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Thema Eingetragen
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Optik
  
Thema eröffnet von: RegEx
Licht muss doch auch erst beschleunigen, oder?  
Beitrag No.5 im Thread
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philippw
 

2020-10-22 10:36 - DrStupid in Beitrag No. 4 schreibt:

Zumindest im Vakuum und wenn man weiß, in welche Richtung es unterwegs ist. Wird das Photon beispielsweise in einem optisch dichten Medium emittiert, dann ist es zunächst langsamer und beschleunigt erst auf Vakuumlichtgeschwindigkeit, wenn es das Medium verlässt.

Ist das so? Meine Vorstellung war immer, dass sich das Photon zwischen den Atomen mit Vakuum-Lichtgeschwindigkeit fortbewegt, und nur zwischendurch ständig mit Atomen kollidiert, absorbiert und wieder emitiert wird, und dabei Zeit verliert.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: brownietogo
Kann ich folgende Umformung machen?  
Beitrag No.9 im Thread
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philippw
 

2020-10-12 21:32 - brownietogo in Beitrag No. 8 schreibt:
Aber wie bekomme ich dann $g^{'}(y)$ direkt ausgerechnet, weil ich möchte ja eigentlich die Ableitung nach y mit dem Integral verrechnen. Und so habe ich ja ein Integral nach du und nicht nach dy. Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.

Wenn du das Theorem nochmal genau liest, siehst du, dass du kein Integral nach dy brauchst. Im Theorem steht eine Funktion f(x) und ein Integral über t. Das x taucht dabei als Integrationsgrenze auf! Das musst du bei g(y) erreichen: ein Integral von <hier beliebigen konstanten Wert einsetzen> bis y. Dann sagt dir das Fundamentaltheorem direkt, wie g'(y) aussieht.

Und übrigens, wenn es ein Integral nach dy wäre, hätte das y keine Bedeutung außerhalb des Integrals! Der Buchstabe nach "d" nimmt viele Werte an (und zwar alle zwischen den Integralgrenzen).

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: brownietogo
Kann ich folgende Umformung machen?  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-12
philippw
 

Forme g um wie ich beschrieben habe, bis es die richtige Form hat, um den Fundamentalsatz der Analysis anwenden zu können.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: brownietogo
Kann ich folgende Umformung machen?  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-10
philippw
 

2020-10-09 14:47 - brownietogo in Beitrag No. 2 schreibt:
$N(x)M(x)=M(0)\int_{x}^{\infty}B(y)N(y)dy$,

Zuerst würde ich da wie gesagt die Variable des Integrals umbenennen, z.B. nach z. Dann kannst du x-y für x einsetzen (unter der Annahme, dass die Gleichung für alle reellen Zahlen x gilt, und nicht nur für ein festes x. Das hast du nicht dazugeschrieben. Eine Gleichung nur für sich ohne die Bedeutung der Variablen hat keine Aussage, ich hab jetzt Mal geraten, was gemeint war.
Wenn es z.B. nur für positive x gilt, muss man noch drüber nachdenken, ob x-y auch positiv ist.)

Dann steht da für alle reellen x und y:
$N(x-y)M(x-y)=M(0)\int_{x-y}^{\infty}B(z)N(z)dz$

Also gilt für jedes feste x:
$g(y)=\frac{N(0)}{M(0)}M(0)\int_{x-y}^{\infty}B(z)N(z)dz$
Wenn du jetzt u=x-z substituierst, und die obere und untere Grenze im Integral vertauschst, solltest du
g'(y) berechnen können.

Hilft das weiter?

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: math_
Holomorphe Fkt. mit |f(z)| = 1 auf B₁(0) ist konstant  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-09
philippw
J

2020-10-09 15:07 - math_ in Beitrag No. 3 schreibt:
\[|e^{iz}| = e^{iz} \cdot e^{-iz}\] für alle \(z \in B_1(0)\).

Die Gleichung stimmt nur für reelle z. Ist also kein Gegenbeispiel, f kann auch einen anderen Betrag als 1 haben, zum Glück für deinen Beweis :-)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: brownietogo
Kann ich folgende Umformung machen?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-09
philippw
 

Ah, verstehe. Du will die Nebenbedingung in (1) einsetzen, wodurch ein Doppelintegral entsteht, und durch partielle Integration das innere Integral wieder loswerden?

Ich hab nicht ausprobiert, ob es zielführend ist, aber das könnte klappen. Du musst dir jedoch klar machen, dass die $y$s in den zwei Integralen verschiedene Variablen sind, am besten benennst du eins von ihnen um.

Eventuell musst du vor dem partiellen Integrieren noch eine Substitution wie u = x - z im inneren Integral durchführen, wobei z das "innere y" ist, und u die neue Variable. Dann passen auch die Grenzen besser, um den Fundamentalsatz der Analysis anzuwenden.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: brownietogo
Kann ich folgende Umformung machen?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-09
philippw
 

Hi brownietogo,

In der ersten Gleichung ist $y$ die Variable, über die integriert wird. Das heißt, innerhalb des Integrals nimmt $y$ die Werte von $x$ bis $\infty$ an, und außerhalb des Integrals hat $y$ keine Bedeutung. Also nein, diese Umformung darfst du nicht machen.

Du kannst vielleicht $x$ durch $x-z$ ersetzen, wobei $z$ eine neue Variable ist. (Hängt vom Kontext ab.)

Falls du mehr Hilfe brauchst, brauchen wir mehr Info über die Bedeutung der Variablen und Funktionen, und was du erreichen willst :-)

Gruß,
Philipp

Theoretische Informatik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Informatik-Rentner
Die Anzahl der Primzahlenzwillinge ist π (π (x) /2 )  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-24
philippw
 


Voraussetzungen:
Gegeben sei ein Array mit den folgenden 6n-1-Zahlen: an der Stelle i enthält das Array die Zahl 6*i-1. Der Arrayindex läuft von 1-n.  
Gegeben sei außerdem eine Primzahl p größer als 3 (und < Wurzel(6n)). Wenn man aus dem Array jede p-te Zahl markiert/löscht, also beginnend an einer beliebigen Stelle j zwischen 1 und p jedes (j +p*i)-te Feld (i=1..n) des Arrays  markiert/löscht, dann werden maximal π(6*n-1)/(p-1) Primzahlen markiert.

Ok, fast einverstanden. Ein paar kleine Anmerkungen, die allerdings nicht für meine eigentliche Kritik an deinem Beweis wichtig sind: Der Satz stimmt nur im Grenzwert, also für hinreichend großes n, denn der Dirichletscher Primzahlsatz macht nur eine Aussage für n gegen unendlich. Und an Stelle von π(6*n-1) sollte wahrscheinlich "Die Anzahl der Primzahlen im Array" stehen, denn π(6*n-1) zählt auch alle Primzahlen der Form 6*i+1 mit, die ja nicht vorkommen.

Jetzt, wo wir das geklärt haben: Dieser Satz kann auf das Filtern in der oberen Zeile angewendet werden. Was hat das jetzt damit zu tun, dass "logarithmisch viele" Zahlen übrigbleiben? Ich sehe den Zusammenhang nicht. Allein aus dem Satz erhält man, dass maximal π(x)* (1/4 + 1/6 + 1/10 + 1/12 + ...) Zahlen markiert werden. Der Wert in der rechten Klammer ist aber unbeschränkt. (Satz von Euler)

Du schreibst in deinem Beweis immer "gemäß Primzahlsatz", aber was hat das mit diesem Satz zu tun? Wofür brauchst du den Satz (S)?

(Das bezieht sich jetzt erstmal nur auf das Filtern der oberen Zeile, ich will nicht zu viel gleichzeitig diskutieren. Das Ergebnis stimmt hier noch, nur dein Beweis des Ergebnisses ist mir nicht klar.)

Theoretische Informatik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Informatik-Rentner
Die Anzahl der Primzahlenzwillinge ist π (π (x) /2 )  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-22
philippw
 

Hi Informatik-Rentner, kannst du noch auf meinen Beitrag #6 antworten? Wahrscheinlich hast du ihn übersehen, weil wir gleichzeitig geschrieben haben.

Theoretische Informatik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Informatik-Rentner
Die Anzahl der Primzahlenzwillinge ist π (π (x) /2 )  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-22
philippw
 

2020-07-22 00:27 - Informatik-Rentner in Beitrag No. 4 schreibt:
... und dann hätte dieses Sieb keine logarithmische Anzahl von Primzahlen mehr im Widerspruch zum Beweis vom Satz oben.

Kannst du einmal deinen "Satz (S)" möglichst formal (d.h. allgemeingültig, nicht über Beispiele), kurz und vollständig formulieren? Einfach nur Voraussetzung und Behauptung, ohne Beweis.

Insbesondere die genauen Voraussetzungen sind mir nicht klar. Je nachdem, was du eigentlich meinst, habe ich andere Kritikpunkte :-)

Das kann in etwa so aussehen:
"Gegeben ist ein Array der Länge n. An Stelle i enthält das Array (die Zahl 6*i-1 / die i-te Primzahl der Form 6k-1 / ??? ). Gegeben sei außerdem eine Primzahl p größer als 3. Wenn man aus dem Array (jede p-te Zahl, beginnend an einer beliebigen Stelle zwischen 0 und p-1 / jede durch p teilbare Zahl / jede Zahl, die +2 durch p teilbar ist / ???) auswählt, hat man maximal π(n)/(p-1) Zahlen ausgewählt."

Theoretische Informatik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Informatik-Rentner
Die Anzahl der Primzahlenzwillinge ist π (π (x) /2 )  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-21
philippw
 

Hi Informatik-Rentner,
um konkret zu werden, einen Knackpunkt sehe ich hier:
"Desweiteren definieren wir ein Array2 mit beliebigen Zahlen.
Wenn für den Array 2 auch jedes 2,3,5... Feld markiert/gelöscht wird "

Willst du wirklich (A) jedes 2,3,5... Feld löschen, oder (B) alle durch 2,3,5... teilbaren Zahlen im Array2? Wenn du "beliebige Zahlen" im Array stehen hast, sind das zwei verschiedene Dinge. So wie du es mit (A) formulierst, sind die Zahlen im Array2 völlig irrelevant für das Sieb.

Array2 ist am Ende von deinem Beweis das "Rest-Sieb mit den Primzahlen", übertragen von der 6n-1 auf die 6n+1 Zeile, richtig?

Das "Rest-Sieb" ist ja diese Liste:
5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, ...
Soll heißen, der Anfang von Array 2 sieht so aus:
7, 13, 19, 25, 31, 43, 49, 55, 61, 73, 85, ...
Wenn man jetzt jede 5. Zahl streicht, sind das nicht die durch 5 teilbaren Zahlen. 25 und 55 haben Abstand 4, 55 und 85 sogar nur Abstand 3. Also mit Interpretation (A) von oben weißt du nicht, ob die übrigen logarithmisch viele Zahlen überhaupt Primzahlen sind. Mit Interpretation (B) hingegen weiß man nicht, ob tatsächlich logarithmisch viele Zahlen übrigbleiben, denn z.B. die durch 5 teilbaren Zahlen können näher liegen als jede 5. Zahl.

Gruß,
Philipp

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Was ist so interessant an der Hilbert-Kurve ?  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-20
philippw
 

2020-06-19 17:22 - thureduehrsen in Beitrag No. 7 schreibt:
Hallo Pter87,

2020-06-19 14:47 - Pter87 in Beitrag No. 6 schreibt:
Wird eigentlich die Hilbert-Kurve in der Informatik für Linearisierungsprobleme genutzt ? Also z.B. linearisieren von mehrdimensionalen Datentypen.

vermutlich nicht. Meine Kristallkugel sagt mir, dass die Speicherabbildungsfunktion nicht effizient genug berechnet werden kann.

mfg
thureduehrsen

Ich weiß von einer Anwendung im Chip-Design, bei der man das umgekehrte macht: Man möchte Bauteile auf einer 2D Fläche platzieren, so dass die fest vorgegebene Verkabelung möglichst kurz ist.

Dazu ist ein Ansatz, eine lineare Reihenfolge zu bestimmen, bei der die Kabel möglichst kurz sind, und dann diese lineare reihe entlang der Hilbertkurve platziert (und dann lokal nachoptimiert). Die wichtige Eigenschaft der Hilbertkurve ist hier "was linear nah beieinander ist, ist im Durchschnitt auch in 2D nah beieinander."

Die Peanokurve ist dafür schlechter geeignet, weil sie auf einer 3x3 Zerlegung basiert statt auf 2x2, man also schneller weiter weg läuft.

Teilbarkeit
Ausbildung 
Thema eröffnet von: Mandelbrat1729
Produkt - Teilbar durch eine Primzahl  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-09
philippw
J

Hi Mandelbrat1729,

Ok, nochmal genauer:

2020-06-08 19:21 - Mandelbrat1729 im Themenstart schreibt:
2.
Falls das Produkt q bereits einen Primfaktor \(p_j\) enthält, so kann man das Produkt beliebig in kleinere Produkte der gleichen Zahlen zerlegen, wobei keine Primfaktoren verloren gehen.

Und warum gehen keine Primfaktoren verloren? Das willst du ja gerade zeigen. Wenn ich 6 als 2*3 zerlege, geht die 6 als Faktor verloren (ist ja auch keine Primzahl). Welche Eigenschaft von Primzahlen verwendest du hier, die die 6 nicht hat? Das ist nicht klar.

Hier schwingt in deinem Kopf wahrscheinlich auch die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung mit, aber das müsste man zumindest sagen, damit ein Beweis wird.


Trivialerweise könnte man q einfach in seine Primfaktoren zerlegen und diese wären dann immer noch durch sich selbst teilbar.
Ich dachte erst, dass du hier ein triviales Produkt für q angibst, und dann die $n_k$ zu diesem Produkt erklärst. Das wäre falsch, wie ich im letzten Beitrag schon geschrieben habe. Aber wenn du es nicht so meinst, weiß ich nicht, was dieser Satz zum Beweis beiträgt.


Übrigens könnte man ja auch einfach Argumentieren:
Enthält ein Produkt q einen Primfaktor p so muss dieser "von irgendwoher kommen". Daher: Es muss mindestens einer der Faktoren in seiner Primfaktorzerlegung auch p enthalten, da sonst p nicht in q auftauchen könnte. Denn ein Faktor kann ja nicht aus dem Nichts auftauchen.
Da hast du wieder nur die Behauptung mit anderen Worten wiederholt. Warum kann ein Faktor nicht aus dem Nichts auftauchen?

Um nicht nur zu meckern, hier ein Beweis von mir. Wenn ich deine Aussage unter Verwendung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung beweisen wollte, würde ich es so formulieren.

1. Angenommen, ein $n_k$ (für irgendein $1\leq k\leq i$) ist durch $p$ teilbar, also existiert eine ganze Zahl r mit $n_k=p\cdot r$. (Das ist die Definition von "teilbar".)
Also ist
\(q=n_1\cdot n_2\cdot \ldots n_k \ldots n_i\\
=n_1\cdot n_2\cdot \ldots p\cdot r \ldots n_i\\
=p\cdot(n_1\cdot n_2\cdot \ldots r \ldots n_i)\)

Also ist q durch p teilbar, nach der Definition der Teilbarkeit.
(Hier hab ich die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht gebraucht, sondern nur, dass Multiplikation kommutativ ist.)

2. Angenommen, q ist durch p teilbar, $q=p*r$. Wir wollen zeigen, dass eines der $n_k$ auch durch p teilbar ist.
Wir zerlegen alle $n_k$ und $r$ in Primfaktoren. (Hier verwenden wir die Existenz einer Primfaktorzerlegung für jede ganze Zahl.)
Dann steht da
$p\cdot$ Primfaktoren von r $=q=$Primfaktoren von allen $n_k$.
Hier haben wir zwei Produkte von Primzahlen. Da die Primfaktorzerlegung von $q$ eindeutig ist, muss hier bis auf die Reihenfolge zweimal das gleiche stehen. Also gibt es ein $n_k$, mit einem Primfaktor von p. Dieses $n_k$ ist folglich durch $p$ teilbar.
q.e.d.

Man kann es sich auch anders aufschreiben, aber der wichtige Unterschied zu deinem Beweis ist, dass ich genau aufzeige, für welchen logischen Schritt ich welche Voraussetzung verwende.

Gruß,
Philipp

Teilbarkeit
Ausbildung 
Thema eröffnet von: Mandelbrat1729
Produkt - Teilbar durch eine Primzahl  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-08
philippw
J

Hi Mandelbrat1729,
deine Argumentation bei 1. stimmt. Du hast hier allerdings implizit die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung benutzt. Diese selbst zu beweisen ist schwerer als dein urspruenglicher Satz. Du hast also mit Kanonen auf Spatzen geschossen, aber diese immerhin getroffen :)
Nur ein Hinweis zur Notation: In der Aussage ist $n_i$ der letzte Faktor, es gibt also genau $i$ Faktoren. Im Beweis klingt es aber so, als ob du $n_i$ als beliebigen Faktor aus dem Produkt betrachtest, du hast also wahrscheinlich ein anderes $i$. Dafuer sollte man einen anderen Buchstaben nehmen. Den Index bei $p_j$ koennte man uebrigens ganz weglassen, der hat in deiner Aussage irgendwie keine Funktion. (Es sei denn, die Aussage stammt aus irgendeinem Kontext mit mehr Primzahlen.)


Bei 2. stimmt die Argumentation leider nicht. Du hast nur bewiesen, dass q irgendwie in ein Produkt zerlegt werden kann. In der Aussage sind die Faktoren aber gegeben, du musst fuer diese konkreten Faktoren beweisen, dass einer davon durch q teilbar ist.
traveller hat einen Hinweis darauf gegeben, wie man das stattdessen machen kann.

Gruss,
Philipp

Aktuelles und Interessantes
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: philippw
Logikrätselwettbewerb für Anfänger  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-06
philippw
 

Hallo Freunde der Logik!

Auf logic-masters.de wird dieses Wochenende ein Anfänger-freundlicher Logikrätsel-Wettbewerb durchgeführt. Ankündigung:
forum.logic-masters.de/showthread.php?tid=1828&pid=32287#pid32287
Und hier der Wettbewerb selbst (man muss sich anmelden, um den Wettbewerb zu sehen):
logic-masters.de/Wettbewerbe/CE/wettbewerb.php?id=150

Es gibt je 3 Rätsel der Rätselarten Nurikabe, Doppelblock, Angler, Regionale Polyominos, Sikaku.

Man kann jederzeit starten, und hat dann 90 Minuten Zeit, um sich die Rätsel auszudrucken, sie zu lösen und Lösungscodes einzugeben.

Viel Spaß!
Gruß,
Philipp

Formale Sprachen & Automaten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AndrejTheAlien
Beweis Sprache erfüllt Pumping Lemma  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-15
philippw
J

Zu 3.: $b^pc^p$ liegt in der zweiten Menge von $L$. $m$ und $n$ müssen laut Definition nicht unterschiedlich sein, $m=n=p$ funktioniert.

Formale Sprachen & Automaten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AndrejTheAlien
Beweis Sprache erfüllt Pumping Lemma  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-15
philippw
J

$x=\varepsilon$ und $y=a$ sollte auch hier funktionieren? Damit $|xy|\leq p$ gilt kann $xy$ irgendwas von $a$, $ab$, $abb$, ..., $ab^{p-1}$ sein.

Formale Sprachen & Automaten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AndrejTheAlien
Beweis Sprache erfüllt Pumping Lemma  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-15
philippw
J

Ah, da hast du Recht. Ich habe den gleichen Fehler gemacht, ich dachte, dass x und y nicht leer sein dürfen, aber nur y muss nicht leer sein.

Dann sollte das auch die Antwort für L liefern, oder? Wenn die Frage für dich damit erledigt ist, dann setze doch bitte das Häkchen ("Das Thema ist nun erledigt" beim Antworten).

Gruß,
Philipp

Formale Sprachen & Automaten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AndrejTheAlien
Beweis Sprache erfüllt Pumping Lemma  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-14
philippw
J

Hi AndrejTheAlien, und willkommen auf dem Matheplaneten!

In deinem Beweis unten ist ein kleiner Fehler: $x=a$ muss nicht gelten, $x$ kann auch von der Form $ab^l$ sein, für $0\leq l\leq p-2$. Der Beweis funktioniert am Ende aber genauso.

Der Beweis funktioniert insbesondere auch für die Sprache $L$ selbst, d.h. das Pumping Lemma ist nicht erfüllt. Hast du die Aufgabe vielleicht falsch abgeschrieben?

Gruß,
Philipp

Kryptologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: carlox
Wo Fehler im RSA Verfahren ?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-13
philippw
 

p und q müssen glaub ich unterschiedlich sein. Dieser "(p-1)*(q-1)" Term ist eigenlich phi(pq) (Eulersche Phi Funktion), und phi(p^2) ist p*(p-1), nicht (p-1)*(q-1).
 

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