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Forum
Thema Eingetragen
Autor

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Silenus
Existenz einer Basis eines endlich erzeugten Vektorraums  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-24 00:49
ligning
 

Hallo,

ich kann dir nicht ganz folgen. Wieso genau ist $U$ jetzt endlich erzeugt?

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Welche Module soll ich wählen?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-22 19:24
ligning
 

Dich interessieren alle drei nicht? Für welche Gebiete interessierst du dich denn?

Analysis
  
Thema eröffnet von: Flatty
Ist 1 geteilt durch 0 eine Konstante?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-18 11:50
ligning
 

Ich versuchs nochmal anders. In dem Thread über Korrespondenzen wird ja deutlich, dass du gerade mit den Grundlagen der Logik beschäftigt bist. Also vergessen wir hier gleich mal die ganzen Limes-Argumente, es gibt nämlich a priori überhaupt keinen Anlass, die Frage nach der Definition von 1/0 an irgendwelche Grenzwerte zu koppeln.

Du sagst, jede "Berechnung" habe ein eindeutiges Ergebnis. Was ist denn damit gemeint, was ist denn eine "Berechnung"? Und ist die Aussage dann nicht trivial?

Betrachte die Gleichung $ax = b$, wobei $a$ und $b$ beliebige reelle Zahlen sind. Es stellt sich nun die Frage, ob die Gleichung gelöst werden kann.

Man stellt fest:
Wenn $a\neq 0$ ist, dann gibt es eine eindeutige Lösung.
Wenn $a=0$ und $b=0$ sind, dann ist jede reelle Zahl eine Lösung.
Wenn $a=0$ und $b\neq 0$ sind, dann gibt es keine Lösung.

Dadurch motiviert definiert man für den Fall, dass die Lösung existiert und eindeutig ist, d.h. falls $a\neq 0$ ist, die Operation $\frac{b}{a}$ als dasjenige $x$, was die Gleichung löst.

Es kommt also zuerst die Eindeutigkeit und dann die Berechnung. Für $a=0$ ist die Division schlicht und ergreifend nicht definiert, weil die dahinterstehende Fragestellung keine eindeutige Lösung hat. Man kann das ganze allgemeiner für Körper (also Strukturen, in denen man mehr oder weniger wie gewohnt rechnen kann) betrachten und kommt zum gleichen Schluss.

Es gibt Strukturen, die eine sinnvolle Definition für eine Division durch Null haben. Siehe den MP-Artikel von Martin_Infinite Division durch Null - warum nicht?.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Rentner
Irreduzible Polynome, Wikipedia richtig?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-15 00:14
ligning
 

Da steht ja "über K", $K$ ist dabei ein beliebiger Körper. Was du sagst stimmt über $\IR$, wegen dem Zwischenwertsatz. Über anderen Körpern muss das nicht stimmen, z.B. hat $X^3 - 2$ keine Nullstelle über $\IQ$.


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Polynome' von ligning]

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LernenWollen
Supremum und Infimum Verständnis am Beispiel  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-13 10:20
ligning
J

2020-02-13 09:42 - LernenWollen in Beitrag No. 10 schreibt:
Eigentlich hätte ich zu diesen beiden Funktionen angenommen, die Funktionen $k(x) = 2, b(x) = 0$ bildeten Join und Meet. Für den Meet stimmt das auch, für den Join ist das dann aber die Maximumfunktion.
OK.


Betrachte man nun, dass zu jedem $x \in \mathbb{Z}$ mindestens eine von zwei sonst beliebigen Funktionen definiert ist, dann gibt es ja stets ein Minimum und ein Infimum (innerhalb dieses Kontextes). Ist das korrekt?
Vielleicht, vielleicht auch nicht. Dass zu jedem $x\in\IZ$ "mindestens eine von zwei sonst beliebigen Funktionen definiert ist", ist zumindest sinnlos. Ich denke, du meinst das richtige. Ich denke aber auch, dass zu dem Thema schon längst alles gesagt ist.

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LernenWollen
Supremum und Infimum Verständnis am Beispiel  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-13 09:14
ligning
J

Ja. Aber in dem Fall ist das eben auch gleich $g_1$.

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LernenWollen
Supremum und Infimum Verständnis am Beispiel  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-13 08:19
ligning
J

Ich verstehe die Frage nicht.

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LernenWollen
Supremum und Infimum Verständnis am Beispiel  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-13 00:36
ligning
J

Mit dem punktweisen Minimum meine ich einfach die Funktion $h(x) = \min\{f_2(x), g_2(x)\}$. Also das Minimum für jedes $x$ separat genommen. Das ist die gleiche Bedeutung wie bei der punktweisen Konvergenz.

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LernenWollen
Supremum und Infimum Verständnis am Beispiel  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 23:59
ligning
J

2020-02-12 23:50 - LernenWollen in Beitrag No. 2 schreibt:
Trotzdem, wenn ich $f_1, g_1$ mit $f_1(x) = x, g_1(x) = x^2$ betrachte, glaube ich, dass ich immer noch als Join $g$ erhalte.
Das stimmt, weil $g_1 \geq f_1$ ist.

Der Grad ist hier aber völlig fehl am Platze, es geht ja um beliebige Funktionen, nicht um Polynomfunktionen.

Dein Beispiel für das Infimum stimmt aber nicht. Du bist davon ausgegangen, dass es entweder $f_2$ oder $g_2$ sein muss, das muss es aber nicht. Tatsächlich ist das Infimum das punktweise Minimum.

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LernenWollen
Supremum und Infimum Verständnis am Beispiel  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 21:32
ligning
J

Hallo,

es stimmt nicht, dass $a\sqcup b\in\{a,b\}$ sein muss. Geh deine Beispiele mal anhand der Definitionen durch.

Edit: Es ist bei dir nicht ganz präzise formuliert, aber ich gehe von $F = \{ f : \IZ \to \IZ \}$ aus.

[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Relationen und Abbildungen' von ligning]

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LamyOriginal
Isomorphismus zeigen  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 15:34
ligning
 

$i_1$ ist definiert als Abbildung $V\to V\oplus W$, $i_1(v) = (v,0)$. Der Kern ist $\mathrm{Kern}(i_1) = \{ v\in V\mid i_1(v) = 0 \} = \{ v\in V\mid (v,0) = (0,0) \} = \{ v\in V \mid v = 0\} = \{ 0 \}$.


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von ligning]

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LamyOriginal
Isomorphismus zeigen  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 15:09
ligning
 

Kannst du die Frage genauer stellen? Das sind schon sehr, sehr einfache Abbildungen, man braucht überhaupt keine Idee, sondern muss einfach die Definitionen einsetzen und kann dann eigentlich auch gar nichts falsch machen.

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LamyOriginal
Isomorphismus zeigen  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 14:41
ligning
 

Es wird nicht behauptet, dass $\pi_1$ ein Isomorphismus ist (und ist es i.A. auch nicht), sondern dass es einen Isomorphismus $V\oplus W \to W\oplus V$ gibt. Den muss man hier auch noch finden. Ich weiß nicht genau, wie die Aufgabe gemeint ist, zumal sie etwas unglücklich formuliert ist (Was soll "Auf $V\times W$ definieren wir die direkte Summe $V\oplus W$" denn bedeuten?).

Aber man kann das entweder nach der Konstruktion gehend machen, also im Wesentlichen zeigen, dass $V\times W\to W\times V$, $(v,w)\mapsto (w,v)$ linear ist und dass die entsprechende Abbildung für vertauschte $V$ und $W$ die Umkehrung dazu ist (was eigentlich offensichtlich ist.)

Da hier aber der ganze Zusatzapparat mit Injektions- und Projektionsabbildungen angegeben ist, soll es vielleicht auch darüber gemacht werden, also in einer kategorientheoretisch angehauchten Sprache...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LamyOriginal
Isomorphismus zeigen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12 14:18
ligning
 

Da gehts jetzt aber nicht um Gruppen- oder Ringhomomorphismen...

Wie dem auch sei: Oft empfiehlt es sich, einen Isomorphismus durch Angabe einer Umkehrabbildung zu zeigen. Das bietet sich auch hier an.

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: retsiwt
Inverses Element ermitteln - Gruppe beweisen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-11 15:33
ligning
J

Da du uns $M$ nicht mitgeteilt hast, kann man das gar nicht beantworten. Ich vermute aber, $M = \IR^2 \setminus \{(0,0)\}$. Mit $(0,0)$ wäre es keine abelsche Gruppe, denn dieses Element hat unter der gegebenen Operation in der Tat kein Inverses. Da das auch genau dein Problem war, müsstest du jetzt weiterkommen.

Denk danach mal darüber nach, ob dir diese Struktur irgendwie aus einem anderen Zusammenhang bekannt vorkommt...

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: retsiwt
Eigenschaften der binären Relation  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-09 15:58
ligning
 

Ich denke, ein Beispiel wirst du selbst finden, wenn du mal kurz darüber nachdenkst.

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: retsiwt
Eigenschaften der binären Relation  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-09 15:38
ligning
 

2020-02-09 15:27 - retsiwt in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich habe auch noch die binäre Relation auf R x {1} statt auf \(R^2\) betrachtet.

Dadurch fällt dann die 1 auf beiden Seiten weg und es ergibt sich die die Implikation \((\vert(x1)\vert) \ge  (\vert(y1)\vert \land \vert(y1)\vert \ge  \vert(x1)\vert \Rightarrow (x1,x2) = (y1, y2) \)
Ich versuche das einfacher zu schreiben. Wir haben die Relation $(x,1)R(y,1) :\Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 1} \geq \sqrt{y^2 + 1}$. Das ist äquivalent zu $|x|\geq |y|$, wovon man sich mithilfe der Monotonie der Wurzelfunktion leicht überzeugt. (Einfach "weglassen" reicht IMHO nicht.)


Kann man dann einfach das Gegenbeispiel

x = 4
y = 2

\((4 \ge  -2) \land (2 \ge  -4) \Rightarrow (4,1) = (2, 1)\)

so wählen, dass durch die unterschiedlichen Vorzeichen die Voraussetzung erfüllt ist oder muss man das anders aufschreiben?
Du hast nicht die Betragsstriche angewendet. Da müsste links stehen $|4|\geq|2|\wedge|2|\geq|4|$, was aber schon falsch ist. Dieses Beispiel ist kein Gegenbeispiel für die Antisymmetrie.

Relationen und Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: retsiwt
Eigenschaften der binären Relation  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-09 14:55
ligning
 

2020-02-09 00:14 - retsiwt im Themenstart schreibt:
Für Symmetrie und Antisymmetrie kann man jeweils Gegenbeispiele finden.

(x1,x2)R(y1,y2) <=> √((x1)^2 + (x2)^2) ≥ √((y1)^2 + (y2)^2)

1. reflexiv
2. transitiv
Das ist zwar richtig, aber so als reines Statement relativ sinnlos, du müsstest die Gegenbeispiele und Beweise schon angeben. Bestehe ich aber nicht drauf, wenn es dir selbst klar ist.


Und noch speziell zur Antisymmetrie: Was ist die formale Schreibweise?

Allgemein lautet es ja (x < y) ∧ (y < x) ⇒ x = y
Eigentlich $xRy\wedge yRx \Rightarrow x=y$. Deine Relation heißt ja auch $R$.


Muss es im konkreten Fall dann so sein?

√((x1)^2 + (x2)^2) ≥ √((y1)^2 + (y2)^2) ∧ √((y1)^2 + (y2)^2) ≥ √((x1)^2 + (x2)^2)) ⇒ (x1,x2) = (y1, y2)
Ja. (Falls da Klammerfehler drin sind, geht ich davon aus, dass du es so gemeint hast, wie es sinnvoll ist. Benutze bitte LaTex oder den Formeleditor.)


Und noch eine allgemeine Frage: Gibt es ein Symbol um zu verdeutlichen, dass die Implikation falsch ist und deshalb etwas daraus folgt (hier z.B. dass die Relation nicht antisymmetrisch ist)?
Ich glaube nicht.

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: retsiwt
Distributivität im Körper beweisen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-09 00:45
ligning
 

2020-02-09 00:06 - retsiwt im Themenstart schreibt:
Und ist es eigentlich auch möglich, die Gleichheit zu zeigen, indem man beide Seiten ausmultipliziert/auf die gleiche Form bringt?
Man muss Gleichheit zeigen, wie genau man das anstellt, bleibt einem selbst überlassen. (Aber wie du schon festgestellt hast, ist das ein Unterring von $\IR$ und Distributivität daher automatisch.)


Und noch allgemein zu Körpern: Muss dafür auch noch die Abgeschlossenheit gezeigt werden oder reichen abelschen Gruppen + Assozitiation?
Es muss auf jeden Fall gezeigt werden, dass die Verknüpfung auch wirklich eine wohldefinierte Verknüpfung ist. Wenn man wie hier und sonst auch sehr oft einen Unterring eines bekannten Rings hat, ist das das gleiche wie Abgeschlossenheit.


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Ringe' von ligning]

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kingdingeling
Darstellung von Zyklen als Transpositionen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-06 15:02
ligning
J

2020-02-06 14:58 - kingdingeling in Beitrag No. 5 schreibt:
Hi, bei mir sind am ende (x_m,x_1) und im Buch (x_1,x_m).
Es ist trotzdem das gleiche: Beide stellen die Vertauschung von $x_m$ mit $x_1$ dar.
 

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