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Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dusia_mag_LA
Warum ist die Basiswechselmatrix so definiert, wie sie definiert ist?  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-28 17:57
tobit09
 

Hallo Dusia_mag_LA!


Die von dir entdeckte "Unschönheit" ergibt sich nur im Spezialfall, dass die Basen $A$ und $B$ aus dem Vektorraum $K^n$ stammen.

Das Konzept einer Basiswechselmatrix ist jedoch allgemeiner: Hier können $A$ und $B$ aus einem beliebigen $K$-Vektorraum $V$ stammen. Da kann eine Matrix $T_{AB}$ schon deshalb nicht die Vektoren aus $A$ auf die Vektoren aus $B$ abbilden, weil $A$ und $B$ im Allgemeinen gar nicht dem $K^n$ entstammen.

Vielmehr möchte man haben, dass $T_{AB}$ Koordinatenvektoren von beliebigen Vektoren $v\in V$ bezüglich $A$ auf den Koordinatenvektor von $v$ bezüglich $B$ abbildet. (*)


Jede Basis $C=(v_1,\ldots,v_n)$ von $V$ induziert einen Isomorphismus $f_C:K^n\to V$, $(x_1,\ldots,x_n)\mapsto\sum_{i=1}^nx_iv_i$.
Die Umkehrabbildung $f_C^{-1}:V\to K^n$ ist die Abbildung, die jedem $v\in V$ seinen Koordinatenvektor bezüglich $C$ zuordnet.

Mit diesem Wissen lässt sich (*) schreiben als: $T_{AB}\cdot(f_A^{-1}(v))=f_B^{-1}(v)$ für alle $v\in V$. (**)

Im Spezialfall $V=K^n$ lässt sich zu jeder Basis $C$ die Matrix $M_C$ bilden, die entsteht, wenn man die Vektoren aus $C$ zu den Spalten von $M_C$ macht. Dann ist $f_C(x)=M_C\cdot x$ für alle $x\in K^n$.
Die Matrix $M_C$ ist invertierbar und es gilt $f_C^{-1}(v)=M_C^{-1}\cdot v$ für alle $v\in K^n$.

Aus (**) erhalten wir somit $T_{AB}\cdot M_A^{-1}\cdot v=M_B^{-1}\cdot v$ für alle $v\in K^n$ und somit $T_{AB}\cdot M_A^{-1}=M_B^{-1}$.
Durch Umformung kommen wir somit auf $M_B\cdot T_{AB}=M_A$, also deine "unintuitive" Formel.


Viele Grüße
Tobias

Aussagenlogik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: bassti811
Äquivalenz beweisen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-13 14:01
tobit09
 

Hallo bassti811,

sorry für meine späte Antwort.

Ich glaube, du hast die Rückrichtung richtig verstanden. :-)

Zwei Formulierungen würde ich anpassen:

"es muss auch $(a,c)\in S$ sein".
Das klingt ein bisschen so, als wäre $(a,c)\in S$ schon gezeigt. Gemeint ist hier vielmehr: Es soll im Folgenden $(a,c)\in S$ gezeigt werden.

"Wegen (2) gibt es ein $(a,b)\in Q$ (4) und ein $(b,c)\in R$."
Das klingt so, als gäbe es irgendein Element in Q und irgendein Element in R und diese beiden Elemente sollten nun (unzulässigerweise) mit $(a,b)$ und $(b,c)$ bezeichnet werden.
Es sollte vielmehr heißen: "Wegen (2) gibt es ein $b\in A$ mit $(a,b)\in Q$ und $(b,c)\in R$." Damit wird der Bezug zu den bereits vorher fest gewählten Elementen $a,c\in R$ deutlich.

Viele Grüße und ein schönes Wochenende!
Tobias

Aussagenlogik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: bassti811
Äquivalenz beweisen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-06 19:45
tobit09
 

Hallo bassti811!

Ich möchte zum einen detaillierter auf deinen Beweisversuch eingehen und zum anderen (als Alternative zum von tactac vorgeschlagenen Vorgehen) zeigen, wie ein Beweis der Hin-Richtung aussehen könnte.


2021-02-05 16:15 - bassti811 im Themenstart schreibt:
$R\circ Q\subseteq S$ ist wahr,
Ja, um zu zeigen, dass aus $R\circ Q\subseteq S$ die Bedingung $\overline{S}\circ Q^T\subseteq \overline{R}$ folgt, nehmen wir am besten $R\circ Q\subseteq S$ als wahr an und zeigen unter dieser Prämisse $\overline{S}\circ Q^T\subseteq \overline{R}$.

2021-02-05 16:15 - bassti811 im Themenstart schreibt:
daraus folgt
$(a,b)\in Q$ und $(b,c)\in R$
Wo kommen auf einmal a, b und c her?
Diese Objekte hast du bisher nirgendwo eingeführt.

2021-02-05 16:15 - bassti811 im Themenstart schreibt:
daraus folgt, dass $(a,c)\in R\circ Q$,
da dies eine Teilmenge von $S$ ist, gilt $(a,c)\in S$
Folgerichtig.

2021-02-05 16:15 - bassti811 im Themenstart schreibt:
Dies wird auf den zweiten Teil der Implikation angewendet:
Den zweiten Teil der Implikation (die Konklusion) wollen wir doch gerade zeigen!

2021-02-05 16:15 - bassti811 im Themenstart schreibt:
$(b,a)\in Q^T$ und $(a,c)\in \overline{S}$
Sollen a, b und c immer noch die gleichen Objekte wie oben sein?
Falls ja: Warum sollte dann auf einmal $(a,c)\in\overline{S}$ gelten?

2021-02-05 16:15 - bassti811 im Themenstart schreibt:
$(b,c)\in \overline{S}\circ Q^T$,
Folgerichtig.

2021-02-05 16:15 - bassti811 im Themenstart schreibt:
da dies eine Teilmenge von $\overline{R}$ ist
Das wissen wir doch noch gar nicht und wollen es gerade zeigen!

2021-02-05 16:15 - bassti811 im Themenstart schreibt:
$(b,c)\in \overline{R}$
Folgerichtig.

2021-02-05 16:15 - bassti811 im Themenstart schreibt:
$(b,c)\in\ R$ und $\overline{R}$
Falls a, b und c im gesamten Beweis die gleichen Elemente bezeichnen sollten, hättest du jetzt (modulo der Fehler unterwegs) folgerichtig diesen Widerspruch hergeleitet.

2021-02-05 16:15 - bassti811 im Themenstart schreibt:
damit ist die Implikation bewiesen.
Meinst du per ex-falsum-quodlibet?
Das wäre wieder folgerichtig.


Zeigen wollen wir die Implikation $R\circ Q\subseteq S \Rightarrow \overline{S}\circ Q^T\subseteq \overline{R}$.

Dazu nehmen wir $R\circ Q\subseteq S$ (1) als wahr an und müssen $\overline{S}\circ Q^T\subseteq \overline{R}$ zeigen.

Um $\overline{S}\circ Q^T\subseteq\overline{R}$ (d.h. für alle $(b,c)\in \overline{S}\circ Q^T$ gilt $(b,c)\in\overline{R}$) zu zeigen, betrachten wir ein beliebig vorgegebenes $(b,c)\in \overline{S}\circ Q^T$ (2) und müssen $(b,c)\in \overline{R}$ zeigen.

Das können wir mittels eines Widerspruchsbeweises tun:
Angenommen es wäre $(b,c)\in R$ (3). Zu zeigen ist ein Widerspruch.

Gemäß (2) existiert ein $a\in A$ mit $(b,a)\in Q^T$ (4) und $(a,c)\in\overline{S}$ (5).

Gemäß (4) gilt $(a,b)\in Q$, so dass zusammen mit (3) die Gültigkeit von $(a,c)\in R\circ Q$ folgt.

(1) liefert somit $(a,c)\in S$ im Widerspruch zu (5).


Ich glaube, der entscheidende Unterschied zwischen deinem Beweisversuch und meinem Beweis der Hin-Richtung ist, dass ich mir an jeder Stelle genau klar gemacht habe, was eigentlich jeweils als gegeben angenommen werden darf und vor allem, was jeweils zu zeigen ist.

Magst du nach einem Studium der Hin-Richtung hier mal die Rückrichtung probieren?


Viele Grüße
Tobias

Relationen und Abbildungen
  
Thema eröffnet von: Magma93
Verknüpfung Mathematik, Spezialfälle  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-06 11:12
tobit09
 

Hallo Magma93!


Zunächst zur Frage nach dem Unterschied zwischen endlichen Mengen und Tupeln:

Betrachten wir mal die Menge $A=\{1,2,3\}$.
Sie enthält genau drei Elemente: 1, 2 und 3.

Nun betrachten wir die Menge $B=\{3,2,1\}$.
Sie enthält genau die gleichen drei Elemente wie die Menge $A$.

Wesentlich am Konzept der Menge ist nun:
Wenn zwei Mengen die gleichen Elemente enthalten, sind sie schon gleich.
D.h. insbesondere gilt $A=B$ !

Nun betrachten wir die Menge $C=\{1,2,3,1\}$.
Auch sie enthält die gleichen drei Elemente wie die Menge $A$ und somit gilt $A=C$.
Eine Menge kann jedes Objekt nur entweder als Element haben oder nicht haben. Es gibt bei Mengen kein "mehrfaches Enthaltensein".

Nun betrachten wir im Gegensatz zu den obigen Mengenschreibweisen mal die entsprechenden Tupel:

$A'=(1,2,3)$
$B'=(3,2,1)$
$C'=(1,2,3,1)$

Diese Objekte sind wirklich drei (paarweise) verschiedene Objekte!


Die Menge $A\times A$ enthält nun per Definition als Elemente alle Tupel der Länge 2, deren Komponenten Elemente von $A$ sind. Es gilt somit

$A\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}$

und $A\times A$ hat genau 9 Elemente.


2021-02-04 08:29 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
Sei $A$ eine Menge $x \in A$, die das hier umfasst: $A=\{1,2,3\}$
A sei eine Menge x???
Meinst du $A$ sei eine Menge, deren Elemente $x\in A$ gewisse Eigenschaften haben?

$A$ "umfasst" die Aussage (oder je nach Lesart Menge) $A=\{1,2,3\}$???
Was soll das bedeuten?

Vermutlich meinst du einfach, dass du das Beispiel der Menge $A=\{1,2,3\}$ betrachten möchtest.


2021-02-04 08:29 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
Nun, die Abbildung sähe dann so aus: $f: A\rightarrow \mathbb{R}$
Was meinst du mit "die" Abbildung?
Es gibt ganz viele Abbildungen $f\colon A\to\mathbb{R}$:

Beispiele:

1. $f\colon A\to\mathbb{R}$ mit $f(1)=27$, $f(2)=-\frac{1}{2}$ und $f(3)=\pi$.

2. $f\colon A\to\mathbb{R},\quad f(x)=x$ für alle $x\in A$.

3. $f\colon A\to\mathbb{R},\quad f(x)=6$ für alle $x\in A$.


2021-02-04 08:29 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn ich jetzt irgend eine Operation durchführe, nehmen wir mal an:
$f(x)=3+3$
Das ist nichts anderes als eine (etwas umständliche, aber vollkommen zulässige) Schreibweise für die von mit in Beispiel 3. genannte Abbildung, die alle Elemente $x\in A$ auf das gleiche Element $6\in\mathbb{R}$ abbildet.

2021-02-04 08:29 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
1. Frage:
Darf ich zwei gleiche Zahlen aus dieser Menge verwenden?
Entscheidend für eine Abbildung $f\colon A\to\mathbb{R}$ ist, dass jedem der drei Elemente aus $A$ jeweils eine reelle Zahl zugeordnet wird. Das kann z.B. auch immer die reelle Zahl 6 sein.
Selbst wenn (für einen Moment) $A$ eine beliebige Menge wäre, könnten wir die Abbildung

$f\colon A\to\IR,\quad f(x)=3+3=6$ für alle $x\in A$

betrachten. Das hat nichts damit zu tun, ob $3\in A$ oder $3\notin A$ gilt!

2021-02-04 08:29 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
Bei einem kartesischen Produkt nehme ich an, sei $A$ eine Menge $x \in A$, die das hier umfasst: $A=\{1,2,3\}$
Dann gilt: $f: A\times A \rightarrow \mathbb{R}$
Ich interpretiere das mal so:
Wir betrachten nun weiter die Menge $A=\{1,2,3\}$ und nun Abbildungen $f\colon A\times A\to\mathbb{R}$.

Beispiele:

1. $f\colon A\times A\to\mathbb{R}$ mit
$f((1,1))=59$, $f((1,2))=324$, $f((1,3))=971$,
$f((2,1))=-8$, $f((2,2))=-91$, $f((2,3))=\frac{2}{7}$,
$f((3,1))=34$, $f((3,2))=51$, $f((3,3))=0$.

2. $f\colon A\times A\to\mathbb{R},\quad f((a,b))=a+b$ für alle $(a,b)\in A\times A$.

3. $f\colon A\times A\to\mathbb{R},\quad f((a,b))=a$ für alle $(a,b)\in A\times A$.

4. $f\colon A\times A\to\mathbb{R},\quad f((a,b))=6$ für alle $(a,b)\in A\times A$.

2021-02-04 08:29 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
Das heißt, hier kann ich schreiben:
$f(x)=3+3$
Damit wären wir bei Beispiel 4.


2021-02-04 08:29 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn ich aber oben auch 2 dieser dreien in die Funktion nehmen kann, dann verstehe ich nicht, wieso man ein kartesisches Produkt überhaupt bildet. Dann wäre es doch doppelt gemoppelt?!
Der Unterschied liegt darin, woraus $x$ stammt.
Im Falle $f\colon A\to\mathbb{R}$ ordnet $f$ jedem Element $x\in A$ (also den drei Elementen 1, 2 und 3) je eine reelle Zahl zu.
Im Falle $f\colon A\times A\to\mathbb{R}$ ordnet $f$ jedem Paar $x=(a,b)\in A\times A$ (also jedem der neun möglichen Paare mit 1, 2 und 3 als möglichen Komponenten) eine reelle Zahl zu.


Viele Grüße
Tobias

P.S.: Ich freue mich über Nachfragen! :-)

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobit09
Isomorphie-Begriff der Kategorientheorie unnatürlich?  
Beitrag No.25 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-16
tobit09
J

Hallo _Red!

2020-11-16 00:38 - Red_ in Beitrag No. 24 schreibt:
5 ist zu restriktiv und praktisch nutzlos.
5 ergibt sich, wenn einen die vollständige Struktur einschließlich der Elementnamen interessiert.

2020-11-16 00:38 - Red_ in Beitrag No. 24 schreibt:
1 respektiert die Struktur nicht.
1 ergibt sich, wenn man von der Relation vollständig abstrahiert und die Philosophie vertritt, es komme nicht auf die Relation an. Dies erscheint mir sehr ähnlich zu Nichtarchimedes' Beispiel aus der Funktionalanalysis zu sein, wo einen auch die genaue Norm nicht interessiert.

2020-11-16 00:38 - Red_ in Beitrag No. 24 schreibt:
4.Fände ich auch zu restriktiv wegen der Bijektivität.
4 ergibt sich, wenn man dem Vorschlag von tactac folgt. Das kann man als sinnvoll ansehen, wenn man sich wirklich nur für den Isomorphiebegriff und nichts anderes interessiert.

Natürlich ergeben sich in den Beispielen 1 und 5 triviale (aber durch die "neue" Isomorphie-Philosophie gedeckte) Isomorphie-Begriffe. Ist das ein Grund, sie zu verbieten? Ich denke nein. Es käme ja auch hoffentlich niemand auf die Idee, z.B. den leeren topologischen Raum zu verbieten. Zu dieser Thematik trivialer Sonderfälle hat Triceratops hier auf dem Matheplanet einen sehr schönen Artikel verfasst.

Viele Grüße
Tobias

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobit09
Theorie isomorphie-invarianter Eigenschaften?  
Beitrag No.21 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-15
tobit09
J

Hallo zusammen,

diesmal fasse ich mich kurz: Ich stimme Beitrag 19 zu. In der Tat ist das Ergebnis "in strukturellen Mengenlehren sind ALLE formulierbaren Aussagen bzgl. gewisser Isomorphiebegriffe Isomorphie-invariant" schon mehr als ich von diesem Thread erwarten konnte. 😄

In diesem Sinne allen Beteiligten vielen Dank für die Beiträge. 👍

Viele Grüße
Tobias

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobit09
Theorie isomorphie-invarianter Eigenschaften?  
Beitrag No.18 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-15
tobit09
J

Ein großes Dankeschön Triceratops für die schöne Ausarbeitung von Lemma 3.4! 😄

(Im Beispiel der Formel für ein initiales Objekt stimmt etwas nicht, je nach beabsichtigter Schreibweise Klammerung oder fehlendes $\forall Y$ im hinteren Teil.)

2020-11-15 12:33 - Triceratops in Beitrag No. 17 schreibt:
Bist du in deiner mathematischen Laufbahn einer einzigen mathematischen Aussage über den Weg gelaufen, die nicht isomorphie-invariant ist, aber nicht nur an den "Eigenarten von ZF" liegt, sondern auch tatsächlich für die mathematische Praxis interessant ist? (Wir können uns vermutlich darauf einigen, dass die Aussage, dass die leere Menge ein Element der Trägermenge einer Gruppe ist, für die mathematische Praxis uninteressant ist.)
Die Aussage $X\subseteq\mathbb{N}$ ist für Mengen $X$ z.B. nicht isomorphie-invariant. Natürlich kann man diese Aussage durch geeignete Grundlegungen der Mathematik verbieten.

(Gerade in der Modelltheorie arbeitet man viel mit Inklusionen. Natürlich könnte man theoretisch ständig irgendwelche Monomorphismen hinzuziehen, aber das würde viele Konstruktionen sehr verkomplizieren. Die Professorin, bei der ich die Diplomarbeit geschrieben habe, mochte Gerüchten zufolge das Thema Mengenlehre überhaupt nicht, aber auf Inklusionen hätte sie wohl kaum verzichten wollen.)

Ein völlig anderes Beispiel wäre das Beispiel von Nichtarchimedes: Wir betrachten Banachräume mit Isomorphismen von Banachräumen definiert als eine bijektive, lineare Abbildung $f \colon X \to Y$ derart, dass die entlang von $f$ nach $Y$ transportierte Norm ÄQUIVALENT zur gegebenen Norm ist ("schwache Isomorphie"). Ich setze nun ohne Beweis folgende Vermutung voraus: Isomorphie im obigen Sinne ist i.A. NICHT äquivalent zur Existenz einer bijektiven linearen Abbildung $f\colon X\to Y$ derart, dass die entlang von $f$ nach $Y$ transponierte Norm GLEICH der gegebenen Norm auf $Y$ ist ("starke Isomorphie"). Es gibt demzufolge Banachräume $X$ und $Y$, die schwach isomorph sind, jedoch nicht stark isomorph sind. Dann ist die Eigenschaft "starke Isomorphie zu X" nicht Isomorphie-invariant unter schwacher Isomorphie. Bestimmt finden Leute, die sich mit Funktionalanalysis auskennen, schönere Beispiele.

2020-11-15 12:33 - Triceratops in Beitrag No. 17 schreibt:
Hier liegt eventuell ein Missverständnis vor. ETCS (mit noch weiteren Axiomen wie kategoriellen Entsprechungen des Ersetzungsaxioms, wie von Mike dargelegt) ist ein adäquater Ersatz für das System ZFC, auf dem ja wiederum die gesamte Mathematik traditionell aufgebaut wird. Die Formelsprache ist insofern überhaupt nicht eingeschränkt, sondern soll (und kann!) die gesamte Mathematik abdecken. (Man könnte sogar argumentieren, dass die Formelsprache von ZFC eingeschränkter ist, weil es hier nur ein Relationssymbol und nur einen Typ gibt.) Tom Leinsters Rethinking Set Theory bietet einen leichten Einstieg in ETCS und diese Denkweise.

Die Objekte (bzw. Morphismen) eines ETCS-Modells kann man entsprechend auch Mengen (bzw. Abbildungen) nennen. Das genannte Lemma macht in diesem Sinne die Aussage, dass jede Aussage über Mengen (und Abbildungen) automatisch isomorphie-invariant ist (in ETCS).
Mein Einwand war nicht, dass ETCS das nicht leistet, sondern dass die Formelsprache von Shulman das nicht leiste (was sie keineswegs weniger interessant gemacht hätte). Mir war lediglich nicht klar, dass sich alle in ETCS formulierbaren Aussagen bereits in Shulmans Formelsprache formulieren lassen. Missverständnis ausgeräumt, danke.

2020-11-15 12:33 - Triceratops in Beitrag No. 17 schreibt:
Exakt dieselbe Problematik hat auch bei ZFC, zumindest was große Kategorien angeht. (Kleine Kategorien kann man intern definieren.) Hier arbeitet man auch oftmals noch mit dem Universen-Axiom, um sie zu umgehen.
Manchmal kann man sich in ZFC noch mit Klassentermen und Formelschemata behelfen.


(Grundsätzlich möchte ich einmal klarstellen, dass ich keineswegs ein Verfechter von ZFC bin und andere Grundlegungen der Mathematik ablehne. Im Gegenteil: Ich finde alternative Ansätze wie z.B. Dependent Type Theory, Intuitionismus, Lean spannend. Leider scheinen diese eigentlich schönen oder gar schöneren Ansätze weniger für die Lehre im Grundstudium geeignet zu sein als klassische naive Mengenlehre.)

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobit09
Theorie isomorphie-invarianter Eigenschaften?  
Beitrag No.16 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-15
tobit09
J

Hallo Triceratops!

Ich habe nichts gegen weitere Untersuchungen zum Gruppen-Isomorphie-Begriff einzuwenden. Mein Interesse gilt jedoch weniger dem konkreten Gruppenbeispiel, das ich hier als Aufhänger genutzt habe, sondern dem Nachweis Isomorphie-invarianter Eigenschaften im "mathematischen Alltag" generell.

Der (sehr interessante!) Link auf das Paper von Mike Shulman formuliert in Lemma 3.4 eine sehr allgemeine (und weit über Gruppentheorie hinausgehende) Aussage in einer von ihm skizzierten kategorientheoretisch motivierten Formelsprache. Innerhalb dieser Formelsprache gibt es jedoch anscheinend keine Möglichkeit, Beziehungen zwischen verschiedenen Kategorien zu formulieren. Aber auf der Metaebene ist es offenbar möglich, interessante Zusammenhänge zu formulieren wie z.B. in Lemma 3.5.

Ich glaube nicht, dass Lemma 3.4 bei dem von dir gesuchten Beweis für ETCS oder SEAR hilft; dafür ist Lemma 3.4 zu speziell auf die konkret von Shulman gewählte einschränkende Formelsprache zugeschnitten.

(Gibt es irgendwo zu Mike Shulmans sehr knapp formuliertem Paper ein ausführliches Lehrbuch? Ich habe z.B. bei Darstellungen von SEAR immer eine Definition der unterliegenden Formelsprache vermisst. Diesen "Mangel" scheint Shulman zu beheben.)

Viele Grüße
Tobias

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobit09
Theorie isomorphie-invarianter Eigenschaften?  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-14
tobit09
J

Danke für die Bestätigung, Triceratops.


Als Ergebnis von LinkIsomorphie-Begriff der Kategorientheorie unnatürlich? nehme ich mit, dass wir im mathematischen Alltag allgemeinere Isomorphiebegriffe verwenden als ursprünglich von mir angenommen.

Damit erscheinen mir nun alle hier bisher verfolgten Ansätze zu speziell, um wichtige Isomorphie-invariante Eigenschaften aus dem Alltag identifizieren zu können.


Als Aufgabe offen bleibt somit aus meiner Sicht, einen Zugang zu finden, mit dem sich möglichst viele Isomorphie-invariante Eigenschaften tatsächlich als Isomorphie-invariant nachweisen lassen.

Einen Ansatz hat Kezer ja schon genannt: Funktoren $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ schicken zueinander isomorphe Objekte aus $\mathcal{C}$ wieder auf isomorphe Objekte aus $\mathcal{D}$. Insbesondere ist für jede Isomorphie-invariante Eigenschaft $A$, die also jedem Objekt $D$ aus $\mathcal{D}$ einen "Wahrheitswert" $A(D)$ zuordnet, die Eigenschaft $B$ von Objekten aus $\mathcal{C}$ mit $B(C)=A(F(C))$ wieder Isomorphie-invariant.

Eine solche sehr allgemeine Schlussregel dürfte in vielen konkreten Fällen hilfreich sein.

Gibt es Ideen für weitere ähnlich allgemeine Schlussregeln?

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobit09
Isomorphie-Begriff der Kategorientheorie unnatürlich?  
Beitrag No.23 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-14
tobit09
J

Hallo zusammen,

ich kündige schon einmal eine überraschende Wendung an, aber zunächst kurz hierzu:

2020-11-14 11:27 - Triceratops in Beitrag No. 22 schreibt:
Vermutlich meint tobit09 mit dem natürlichen Isomorphie-Begriff den in dem jeweiligen Kontext stärksten Begriff überhaupt.
Fast. Der stärkste Begriff von Isomorphie wäre die Gleichheitsrelation. Ich habe bisher unter dem natürlichen Isomorphie-Begriff im Falle von strukturierten Mengen eine Eins-Zu-Eins-Entsprechung der Zusatzstrukturen unter einer Bijektion verstanden, wie am Beispiel der Gruppen im Einzelnen ausgeführt.

2020-11-14 10:55 - Nichtarchimedes in Beitrag No. 21 schreibt:
In jedem Buch über Funktionalanalysis wirst du explizit die Definition finden, dass ein Isomorphismus von Banachräumen definiert ist als eine bijektive, lineare Abbildung f:X→Y derart, dass die entlang von f nach Y transportierte Norm äquivalent zur gegebenen Norm ist und nicht gleich. Der Grund ist, dass Erfahrung zeigt, dass (a) jede Eigenschaft, die in der Funktionalanalysis interessant ist, invariant unter dieser Art von Isomorphismus ist und (b) man in der Praxis oft zwei a priori verschiedene Räume antrifft, von denen man dann zeigen kann, dass sie isomorph (aber nicht isometrisch isomorph) sind. Beispielsweise kann man anstelle von “endlichdimensionaler Banachraum” immer “Cn mit L2-Norm” lesen.
Ein großes Dankeschön, Nichtarchimedes, für das großartige Beispiel. 😄
Dieses Beispiel war mir (der ich mich noch nicht mit Funktionalanalysis beschäftigt habe) komplett neu.
Die Idee hinter diesem Isomorphiebegriff ist offenbar ein "für Unwichtig Erachten gewisser Eigenschaften der Objekte" (in diesem Fall der genauen Norm).
Die Idee hinter "meinem" bisherigen Isomorphiebegriff (in diesem Thread habe ich ihn als natürlichen Isomorphiebegriff bezeichnet) war ein "für Unwichtig Erachten von den Namen der Elemente der beteiligten Mengen".

Insofern zeigt das Beispiel von Nichtarchimedes, dass es sinnvoll ist, den Isomorphiebegriff zu verallgemeinern.
Und die einzig mir einfallende sinnvolle Verallgemeinerung, die diese Idee erfasst, lautet:

Unter einem Isomorphiebegriff verstehen wir eine BELIEBIGE Äquivalenzrelation auf einer Klasse von Objekten!

Wie ich eben nachgeprüft habe, landen wir damit genau bei den durch Kategorien induzierten Isomorphiebegriffen!

Mit dieser für mich neuen abstrakten Sichtweise auf Isomorphiebegriffe ergeben sich einige Konsequenzen:

1. Die Frage nach einer Theorie Isomorphie-invarianter Eigenschaften kriegt ein ganz neues (vermutlich Kategorientheoretischeres) Flair, da nun nicht mehr alle in HoTT formulierbaren Eigenschaften Isomorphie-invariant sind.

2. Es erscheint nicht mehr sinnvoll, nach natürlichen und unnatürlichen Isomorphiebegriffen zu unterscheiden, wie Triceratops und ich das in diesem Thread getan haben.

3. Option 1 und 4 und 5 aus meinem Eingangspost sind wieder als voll "zulässige" und nicht mehr "fehlerhafte" Kategorien anzusehen. Auch ihre Isomorphiebegriffe sind (im Rahmen dieser verallgemeinerten Isomorphiephilosophie) sinnvolle Isomorphiebegriffe. Es "darf" wieder jede Kategorie betrachtet werden.

In diesem Sinne noch einmal allen Beteiligten ein Dankeschön für ihre Beiträge und ein schönes restliches Wochenende! 😄

Viele Grüße
Tobias

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobit09
Isomorphie-Begriff der Kategorientheorie unnatürlich?  
Beitrag No.19 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-14
tobit09
J

Hallo zusammen,


danke für die zahlreichen Beiträge!


Zu Beitrag 12 von Nichtarchimedes:

Interessant, dass es Grundlegungen der Mathematik gibt, in denen Isomorphie bereits Gleichheit impliziert.

2020-11-10 14:00 - Nichtarchimedes in Beitrag No. 12 schreibt:
Allerdings liefert einem die Homotopietypentheorie immer den stärksten sinnvollen Begriff der Isomorphie, was nicht immer der gewünschte ist. Beispielsweise würde Homotopietypentheorie zwei metrische Räume identifizieren, wenn es eine bijektive Isometrie zwischen ihnen gibt, während der natürliche Begriff hier eine bijektive beidseitige Lipschitz-stetige Abbildung wäre.
Unter dem "natürlichen Isomorphiebegriff" würde ich selbstverständlich bei Metrischen Räumen den durch bijektive Isometrien gegebenen Begriff verstehen.
Wenn Kategorientheoretiker wirklich gerne die Kategorie der Metrischen Räume mit Lipschitz-stetigen Abbildungen als Morphismen betrachten, hätten wir hier ein Beispiel für eine nicht "fehlerhaft" gewählte Kategorie, in der der Isomorphiebegriff nicht der von mir als natürlich empfundene ist (ich würde nicht von Isomorphie sprechen, wenn in dem einen Raum $d(x,y)=1$ und im anderen Raum $d'(x',y')=2$ gilt, obwohl x und y unter der Isomorphie x' und y' entsprechen). Also doch gut, dass ich nicht blind auf Übereinstimmung von Kategorientheorie und natürlichem Isomorphiebegriff vertraut habe, sondern das im Einzelfall nachgeprüft habe!


Aus Beitrag 13 von Triceratops nehme ich vor allem zwei Dinge mit:

1. Ökonomiegründe sprechen dafür, den Isomorphiebegriff über Morphismen einzuführen, wenn der Morphismenbegriff sowieso benötigt wird.
2. Der Grund, Gruppen nicht als strukturierte Mengen zu sehen, besteht darin, Gruppen nur bis auf Isomorphie zu betrachten.


Zu Beitrag 14 von _Red:

Nette Erklärung mit den Aliens... Natürlich darin inhaltlich für mich persönlich nichts Neues, aber vielleicht für manchen Mitleser. Ob ich weitere Struktursätze kennenlernen werde, liegt an meinem Interesse, schließlich ist mein erfolgreich abgeschlossenes Mathe-Diplom-Studium schon etwas her... ;-)

Dein Rezept, einen Morphismusbegriff zu entwickeln, scheint mir in manchen Beispielen zu funktionieren und in anderen Beispielen nicht. Beispielsweise würde ich eine bijektive Abbildung $f:X\to Y$ zwischen topologischen Räumen als Isomorphismus bezeichnen, wenn $U\subseteq X \text{ offen}\iff f(U)\subseteq Y\text{ offen}$ für alle Teilmengen $U\subseteq X$ gilt. Damit würde ich durch Fallenlassen der Bijektivitätsvoraussetzung nicht bei dem gewöhnlichen Begriff einer stetigen Abbildung landen.


Viele Grüße
Tobias

Strukturen und Algebra
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Thema eröffnet von: tobit09
Theorie isomorphie-invarianter Eigenschaften?  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-14
tobit09
J

Hallo Triceratops und Nichtarchimedes,

herzlichen Dank für eure weiteren klasse Beiträge!

Leider habe ich neben meinem Beruf nicht die Zeit, mich in die von euch genannten Theorien vernünftig einzuarbeiten.

Kann ich eurer Meinung nach als Quintessenz mitnehmen, dass in geeigneten Grundlegungen der Mathematik ALLE formulierbaren Aussagen über Gruppen (und andere strukturierte Mengen) Isomorphie-invariant sind?

Viele Grüße
Tobias

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobit09
Theorie isomorphie-invarianter Eigenschaften?  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-08
tobit09
J

Hallo zusammen!

Vielen Dank für eure großartigen Beiträge! Besonders freut mich, dass ihr das Problem weder als unbedeutend noch als trivial abtut, wie ich das bei einem Professor erlebt habe. 😄

Ich finde Ketzers Vorschlag sehr gut. Jede andere Definition von "gruppentheoretischer Eigenschaft" scheint mir wichtige Beispiele Isomorphie-invarianter Eigenschaften auszuschließen.

Weitere Beispiele für "gruppentheoretische Eigenschaften", die aus meiner Sicht selbstverständlich als Isomorphie-invariant erkennbar sein sollten, sind z.B. das von Triceratops gebrachte Beispiel "Der Gruppenring $\mathbb{Z}[G]$ ist nullteilerfrei." oder auch das Beispiel "G ist ein initiales Objekt in der Kategorie der Gruppen".

Ich kenne mich zwar nicht gut mit Prädikatenlogik der zweiten Stufe aus, aber vermute stark, dass sich viele praktische Beispiele nur mit großen Verrenkungen oder auch gar nicht in diesem Framework formulieren lassen. Wie soll man dort z.B. über alle Gruppen quantifizieren?

Natürlich wäre es schön, allein am induktiven Aufbau von Formeln gruppentheoretische Eigenschaften erkennen zu können. Aber ich habe den Eindruck, dass wir so keine hinreichend große Klasse von Aussagen erfassen können, um alltägliche Beispiele abzudecken.

Den Vorschlag, mit jeder Kategorie gleich eine neue Mengenlehre zu entwickeln, finde ich natürlich irgendwie schon heavy, wenn auch eine interessante Herangehensweise.

Viele Grüße
Tobias

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobit09
Isomorphie-Begriff der Kategorientheorie unnatürlich?  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-08
tobit09
J

Hallo zusammen!

In Sachen Beiträge 7 und 8 bin ich bei Triceratops.

2020-11-08 13:49 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
2020-11-07 22:58 - tobit09 in Beitrag No. 5 schreibt:
Aber z.B. in der Gruppentheorie lässt sich der Isomorphiebegriff unterschiedlich (aber äquivalent) formulieren.
Wie denn?
Ein Beispiel wäre die von dir favorisierte Definition der Existenz eines invertierbaren Homomorphismus.
Ein Beispiel, wie ich die Definition äquivalent formulieren würde, wenn mein oberstes Ziel die Verständlichkeit des "Wesens" wäre:

Eine Eins-Zu-Eins-Zuordnung zwischen zwei Mengen G und H ist eine Relation $R\subseteq G\times H$, so dass für jedes $g\in G$ genau ein $h\in H$ existiert mit $gRh$ und für jedes $h\in H$ genau ein $g\in G$ existiert mit $gRh$. Wir sagen $g\in G$ und $h\in H$ entsprechen einander unter R, wenn $gRh$ gilt.

Sei R Eins-Zu-Eins-Zuordnung zwischen Mengen G und H und $*_G$, $*_H$ Verknüpfungen auf G bzw. H. Dann sagen wir $*_G$ und $*_H$ entsprechen einander unter R, wenn für alle $g_1,g_2,g_3\in G$ und $h_1,h_2,h_3\in H$ mit $g_1Rh_1$, $g_2Rh_2$ und $g_3Rh_3$ die Äquivalenz $g_1*_Gg_2=g_3\iff h_1*_Hh_2=h_3$ gilt.
(Auf diese Weise erhalten wir eine Eins-Zu-Eins-Zuordnung zwischen der Menge Verk(G) der Verknüpfungen auf G und der Menge Verk(H) der Verknüpfungen auf H.)

Zwei Paare $(G,*_G)$ und $(H,*_H)$ (z.B. zwei Gruppen) von Mengen G und H und Verknüpfungen $*_G,*_H$ auf G bzw. H heißen isomorph, wenn eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen G und H existiert, unter der sich $*_G$ und $*_H$ entsprechen.

Ein Kompromiss wäre: Zwei Paare $(G,*_G)$ und $(H,*_H)$ von Mengen und Verknüpfungen heißen isomorph, wenn eine Bijektion $f\colon G\to H$ existiert, so dass die Äquivalenz $g_1*_G g_2=g_3\iff f(g_1)*_Hf(g_2)=f(g_3)$ für alle $g_1,g_2,g_3\in G$ gilt.

Und auch von der üblichen Formulierung "Zwei Paare $(G,*_G)$ und $(H,*_H)$ von Mengen und Verknüpfungen heißen isomorph, wenn eine Bijektion $f\colon G\to H$ existiert, so dass $f(g_1*_G g_2)=f(g_1)*_Hf(g_2)$ für alle $g_1,g_2\in G$ gilt." geht aus meiner Sicht nicht die Welt unter, solange durch zusätzliche Erklärungen sichergestellt wird, dass der Isomorphiebegriff "richtig" erfasst wird.

2020-11-08 13:49 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Kannst du mir bitte ein Beispiel einer gruppentheoretischen Eigenschaft nennen, bei der mit der kategorientheoretischen Definition nicht klar ist, dass sie unter Gruppenisomorphismen invariant ist?
Hier gehe ich natürlich das Risiko ein, mich in die Nesseln zu setzen, weil ein Beweis mit der kategorientheoretischen Definition natürlich auch immer möglich ist (schließlich ist sie ja zu jeder anderen vernünftigen Definition äquivalent). Würde ich aber als Erstsemester folgende Aussage vorgelegt bekommen und nichts weiter als deinen Zugang zum Isomorphiebegriff zur Verfügung haben, würde es mir wie ein tiefliegender Satz vorkommen, dass folgende Aussage Isomorphie-Invariant ist: "Es existiert eine abzählbar unendliche Teilmenge X der G unterliegenden Menge, so dass alle Elemente aus dem Komplement von X Ordnung 5 haben." (Für Mitleser: Triceratopos kennt diese Aussage schon aus LinkTheorie isomorphie-invarianter Eigenschaften? .)

2020-11-08 13:49 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich stimme indes nicht mit dem von dir genannten Wesen des Isomorphiebegriffs für topologische Räume überein. Nicht nur, weil hier nirgendwo das Wort "stetige Abbildung" fällt und der kategorielle Ansatz fehlt, sondern vor allem, weil hier die Topologie nicht genannt wird und die Punkte isoliert daherkommen. Was man zum Beispiel noch ergänzen könnte, ist dass sich bei der Umbenennung der Punkte die Nahheitsbeziehungen nicht verändern; ich denke hier an Kuratowski-Räume.
Selbstverständlich verlangt man, dass sich die Nahheitsbeziehungen entsprechen (wenn man von Kuratowski-Räumen ausgeht). Eine Topologie besteht natürlich nicht nur aus einer Menge. Dass sich Topologien unter einer Eins-Zu-Eins-Zuordnung einander entsprechen heißt natürlich insbesondere, dass sich die zur Definition herangezogenen weiteren topologischen Begriffe (z.B. offene Mengen bzw. Nahheitsbeziehungen) unter der Eins-Zu-Eins-Zuordnung einander entsprechen. Der Begriff der stetigen Abbildung erscheint mir für ein Verständnis des Wesens von Isomorphie topologischer Räume nicht zwangsläufig nötig, auch wenn er manches vereinfachen mag.

2020-11-08 13:49 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich wundere mich etwas über die Skepsis. Wie gesagt kommt in allen Beispielen von Kategorien der "richtige" Isomorphiebegriff heraus. Mit wievielen Kategorien bzw. wie lange hast du dich denn bisher damit beschäftigt?
Wie gesagt bin ich noch sehr am Anfang meiner Reise in die Kategorientheorie.

2020-11-08 13:49 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Und warum ziehst du es ernsthaft in Betracht, dass ein Großteil der Mathematik-Community einen "falschen Isomorphiebegriff" verwendet?
Das tue ich nicht.

2020-11-08 13:49 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Hast du den Begriff eines, sagen wir, kommutativen Ringes auch so kritisch beäugt, als du ihn gelernt hast?
Vermutlich nicht. Auslöser der aktuellen Überlegungen war der Artikel LinkKonzepte der Gruppentheorie , in dem mir (soweit ich das verstanden habe) der (sehr hohe!) Anspruch vermittelt wird, die gewählte Definition eines Begriffes müsse optimal das beabsichtigte Wesen des Begriffes wiedergeben.

2020-11-08 13:49 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Was konkret befürchtest du, wenn man Isomorphismen von Gruppen einführt so wie hier als inviertierbare Homomorphismen von Gruppen? Direkt danach kommt ein Lemma, gemäß dem sie mit bijektiven Homomorphismen übereinstimmen. Ich sehe vor allem den Vorteil, dass hier bereits der allgemeine kategorientheoretische Isomorphiebegriff angedeutet wird, der auch in allen anderen Kategorien der richtige ist. Wenn man sich jedes mal einen neuen Isomorphiebegriff überlegt, wenn man eine neue Sorte von Objekt kennenlernt, sieht man den Zusammenhang nicht unbedingt.
Du hast Recht mit dem Vorteil. Ich befürchte, dass bei Erstsemestern nur ankommt "Isomorphie ist irgend so eine abstrakte Eigenschaft mit Homomorphismen, die der Dozent willkürlich gewählt hat." ohne dass sie verstehen, welche (eigentlich simple) Idee hinter Isomorphie von Gruppen steckt.

2020-11-08 13:49 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Du hast eine etwas "klassische" Methode, mathematische Objekte zu betrachten. Aus deinen Antworten entnehme ich, dass du daran auch nichts ändern wirst.
Ich würde es so formulieren: Ich bin gerade am Anfang eines Versuches, meinen Horizont auf deine Sichtweisen zu erweitern und bin neugierig darauf, wohin mich dieser Weg führen wird. Ich habe aber nicht vor, dabei alle anderen Sichtweisen über den Haufen zu werfen.

2020-11-08 13:49 - Triceratops in Beitrag No. 10 schreibt:
Wir werden hier nicht auf einen gemeinsamen Nenner kommen, was ok ist, aber vielleicht können wir uns darauf einigen, dass beide Sichtweisen am Ende funktionieren und sich auch gegenseitig ergänzen können.
Absolut.

Viele Grüße
Tobias

Strukturen und Algebra
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Thema eröffnet von: tobit09
Theorie isomorphie-invarianter Eigenschaften?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-08
tobit09
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Hallo Triceratops!

Danke für den Vorschlag.

Ich denke, eine Prädikatenlogik (sei es nun erster, zweiter oder meinetwegen noch irgendeiner geeignet definierten höheren Stufe) bezüglich irgendeiner Sprache der Gruppentheorie ist NICHT das, was ich suche. Damit kann ich nur "isolierte" Aussagen über eine Gruppe treffen, nicht aber über ihr Zusammenspiel mit anderen mathematischen Objekten. Viele Isomorphie-invariante Aussagen arbeiten jedoch damit, z.B. auch die von mir im Eingangsbeitrag formulierte Aussage, die Querverbindungen zur Menge der natürlichen Zahlen und zur natürlichen Zahl 5 herstellt.

(Randbemerkung: Bin ganz überrascht, dass in diesem Thread von mir das Stichwort Kategorientheorie kam und von Triceratops nicht...)

Meine grobe Vorstellung vom gesuchten Framework wäre folgende:
Wir wollen zeigen, dass "Es existiert eine abzählbar unendliche Teilmenge X der G unterliegenden Menge, so dass alle Elemente aus dem Komplement von X Ordnung 5 haben." Isomorphie-invariant ist. Dazu reicht es mit einer Schlussregel aus dem Framework zu zeigen, dass für Strukturen (G,X) bestehend aus einer Gruppe G und einer Teilmenge X der G zugrunde liegenden Menge folgende Aussage Isomorphie-invariant ist: "X ist abzählbar unendlich und alle Elemente aus dem Komplement von X haben Ordnung 5.". Dazu genügt es nach einer Schlussregel aus dem Framework zu zeigen, dass "X ist abzählbar unendlich" und "alle Elemente aus dem Komplement von X haben Ordnung 5" Isomorphie-invariant sind. Nach einer weiteren Schlussregel aus dem Framework genügt es für die Isomorphie-Invarianz von "X ist abzählbar unendlich" in (G,X) die Isomorphie-Invarianz von "X ist abzählbar unendlich" in X zu zeigen. Nach Definition der abzählbaren Unendlichkeit (Existenz einer bijektiven Abbildung $f\colon X\to\mathbb{N}$) und der bereits Eingangs genutzten Schlussregel des Frameworks genügt es dafür zu zeigen, dass für Strukturen (X,f) bestehend aus einer Menge X und einer Abbildung $f\colon X\to\mathbb{N}$ die Eigenschaft "f ist bijektiv" Isomorphie-invariant ist. ...

So richtig nützlich wird das natürlich dann, wenn man zusätzlich zu einem Fundus von Schlussregeln sich grundsätzlich bei allen "mengentheoretischen" und "gruppentheoretischen" Begriffen Gedanken über ihre Isomorphie-Invarianz macht, so dass man aus einem Fundus von bereits als Isomorphie-invariant bekannten Aussagen schöpfen kann und nicht bei Null starten muss.

Hat noch niemand ein solches Projekt (Untersuchung von benötigten Schlussregeln für Isomorphie-Invarianz) unternommen, obwohl es doch laut dem im Eingangsbeitrag erwähnten Professor so trivial ist? Oder gibt es dazu bereits eine Veröffentlichung?

Viele Grüße
Tobias

Kategorientheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobit09
Isomorphie-Begriff der Kategorientheorie unnatürlich?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-08
tobit09
J

Hallo tactac!

Danke für diesen neuen Vorschlag, der für mich vielversprechend klingt.

Ich brauche etwas Zeit, mich genauer mit folgenden Fragen auseinanderzusetzen:
- Inwiefern ist deine Frage ein verkleinertes Analogon meiner Frage?
- Lässt sich bzw. wie lässt sich deine Frage sinnvoll beantworten?

Viele Grüße
Tobias

Kategorientheorie
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Thema eröffnet von: tobit09
Isomorphie-Begriff der Kategorientheorie unnatürlich?  
Beitrag No.5 im Thread
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tobit09
J

Hallo Triceratops!

Herzlichen Dank für deine schnelle, ausführliche und sehr gut auf mein Anliegen eingehende Antwort!

2020-11-07 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Der erste Absatz klingt so, als ob es mehrere äquivalente Definitionen eines Isomorphismus in einer allgemeinen Kategorie geben kann. Es gibt tatsächlich zwei (1. ein Isomorphismus ist ein Morphismus, der invertierbar ist, 2. ein Isomorphismus ist ein Paar bestehend aus zwei zueinander inversen Morphismen), aber darauf willst du wohl nicht hinaus. Welche andere Definition eines Isomorphismus schlägst du denn vor?
Ob es im Setting einer allgemeinen Kategorie mehrere äquivalente Charakterisierungen von Isomorphie gibt, weiß ich nicht bzw. habe ich auch noch nicht untersucht. Aber z.B. in der Gruppentheorie lässt sich der Isomorphiebegriff unterschiedlich (aber äquivalent) formulieren. Und da erscheint mir die kategorientheoretisch motivierte Definition der Existenz eines invertierbaren Homomorphismus nicht das "Wesen" der Isomorphie hervortreten zu lassen, sondern den Begriff eher zu verschleiern. Beispielsweise scheint bei dieser Herangehensweise noch weniger klar, wieso konkrete "gruppentheoretische Eigenschaften" isomorphie-invariant sind.

2020-11-07 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Du sagst einerseits, dass es nur einen sinnvollen Isomorphiebegriff zwischen Relationsstrukturen gibt, und da stimme ich mit dir überein, gibst dann aber eine Reihe von Definitionen von Morphismen an, die offensichtlich nicht sinnvoll oder sogar willkürlich sind; zum Beispiel, weil du die Relation gar nicht mit einbeziehst (Optionen 1 und 5), das aber bei deinem Isomorphiebegriff selbstverständlich tust. Jedenfalls legst du hier unterschiedliche Maßstäbe an. Und natürlich ist dann klar, dass verschiedene und auch unerwartete Isomorphiebegriffe daraus resultieren. Damit erklärt sich die von dir betrachtete Asymmetrie.
Da gebe ich dir Recht. Lassen wir also Optionen 1 und 5 fallen.

2020-11-07 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Die Option 2 ist der natürliche "Basis"-Morphismusbegriff hier. Vielleicht kann ich dich mit folgender Verallgemeinerung davon überzeugen:
Bevor ich das im Einzelnen studiere, arbeite ich wohl besser erstmal weiter mit deinem Buch, um die nötigen Grundlagen zu legen.

2020-11-07 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Man kann den Spieß aber auch umdrehen: wir überlegen uns keinen Isomorphiebegriff ad hoc, sondern legen den Isomorphiebegriff – selbst in einer konkreten Kategorie – durch den kategoriellen Isomorphiebegriff fest. Dies ist zum einen ökonomischer und systemetischer, zum anderen werden "falsche" Isomorphiebegriffe vermieden (vgl. "bijektive stetige Abbildungen")
Zum Argument ökonomischer: Das mag sein. Aber wichtiger finde ich, dass das Wesen des Begriffs in der Definition zum Ausdruck kommt, als dass die Definition ökonomisch kurz ist.
Zum Argument systematischer: Wenn Vereinheitlichung einem wichtig ist, spricht das in der Tat mangels Alternativen für den kategorientheoretischen Isomorphiebegriff. Begrüßen würde ich die Forschung an einer solchen Alternative, also einer ähnlich allgemeinen Theorie wie die Kategorientheorie, die den natürlichen Isomorphiebegriff besser erfasst.
Zum Argument "Vermeidung falscher Isomorphiebegriffe": Genau deshalb würde ich eben nicht blind den kategorientheoretischen Isomorphiebegriff nehmen, ohne geprüft zu haben, dass er sinnvoll ist. Auf die Idee, bijektive stetige Abbildungen als Isomorphismen zu bezeichnen, kommt man nur, wenn man eben das Wesen des Isomorphiebegriffes (zwei topologische Räume sind isomorph, wenn sie bis auf Umbenennung ihrer Punkte übereinstimmen) nicht verstanden hat. Genau dieses Unverständnis des Kerns befürchte ich durch den kategorientheoretischen Isomorphiebegriff, wenn er sich in der Lehre durchsetzen würde.

2020-11-07 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
und außerdem kommt in allen mir bekannten Beispielen ohnehin am Ende genau der Isomorphiebegriff heraus, den man sich auch (mit etwas mathematischer Erfahrung) ad hoc überlegen könnte. Aus dieser Beobachtung kann man aber keinen Satz oder ähnliches machen. Es ist einfach ein Erfahrungswert, und eine Formalisierung scheitert schon daran, dass wir nicht in einem hinreichend allgemeinen Rahmen sagen können, was ein "konkreter natürlicher Isomorphiebegriff" ist, es sei denn wir benutzen eben doch den kategorientheoretischen Begriff, sodass nichts zu zeigen wäre.
Ich nehme das mal als Arbeitsauftrag für mich mit, wenn ich einmal viel Zeit habe: Zu schaffen ist ein hinreichend allgemeiner Rahmen für einen konkreten natürlichen Isomorphiebegriff.

2020-11-07 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich möchte dich also dazu einladen, diese Perspektive einzunehmen: lasse dich von der Kategorientheorie leiten, was der "richtige" Isomorphiebegriff ist. Zuvor braucht man natürlich auch den "richtigen" Morphismusbegriff, den man sich aber durch Erfahrung und Verallgemeinerungen (wo es oftmals nur eine Wahl gibt), wie oben im Beispiel von Relationen dargestellt, erarbeiten kann.
Das erscheint mir sehr riskant. Zum einen könnte ich bei der Wahl des Morphismusbegriffs Fehler machen, zum anderen garantiert mir ja selbst bei "richtiger" Wahl des Morphismusbegriffs keiner, dass der Isomorphiebegriff der "Richtige" wird, nur weil das bisher häufig gut gegangen ist.

2020-11-07 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Ein Isomorphismus von Gruppen ist also in erster Linie erst einmal ein Morphismus von Gruppen, und erst bei Bedarf in zweiter Linie eine Zuordnung von Elementen (nämlich nach Anwendung des Vergissfunktors Grp→Set).
Das ist sinnvoll, solange ich mich mit Kategorientheorie auseinandersetze. Aber wenn mich Gruppen interessieren, z.B. isomorphie-invariante Eigenschaften von Gruppen, komme ich wohl kaum um Elemente herum, denn eine Gruppe ist nun mal eine Menge mit Zusatzstruktur. Ich sehe Kategorientheorie als Ergänzung und nicht als Ersatz für andere Sichtweisen.

Viele Grüße
Tobias

Kategorientheorie
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Isomorphie-Begriff der Kategorientheorie unnatürlich?  
Beitrag No.2 im Thread
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tobit09
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Hallo tactac,

vielen Dank für deinen Vorschlag! Das ist in der Tat eine Möglichkeit.

Meine Ausgangsfrage bleibt: Warum passt in so vielen Fällen der Isomorphiebegriff der Kategorientheorie, obwohl man nicht dem Vorschlag von tactac folgt?

Viele Grüße
Tobias

Strukturen und Algebra
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Theorie isomorphie-invarianter Eigenschaften?  
Beitrag No.2 im Thread
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tobit09
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Hallo Stefan,

danke für deinen Beitrag.

2020-11-07 16:34 - darkhelmet in Beitrag No. 1 schreibt:
in deinem Beispiel ist $G$ die einzige "freie Variable" der Aussage und für $G$ wurde nur angenommen, dass es eine Gruppe ist.
Genau.

2020-11-07 16:34 - darkhelmet in Beitrag No. 1 schreibt:
Dadurch kannst du gar keine Aussage formulieren, die nicht gruppenisomorphieinvariant ist, oder?
Doch: Beispiel für eine NICHT isomorphie-invariante Aussage: Die unterliegende Menge von $G$ enthält $\emptyset$ als Element.

Viele Grüße
Tobias

Strukturen und Algebra
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Theorie isomorphie-invarianter Eigenschaften?  
Themenstart
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tobit09
J

Hallo zusammen!

Bekanntlich erhält z.B. Isomorphie von Gruppen alle "gruppentheoretischen" Eigenschaften, d.h. alle "gruppentheoretischen" Eigenschaften sind isomorphie-invariant.

Ist jemandem eine Möglichkeit bekannt, den Begriff der "gruppentheoretischen Eigenschaft" sinnvoll zu definieren?

Beispielsweise möchte ich mal folgende (willkürliche) Eigenschaft von Gruppen $G$ betrachten:

Es existiert eine abzählbar unendliche Teilmenge $X$ der $G$ unterliegenden Menge, so dass alle Elemente aus dem Komplement von $X$ Ordnung 5 haben.

Jeder erfahrene Mathematiker "sieht" sofort ohne große Analyse, dass dies eine isomorphie-invariante Eigenschaft ist. Dennoch ist ein keine Details auslassender Beweis dieser Isomorphie-Invarianz zwar nicht schwierig, aber langwierig.

Nun fände ich es schön, wenn es ein "Framework" von einmalig bewiesenen Schlussregeln gäbe, mit dem sich einfach verifizieren ließe, dass obige Eigenschaft tatsächlich isomorphie-invariant ist. Ein Professor vertrat mir gegenüber mal die Auffassung, ein solches Framework sei ziemlich trivial. Natürlich wären die Beweise innerhalb eines solchen Frameworks wirklich trivial, aber mir erscheint es alles andere als trivial, ein solches Framework zu finden. Kennt jemand ein solches Framework? (Kann z.B. die Kategorientheorie hier helfen?)

Viele Grüße
Tobias
 

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