrachten was Nullstellen der
$f(x)=(x)^5-4$ nach um a rechts verschiebt  und um b nach unten.
Letzlich endete alles im meinen Missverstaädnissen der Ideal theorie.
Und es ist die Galoisgruppe die eine Invarianz gruppe ist und damit ein kern eines Einsetzungshomomorpismus von Ausdrücken in den Nullstellen eines Polynoms in Q[x].
Andre haben das besser formuliern koennen.
Dann hatte ich noch den thread  "wir lernen galois" gegründet, der leider einschlief, wg schlechter vorlage.

Dann habe ich irgendwie auch die Lust verloren vor erreichen des vollen Vertändnisses.
an sich sind sicher Buecher wie von der waaerden  geeignet.
Leider habe ich probleme mit kleiner Schrift.
Sinnig wäre die totale durcharbeitund diese buches.
Gibt es das als PDF?
Weiss wer so dieser thread mit den Einwuerfen ueber Sequenzen ist?
Mein Ehrgeiz ist wirklich volles verataendnis
Wann hat man volles verataendnis wenn man es jemand dritten vermitteln kann.
Unnklar ist nicht der Haupsatz eher die Folgerung (Korollar) Aufloesbarkeit der Gruppe in Normalreihen zu Aufloesbarkeit des Polynoms in radikal erweiterungen.
Danke









Programmieren
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Realisierung der Logarithmusfunktion in C  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-12
juergenX
 

2020-04-11 11:27 - crisp in Beitrag No. 11 schreibt:
2020-04-09 18:36 - juergenX in Beitrag No. 7 schreibt:
Schick mal was du hast als PM das waere nett:)

Es ist ein Contest :)

Frohe Ostern
und nichts für ungut...
lol
hätte ich das nicht gesagt würdest du gar nicht kennen ;)
Also feste conteste:)
Jetzt musste dich auch einschreiben und ne gute Lösung mit gmp_lib anbieten!
Mit der Loadlibrary check ich nicht sorry.
Mir ging um den prinzipiellen Algorithmus, d.h. wirlich den
Konkreten oder auch nicht diskreten Exponenten zu einer festen Basis sagen wir 29 zu finden.
meinetwegen nimm die Superzahl von oben:
Data
x=56191779941199568261718534306894018908396678623777478504315980789486786568011594584548956655395926010106375918646401469633245745563665854904711355867220707990646817
vereinfacht 
y=56191779900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Man kann sicher auf 10 stellige Doubles zurückgreifen und
$log_{29}(y/10^{155)}$ oder $log_{29}(y)- 155*log_{29}(10)$ berechnen.

Wie nahe ist man dann an einer glatten Potenz von 29?
Der Rest zu einer glatten Potenz soll ja minimieret werden.
Wenn unbefriedigend, teste halt eine andere Basis bis 40 etwa.
und wie das z.B. auch in Java impelemtiert?










Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: haegar90
Anzahl bestimmter Primzahlen in Collatzfolgen  
Beitrag No.25 im Thread
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juergenX
 

2020-04-09 19:23 - haegar90 im Themenstart schreibt:

Mit $k \in \mathbb{N_G}$

$$p^*:=4k+1,\;\;p^*\in \mathbb{P^*}=\lbrace17, 41, 73, 89, 97, 113, 137,\dots\rbrace$$


was mir auffaellt das die wenigen Primzahlen die du nennst reguläre Primzahlen sind.  (Folge A007703 in OEIS).
Sicher hat das Collatz vermutung etwas in irgendeiner Weise mit Primzahlen zu tun. Mehr kann ich dazu nicht sagen. Und das bestimmte Zahlen signifikant gehäuft also bei 24 mal und mehr in Collatzfolgen vorkommen, sogar wenn ich nur anfangszahlen bis 1000 betrachte, und manche nur 1 mal.

Programmieren
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Realisierung der Logarithmusfunktion in C  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-10
juergenX
 

2020-04-10 14:36 - hyperG in Beitrag No. 8 schreibt:
Natürlich kann man Log auch iterativ bestimmen, aber das wird bei großen Zahlen langsam.


Etwa 1 s unoptimiert.


"Natürlch" geht es um den Al Zimmermann programing test d.h. der spornte mich zum Loagrithmus berechnen zu an.

z.B. Rest freie Summen einer potenzsumme  zu finden oder eben mit möglichst geringem rest zu einer glatten Pptenz.
 
Bsp.:
1^7 + 3^7 + 5^7 + 9^7 + 12^7 + 14^7 + 16^7 + 17^7 + 18^7 + 20^7 + 21^7 + 22^7 + 25^7 + 28^7 + 39^7 =40^7

bei Zimmermann soll man exponenten 16-40 nehmen.

Das zu lesen


hilft;)

Ich hatte die Idee, mit brute force und einer festen Basis sagen wir exp = 23 beliebiges $s=a^{23}+b^{23}+c^{23}+ \dots = z^{23}$ aufzusummieren und halt irgendwie die Reste von s zu glatten Potezen zu finden. Idealfall r = x^23-s = 0$
Wenn der Logarithmus zur Basis 23 nahe einer natuerlichen n ist, kann man durch Ruecktests feststellen, ob die Näherung gut war. Kleine Unterschiede zu einer natuerlichen n im Logarithm sagen kleine Reste vorraus.
Beteiligt sich sonst noch jemand?







Programmieren
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: juergenX
Realisierung der Logarithmusfunktion in C  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-09
juergenX
 

2020-04-09 08:57 - crisp in Beitrag No. 6 schreibt:
Hi Juergen,

willst du nun eigentlich logarithmen berechnen oder Wurzeln ziehen?

Grüße
Carl

Es ging mir darum: Ist eine gegebene Sehr grosse Zahl x eine Potenz
d.h ja gibt es $b,x \in N: log_b(x) \in N$ und $b^{log_b(x)}=x,b,x,log_b(x) \in N$.
Also ist x eine glatte Potenz, Basis und Exponent beliebig aus N.
Wahrscheinlich geht das auch ohne Logarithmus..
Schick mal was du hast als PM das waere nett:)
 

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