Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Verwirrung um Basen bei Darstellungsmatrix
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Verwirrung um Basen bei Darstellungsmatrix
Dusia_mag_LA
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.02.2021
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-02-26


Sei $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ mit

$
f((1, 1, 1)^T) = (1, 0)^T \\
f((0, 2, 0)^T) = (2, 2)^T \\
f((0, 0, -1)^T) = (1, 1)^T
$

und als Basen

$
B = ((1, 1, 1)^T, (0, 2, 0)^T, (0, 0, -1)^T) \\
C = ((1, 0)^T, (0, 1)^T)
$

dann ist die Darstellungsmatrix

$
M^B_C(f) = \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{smallmatrix}\bigr)
$

Wenn das soweit stimmt, warum kommt dann nach Anwenden der Darstellungsmatrix auf einen der Vektoren nicht der erwartete Funktionswert heraus?

$
M^B_C(f) \cdot (1, 1, 1)^T = (4, 3)^T \neq (1, 0)^T = f((1, 1, 1)^T)
$



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
reik
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.01.2010
Mitteilungen: 154
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-26


\(f((0, 2, 0)^T) = (2, 2)^T\) mittlere Spalte multipliziert mit \(2\) ergibt \((2, 2)^T\), d.h. \(\bigl(\begin{smallmatrix}
. & \color{green}{1} & .\\
. & \color{green}{1} & .
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(0, 2, 0)^T = (2, 2)^T\)

\(f((0, 0, -1)^T) = (1, 1)^T\) letzte Spalte multipliziert mit \(-1\) ergibt \((1, 1)^T\), d.h. \(\bigl(\begin{smallmatrix}
. & 1 & \color{green}{-1}\\
. & 1 & \color{green}{-1}
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(0, 0, -1)^T = (1, 1)^T\)

\(f((1, 1, 1)^T) = (1, 0)^T\) die Summe der drei Spalten ergibt \((1, 0)^T\), d.h. \(\bigl(\begin{smallmatrix}
\color{green}{1} & 1 & -1\\
\color{green}{0} & 1 & -1
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(1, 1, 1)^T = (1, 0)^T\)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dusia_mag_LA
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.02.2021
Mitteilungen: 15
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26


Vielen Dank für deine Antwort.

Tut mir leid, aber die Frage war nicht, wie man die Matrix bestimmt, sodass $(1, 0)^T$ rauskommt - sondern warum, wenn man die Darstellungsmatrix anwendet, nicht der Funktionswert rauskommt.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
reik
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.01.2010
Mitteilungen: 154
Wohnort: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-27


Ich habe Dir Unsinn erzählt! Die Darstellungsmatrix \(M^B_C(f) = \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{smallmatrix}\bigr)\) bildet \(\textbf{die Koordinaten}\) eines Vektors im Urbildraum bzgl. der Basis \( B = \left \{ (1,1,1)^T, (0,2,0)^T, (0,0,-1)^T \right \}\) auf \(\textbf{die Koordinaten}\) eines Vektors im Bildraum bzgl. der Basis \( C = \left \{ (1,0)^T, (0,1)^T \right \}\) ab. Die Koordinaten für den ersten Basisvektor sind \((1,1,1)^T_B = 1\cdot (1,1,1)^T + 0 \cdot (0,2,0)^T + 0 \cdot (0,0,-1)^T = (1, 0,0)^T\) und es folgt \(\bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(1, 0,0)^T = (1,0)^T\). Bedenke das \((1,0)^T\) die Koordinaten des Bildes bzgl. der Basis C ist, d.h. der Vektor ist \(1\cdot(1,0)^T + 0\cdot(0,1)^T = (1,0)^T_C\). In diesem Sonderfall der Standardbasis sieht man jedoch keinen Unterschied.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dusia_mag_LA hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]