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Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Zusammenhang orthogonale Matrix und Skalarprodukt  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 09:07
levin_chich
 

Ich würde gerne folgende Äquivalenz zeigen:
\(S\) sei die Einheitssphäre auf \(\mathbb{R}^{n}\) bezüglich einer Norm \(\|.\|\).
Die Norm \(\|.\|\) wird durch ein Skalarprodukt induziert \(\Leftrightarrow \) es existieren \(a_{1},\ldots,a_{n}\in\mathbb{R}_{> 0}\) und eine orthogonale Matrix R mit \(S=\left\{Rx\in\mathbb{R}^{n};\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}=1,x\in\mathbb{R}^{n}\right\}\).

Meine erste Idee war es \(R\) so zu wählen, dass die Spalten jeweils die Vektoren aus der ONB sind, die ja existiert laut Gram Schmidt. Dann konnte ich aber nicht zeigen, dass \(Rx\) in \(S\) liegt.
Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Beitrag No.17 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-03
levin_chich
J

Vielen Dank lieber Diophant und Triceratops, dessen Diagramm mein Verständnis von 0 auf 80 katapultiert hat!

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-03
levin_chich
J

OK. Demnach hätte man bezüglich des allgemeinen Falles also folgende Vorgehensweise:

- Es soll \(\varphi^{-1}(3,4)\) berechnet werden. Dabei ist \((3,4)\) bezüglich irgendeiner Basis \(C'\).
- Ich berechne die \(C'\) Koordinaten (3,4) in \(C\) Koordinaten um.
- Das mache ich, indem ich die Basiswechselmatrix von \(C'\) nach \(C\) benutze. Diese sei \(T_{C'C}\).
- Die \(C\) Koordinaten berechnen sich dann durch: \(v=T_{C'C}\cdot(3,4)^{t}\).
- Nun muss das LGS \(M_{BC}(\varphi)x=v\) nach \(x\)) aufgelöst werden.
- Das sind dann aber die \(B\) Koordinaten von \(x\).
- Will ich aber zurück zu irgendeiner Basis \(B'\), so bemühe ich die Basiswechselmatrix von \(B\) nach \(B'\): \(T_{BB'}\).
- Meine gesuchten \(B'\) Koordinaten der Lösung sind also \(T_{BB'}\cdot x\).

Richtig?

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-02
levin_chich
J

Ist es so, dass ich dann die Darstellungsmatrix von \(\Phi_{C}\), \(T_{C}\), ermittle und dann das Gleichungssystem \(T_{C}M_{BC}(\varphi)x=(2,5)\) nach \(x\) auflöse? Wobei das dann ja irgendwie kompliziert wird. Kann man das irgendwie konzeptioneller machen?

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-02
levin_chich
J

OK. Das sehe ich ein. Für diese spezielle Wahl von \(C\) habe ich nur das LGS zu lösen. Was wäre, wenn \(C\) nicht die Standardbasis wäre?

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-02
levin_chich
J

Bezüglich der Basis \(B\).
Ich habe ja das Diagramm von Triceratops:
Es ist demnach \(\varphi\circ \Phi_{B}=\Phi_{C}\circ M_{B,C}(\varphi)\)
Ich muss demnach das LGS \(\Phi_{C}\circ M_{B,C}(\varphi)(x)=(2,5)\) nach \(x\) auflösen.
Zuvor könnte ich aber die Basis des Bildes von \(\varphi\) ausrechnen. Und damit müsste es dann weitergehen.

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-02
levin_chich
J

Jetzt habe ich doch noch eine Frage:
Wie berechne ich \(\varphi^{-1}(2,5)\)?

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Fortsetzung einer gleichmäßig stetigen Funktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-27
levin_chich
 

Es sei \(f:I_{x_{0}}\longrightarrow\mathbb{R}\) eine gleichmäßig stetige Funktion wobei \(I_{x_{0}}=I\text{ ohne }x_{0}\) und \(I=[a,b]\) mit a<b.
Ich soll nun zeigen, dass es eine stetige Fortsetzung \(F:I\longrightarrow \mathbb{R}\) von \(f\) gibt.

Wenn es so eine stetige Fortsetzung gibt, muss es wegen der Kompaktheit von \(I\) auch gleichmäßig stetig sein. Zudem muss ja \(F(x_{0})=\text{lim}_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\) gelten.
Ich muss ja nun zeigen, dass \(F\) stetig ist.
Hat jemand eine Idee, die mich in die richtige Richtung lenken kann?
Beste Grüße,
Levin

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-27
levin_chich
J

Danke.
Ehrlich gesagt, war das keine Übungsaufgabe. Ich habe mir die Zahlen selbst ausgedacht, wodurch es leider zu Unstimmigkeiten kam.
Ich gelobe Besserung und bedanke mich.
Levin.

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-27
levin_chich
J

Danke für die Antwort!
Dann wollen wir mal das Bild berechnen.
Wir haben \(B=(b_{1},b_{2},b_{3})\).
Meine Basis des Kerns der Darstellungsmatrix ist (2,3,4).
Nun gilt
\(\Phi_{B}((2,3,4)^{t})=2\Phi(e_{1})+3\Phi(e_{2})+4\Phi(e_{3})\)
Das ist \(=2b_{1}+3b_{2}+4b_{3}=(-1,2,10)\).
Deshalb ist \((-1,2,10)^{t}\) eine Basis des Kerns von \(\varphi\).
Ist das richtig?
Danke nochmal.
Levin.

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26
levin_chich
J

2021-01-26 23:19 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Mit deinem Kern kann schon rein dimensionsmäßig etwas nicht stimmen.
Stimmt. Habe nun die fehlende Komponente ergänzt!
Danke für den Hinweis!
Levin

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26
levin_chich
J

Hallo Diophant,
danke!
Muss ich denn nicht noch irgendwas umrechnen? Ich meine wegen der speziellen Wahl der Basen \(B,C\).
Vielen Dank für die Antwort!
Levin

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Basis des Kerns einer linearen Abbildung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26
levin_chich
J

Hallo!

Ich habe eine lineare Abbildung \(\varphi:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}\).
Ich statte \(\mathbb{R}^{3}\) mit der Basis \(B=((1,1,1)^{t},(-1,0,0)^{t},(0,0,2)^{t})\) und \(\mathbb{R}^{2}\) mit der \(C=((1,0)^{t},(0,1)^{t})\) aus.
Danach habe ich die Darstellungsmatrix \(M_{B,C}(\varphi)\) von \(\varphi\) ermittelt.
Nun möchte ich eine Basis des Kerns von \(\varphi\) ermitteln.
Ich habe nun die Gleichung \(M_{B,C}(\varphi)x=0\) nach \(x\) aufgelöst und habe
\(x=(2\lambda,3\lambda,4\lambda)^{t}\) mit \(\lambda\in\mathbb{R}\) gefunden.
Nun würde ich gerne eine Basis des Kerns angeben.
Wie gehe ich vor?
Vielen Dank und schönen Abend.
Levin.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Abgeschlossene Mengen  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21
levin_chich
 

Komme leider auf keinen grünen Zweig. Dennoch Danke für eure Hilfsbereitschaft und Tipps.
Levin

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Abschluss von M in A, wenn M ⊆ A  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21
levin_chich
 

Hallo Buri,
danke für das Feedback. Dann versuche ich es weiter.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben? Oder ist es so einfach, dass jeder weitere Tipp direkt zur Lösung führen würde?
Levin.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Abschluss von M in A, wenn M ⊆ A  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21
levin_chich
 

Ich glaube ich habe es nun:
Es ist A abgeschlossen und \(M\subset A\). Da A abgeschlossen ist, muss deshalb auch \(\partial M\) in A enthalten sein. Was aber bedeutet, dass x in A enthalten sein muss. Das ist ein Widerspruch.
Passt das so?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Abschluss von M in A, wenn M ⊆ A  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21
levin_chich
 

Hallo Diophant,

so ganz sicher bin ich mir leider noch nicht. Bin ziemlich verwirrt. Mich wundert nur, das ich bisher an keiner Stelle die Abgeschlossenheit von A benutzt habe.
Levin

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Abschluss von M in A, wenn M ⊆ A  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21
levin_chich
 

Da \(x\overline{M}=M\cup \partial M\) kann ich folgendermaßen weitermachen. Es gilt nämlich \(x\in M\) oder \(x\in\partial M\).
Im Fall \(x\in M\) ist der Widerspruch offensichtlich. Nun versuche ich den kniffligen zweiten Fall.
Es sei also \(x\in \partial M\). D.h. also für alle r>0 \(B_{r}(x)\cap M\neq\emptyset\) und \(B_{r}(x)\cap M^{c}\neq \emptyset\).
Nun muss ich hieraus einen Widerspruch basteln.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Abschluss von M in A, wenn M ⊆ A  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21
levin_chich
 

2021-01-21 17:12 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Muss es denn ein indirekter Beweis sein?
Nein. Es kann natürlich auch ein direkter Beweis sein.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: levin_chich
Abschluss von M in A, wenn M ⊆ A  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21
levin_chich
 

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-01-21 17:00 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
\(x\in A\wedge B_r(x)\cap A=\emptyset\) ist doch der Widerspruch.
\(\endgroup\)
Hallo,
könntest du mir das erklären? Es gilt doch zunächst nur \(x\notin A\). Also \(x\in A^{c}\).
 

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