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Stetigkeit  | |
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Hi,
Aha ok danke, fein. 🙂 Dann verwende ich die von dir angegebene Norm weiter oben.
Grüße |
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Stetigkeit | |
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Hi,
Danke ! :)
Ich hab nun mehrere Normen im Internet gefunden, die man beim kartesischen Produkt verwendet hat (also die von dir angegebene Norm, dann $\|(x,y)\| = (\|x\|^p + \|y\|^p)^{1/p}$ oder $ \|(x,y)\| = max\{\|x\|,\|y\| \}$ etc.) und in all diesen Fällen gilt ja $\|x\| \leq \|(x,y)\|$ - nur daher kam meine Vermutung, dass diese Ungleichung immer gilt :)
Grüße |
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Stetigkeit | |
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Hi,
die haben wir eben nicht definiert - aber durch ein wenig Recherche findet man ja ein paar Sachen. Danke für deine Antwort, mit der von dir angegebenen Norm wäre quasi die Konstante ja auch 1, da $\|f\|\|x\|\|y\| \leq \|f\|(\|x\|+\|y\|)(\|y\|+\|x\|) = \|f\|\|(x,y)\|^2$.
Beim Beweis wo die oben angegebene Ungleichung auftritt, ist es imo auch egal, mit welcher Norm man am kart. Produkt arbeitet, da die alle äquivalent sind und die von dir angegebene Norm erfüllt ihren Zweck, danke dir.
Grüße
P.S. soweit ich das bisher sehe, gilt eigentlich eh immer: $\|x\| \leq \|(x,y)\|$ für bel. $x\in X,y\in Y$.
Schönen Tag noch 🙂 |
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Stetigkeit | |
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Wenn da noch eine Konstante C dabei stehen würde, dann würde ich es verstehen, da man ja die Normäquivalenz auf endlich-dim. Räumen verwenden könnte. Und wie ich das gerade sehe, würde damit der Beweis ebenso funktionieren. Wurde diese Konstante also möglicherweise einfach unterschlagen bzw. ohne Einschränkung auf 1 gesetzt ? 😃
oder man hat einfach als Norm am kart. Produkt das Max. der beiden Normen genommen und dann mit der Norm-Äquivalenz argumentiert...🤔 |
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Stetigkeit | |
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Guten Morgen,
ich verstehe die folgende Abschätzung nicht ganz. $f:X\times Y \to Z$ alles normierte Räume mit endlicher Dimension und f linear in beiden Argumenten (und somit stetig bzw. beschränkt, ist ja äquivalent). In einem Beweis haben wir dann die Stetigkeit von f ausgenutzt und die 1. Abschätzung ist mir auch klar, allerdings verstehe ich die 2. nicht - warum kann man die Norm von $\|x\|$ (bzw. dann auch von y) durch die Norm am kart. Produkt abschätzen ?
$\|f(x,y)\|\leq \|f\|\|x\|\|y\| \leq \|f\| \|(x,y)\|\|(x,y)\|$ , $x\in X,y\in Y$.
Bzw. welche Norm am kart. Produkt ist damit denn gemeint ?
Besten Dank schon mal! |
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Integration | |
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Guten Morgen,
mit o.B.d.A. $a \in L^{\infty}(\Omega)$ meinte ich nur, dass wir jetzt $a$ als beschränkt voraussetzen (ist ja egal, welcher von den 3 Faktoren dies erfüllt solange es zumindest einer tut :)).
Übigens war ich gestern schlampig - $b$ und $c$ sollen nicht aus $W^{1,2}(\Omega)$ sein sondern aus $W^{1,2}_0(\Omega)$. Die von dir angeführte Einbettung ist mir bekannt (auch ich kann mir die nicht merken 😉)- allerdings stellt sich hierbei die Frage: Gelten die Einbettungssätze auch für $W^{1,2}_0(\Omega)$, sprich machen die "Nullrandwerte" womöglich Probleme ?
Dies ist ein Teil einer Aufgabe, bei der mir nur noch dies zu zeigen verbleibt: eben die Integrierbarkeit von $a b c$. Ich werde es nun nochmal mit den Einbettungen probieren, danke dir schonmal 🤗
Grüße
P.S. Die Nullrandwerte dürften keine Probleme machen, da ja $W^{1,2}_0(\Omega) \subset W^{1,2}(\Omega)$ gilt imo...
P.P.S Ok damit steht es dann eigentlich sofort da, wunderbar ! 🙂 Danke dir vielmals, auf den Tipp mit den Einbettungen wäre ich selber wieder nicht gekommen...🙄 |
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Integration | |
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Hallo sonnenschein96,
Danke dir - ich dachte mir bereits, dass dies so nicht stimmt. So ein konkretes Beispiel, wie du es angegeben hast, wäre mir allerdings nicht eingefallen 🙂 Es geht um eine aktuelle Übungsaufgabe. Normalerweise haben wir da immer gefordert, dass o.B.d.A $a \in L^{\infty}(\Omega)$ ist.
Gruß
P.S. $b$ und $c$ sollen übrigens $W^{1,2}-$Funktionen sein. Doch auch das denke ich genügt nicht, dass das Produkt in $L^1$ liegt. Oder ist die Eigenschaft eine Sobolev-Funktion zu sein dafür ausreichend ? Ich sehe nicht, wie. 😃 |
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Integration | |
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Hallo im neuen jahr,
gegeben 3 Funktionen $a,b,c$ mit $a,b \in L^2(\Omega)$, $c \in L^{n/2}(\Omega)$ für $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ beschränkt und $n \geq 3$. Zeigen möchte ich nun die Integrierbarkeit vom Produkt $a b c$, also $\int_{\Omega}a(x) b(x) c(x)\,dx < \infty$. Das macht man natürlich mit der Hölder-Ungleichung...allerdings bekomme ich es mit den Hölder-Exponenten noch nicht richtig hin, da dann jedes mal einer kleiner als 1 wäre. Nun stelle ich mir die Frage ob obiges Produkt i.A. überhaupt in $L^1(\Omega)$ liegt...
Freue mich über Tipps/Anregungen
Grüße |
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Funktionalanalysis | |
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Funktionalanalysis | |
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Hallo piquer,
Die Angabe wurde mittlerweile korrigiert - es handelt sich um $W^{1,2}$ und $f$ soll aus $L^2(\Omega)$ sein. Nach der Hölder-Ungleichung ist dieses Integral zunächst wohldefiniert. Mein Argument, dass $f$ eben dann f.ü. gleich $0$ sein muss, habe ich oben bereits angegeben - ist dieses denn korrekt ?
Zu den anderen Sachen - danke ! Nach so einer Version, wie du sie unten angegeben hast, habe ich gesucht :)
Schönen Abend |
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Funktionalanalysis | |
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Wenn eine Aussage der Form $\int_{\Omega} f \varphi\,dx = 0$ für alle $\varphi \in W^{1,1}(\Omega)$ mit $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ gilt, dann gilt dies ja insbesondere für alle $\phi \in C^{\infty}_0(\Omega)$, da jede Testfunkion auf $\Omega$ insbesondere eine $W^{1,1}-$Funktion ist und somit folgt $f=0$ (bzw. $f=0$ f.ü. je nachdem) auf $\Omega$, richtig ? Und gibt es da noch Verallgemeinerungen vom Fundamentallemma ?
Gruß |
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Integration | |
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Hallo, es gilt:
$\big( \int_{x}^{1} cos(t)\,dt \big)' = -cos(x)$ nach dem Hauptsatz, da nur die untere Intervallgrenze von x abhängt. Allgemeiner:
$\big( \int_{x}^{1} f(t)\,dt \big)' = -f(x)$ |
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Numerik & Optimierung | |
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Hallo,
x minimiert G genau dann, wenn x Lsg. der Gleichung $Ax=b$ ist. Vl. hilft dir das weiter.
Grüße
Edit: Ich hatte vorher F, hab mich da wohl vertan. Die Äquivalenz gilt für G. Habs ausgebessert.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] |
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Stochastik und Statistik | |
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Hallo,
Ja, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten kann man aufaddieren - dies liegt daran, dass dahinter eigentlich ein Maß steckt und hier die Sigma-Additivität eingeht.
Grüße |
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Integration | |
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Einfach einsetzen in die Cauchy-Integralformel. |
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Topologie | |
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Hallo Meister_Eder,
Nimm dir nun eine beliebige Folge in der Menge M und zeige, dass ihr Grenzwert wieder in M liegt.
Grüße |
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Stochastik und Statistik | |
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Integrierbarkeit und absolute Integrierbarkeit (also $L^1$) sind doch beim Lebesgue-Integral das selbe oder ? :)
Grüße |
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Informatik | |
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Dann versuch entweder wie gesagt mit der SavitchIn Klasse oder einfach mit Double.parseDouble, da musst du wirklich gar nichts importieren.
Grüße |
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Informatik | |
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Ich verstehe nicht, was du damit meinst. |
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Informatik | |
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Ja das sollte so passen. Mich wundert allerdings, dass ihr die Daten mit dem Scanner einlest (du hantierst hier, ohne es zu wissen, eigentlich bereits mit einem sogenannten Objekt der Klasse Scanner) anstatt beispielsweise mit der SavitchIn Klasse.
Grüße |
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