Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von viertel GrafZahl
Schulmathematik » Analytische Geometrie » Vektoren/ Beweis Kreuzprodukt
Autor
Schule Vektoren/ Beweis Kreuzprodukt
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Themenstart: 2021-05-13

Bräuchte Hilfe mit einer Aufgabe, diese lautet wie folgt; Du kennst die Rechenvorschrift für das Kreuzprodukt. Es ist also zum einen zu zeigen dass dabei immer ein zu beiden Vektoren rechtwinkliger Vektor entsteht und der Betrag dieses Vektors dem Flächeninhalt des von den beiden aufgespannten Parallelogramms entspricht. Dies lässt sich durch diverse Umformungen zeigen. Du musst mir glaubwürdig zeigen, dass das allgemeingültig ist und du den Rechenweg nachvollzogen und verstanden hast. Bin schon seit mehreren Tagen am suche, aber einen Beweis bzw. die Erklärung warum man die Überkreuzrechenvorschrift benutzen darf habe ich immer noch nicht gefunden. Kann mir jemand helfen?


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Das ist ein nicht gerade kleines Unterfangen, so viel vorneweg. Du solltest über das Skalarprodukt Bescheid wissen und Grundkenntnisse in Trigonometrie haben. Nehmen wir einmal an, wir haben zwei linear unabhängige Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). Wenn die Behauptung stimmt, dass das Kreuzprodukt \(\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}\) orthogonal auf diesen beiden Vektoren steht, was muss dann für die Skalaprodukte \(\vec{a}\cdot\vec{c}\) und \(\vec{b}\cdot\vec{c}\) gelten? Daraus kann man ein 2x3-LGS bilden, indem man die Koordinaten des Vektors \(\vec{c}\) als Unbekannte ansieht. Eine mögliche Lösung dieses LGS ist die dir bekannte Definition des Kreuzprodukts: \[\vec{c}=\bpm c_1\\c_2\\c_3 \epm=\bpm a_1\\a_2\\a_3 \epm\times\bpm b_1\\b_2\\b_3 \epm=\bpm a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1 \epm\] Und nun muss man damit die Sache mit der Parallelogrammfläche zeigen. Kennst du die Formel für die Parallelogrammfläche, wenn man zwei benachbarte Seiten und den eingeschlossenen Winkel hat? Die benötigen wir hier. Du musst nun den Betrag des Kreuzprodukts bilden und durch geschickte Umformungen zeigen, dass eben genau die erwähnte Parallelogrammfläche daraus resultiert. Das wäre so der Fahrplan. Wir können das hier vesuchen, aber du solltest die einzelnen Schritte schon jeweils selbst ausprobieren und hier vorstellen. Fange also einmal mit dem oben erwähnten LGS an. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Analytische Geometrie' von Diophant]\(\endgroup\)


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 697
Wohnort: Köln
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-05-13

Die meiner Meinung nach schönste Antwort auf diese Frage kommt über den Dualraum. Betrachten wir einmal Vektoren $v=(v_1,v_2,v_3)$ und $w=(w_1,w_2,w_3)$ in $\mathbb R^3$. Betrachte nun die lineare (!) Abbildung $$ f\colon \mathbb R^3\to \mathbb R, \ (x,y,z)\mapsto \det\begin{pmatrix} x & v_1 & w_1 \\ y&v_2&w_2 \\ z&v_3&w_3 \end{pmatrix} $$ Es ist also $f\in (\mathbb R^3)^*$. Sei weiter $\langle \cdot, \cdot \rangle$ das Standardskalarprodukt auf $\mathbb R^3$. Wie zu jeder Linearform gibt es auch für $f$ einen eindeutig bestimmten Vektor $p\in \mathbb R^3$ derart, dass $$ f(u)=\langle u,p\rangle \tag1 $$ für alle $u\in \mathbb R^3$ gilt. Gleichung (1) liefert dann durch Koeffizientenvergleich, dass $p$ der Vektor sein muss, den Diophant oben angegeben hat. Nun was bedeutet $|f(u)|$ geometrisch? $|f(u)|$ ist das Volumen des Parallelepipeds, das von $u,v,w$ aufgespannt wird. Was bedeutet $\langle u,p\rangle$ geometrisch? Es ist die Länge der orthogonalen Projektion von $u$ auf $p$ multipliziert mit der Länge von $p$. Eine andere Art auszudrücken was unsere Abbildung $f$ macht ist also zu sagen, dass sie einen gegebenen Vektor $u$ nimmt und die Fläche des Parallelogramms das von $v$ und $w$ aufgespannt wird mit der Länge der Komponente von $u$, die orthogonal zu $v$ und $w$ ist, multipliziert. Und da das gerade nichts anderes sein soll als $u$ auf $p$ zu projizieren und die Länge der Projektion mit der Länge von $p$ zu multiplizieren folgt, dass $p$ orthogonal zu $v$ und $w$ sein muss und die Länge von $p$ gerade der Flächeninhalt des Parallelogramms das von $v$ und $w$ aufgespannt wird ist. 3Blue1Brown hat diesen Zugang zu der Fragestellung sehr schön in diesem Video visualisiert. LG Nico Edit: Habe gerade erst gesehen, dass es sich vermutlich um eine Frage eines Schülers handelt. Mit den Methoden der Schule bleibt fast nichts anderes als mühevolles nachrechnen übrig.


   Profil
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-13

Guten Mittag Diophant, a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃= 0 | ×(-b₁) = -a₁b₁c₁-a₂b₁c₂-a₃b₁c₃ = 0 b₁c₁+b₂c₂+b₃c₃= 0 | × a₁ = a₁b₁c₁+a₁b₂c₂+a₁b₃c₃ = 0 -a₁b₁c₁-a₂b₁c₂-a₃b₁c₃+a₁b₁c₁+a₁b₂c₂+a₁b₃c₃ = (a₁b₂-a₂b₁)c₂+(a₁b₃-a₃b₁)c₃=0 Hoffe das ist so richtig, vielen dank für die schnelle Antwort nochmal! Lg Kevin


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-05-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo Kevin, dein Gleichungssystem ist soweit richtig. Mir ist an dieser Stelle aber eine Vereinfachung eingefallen, die man hier nutzen sollte. Rechne einfach die beiden Skalarprodukte \[\bpm a_1\\a_2\\a_3\epm\cdot\bpm a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\epm\quad,\quad\bpm b_1\\b_2\\b_3\epm\cdot\bpm a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\epm\] aus, bzw. rechne nach, dass sie Null ergeben. Meine obige Variante hatte ich noch im Hinterkopf von einem Anlass, als ich es mal mit einem Schüler so herum aufgezogen hatte: wie sieht ein Vektorprodukt mit den geforderten Eigenschaften überhaupt aus? Du hast ja aber die Definition vorliegen, also reicht das Nachrechnen der Skalarprodukte aus: denn damit ist ja für beide Vektoren die Orthogonalität gezeigt (sorry für die unnötige Arbeit, aber so etwas zu planen ist nicht so ganz einfach). Könntest du für das weitere Prozedere versuchen, den hauseigenen Formel-Editor zu verwenden? Oder alternativ: deine Aufschriebe abfotografieren/einscannen und hier hochladen? Denn sonst wird es ab hier schreibtechnisch für dich ziemlich grausam... Rechne doch mal die Skalarprodukte noch aus, eines kannst du hier zur Kontrolle ja vorstellen. Und dann schreibe einmal den Betrag des Kreuzprodukts hin. Bevor wir damit anfangen noch drei Fragen: sind - quadratische Ergänzung - trigonometrischer Pythagoras - die Formel für das Trinom \((a+b+c)^2\) bekannt? Das werden wir alles benötigen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-13

Guten Abend Diophant, ich bin mir nicht so ganz sicher wie ich die Skalarprodukte und damit auch das Kreuzprodukt berechnen kann, da ich so gut wie keine Zahlen verfüge, der Rest ist mir aber bekannt. Lg Kevin


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.6, eingetragen 2021-05-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-05-13 20:33 - Kuro in Beitrag No. 5) ich bin mir nicht so ganz sicher wie ich die Skalarprodukte und damit auch das Kreuzprodukt berechnen kann, da ich so gut wie keine Zahlen verfüge... \quoteoff Du musst die beiden Skalarprodukte natürlich symbolisch berechnen, so wie sie dastehen. Dafür kannst du das Distributivgesetz für Skalarpodukte \((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\) verwenden. Das Kreuzprodukt müssen wir nicht ausrechnen, das ist als Definition ja gegeben. \quoteon(2021-05-13 20:33 - Kuro in Beitrag No. 5) der Rest ist mir aber bekannt. \quoteoff Gut. Ich ergänze die Liste noch: - die o.g. Formel für die Fläche eines Parallelogramms (also: zwei benachbarte Seiten und der eingeschlossene Winkel sind bekannt). Die Formel kann man sich mit dem Sinussatz herleiten oder leicht im Netz finden - die geometrische Definition des Standardskalarprodukts über den Kosinus des eingeschlossenen Winkels zweier Vektoren (->Schulbuch). Diese beiden brauchen wir definitiv. Dafür streichen wir die Sache mit dem Trinom wieder, das war ein Irrtum meinerseits. Heute abend werden wir nicht mehr weit kommen. Ich schlage dir folgendes vor: schreibe den Betrag des Kreuzprodukts \[\bpm a_1\\a_2\\a_3 \epm\times\bpm b_1\\b_2\\b_3 \epm=\bpm a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1 \epm\] explizit als Wurzelterm hin. Dann setze in die Formel für die Parallelogrammfläche einmal die Beträge der beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ein und vergleiche. Du hast jetzt Anfang und Ende (und damit das Ziel) unserer Rechnung dastehen. Vielleicht kommt dir ja die eine oder andere Idee, was man an Umformungen probieren könnte. Ich gebe mal noch einen Anfang: in meiner Version addiere ich unter der Wurzel das Produkt \(\vec{a}^2\cdot\vec{b}^2\) und ziehe es am Ende wieder ab. Man nennt das "das Prinzip der nahrhaften Null" und du wirst es von der quadratischen Ergänzung her kennen. Wie gesagt: das könntest du einmal ausprobieren, vielleicht inspiriert es dich zu einer eigenen Rechnung. Ansonsten frage gerne weiter nach, morgen wird sich für mich sicherlich die eine oder andere Gelegenheit finden, hier weiterzumachen. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


   Profil
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14

Guten morgen , bin mir immer noch nicht sicher wie ich das Skalarprodukt berechnen soll anhand des Distributivgesetzes berechnen soll. Hoffe das Bild hat sich erfolgreich hochgeladen. Komme leider nicht weiter. LG Kevin


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.8, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, du musst das Bild zunächst auf den Matheplanet hochladen. Dabei wird ein Link erzeugt, den du in deine Beiträge kopieren kannst. Schau mal auf der linken Seite unter MEINE UPLOADS. Dort kannst du für alle bisher hochgeladenen Bilder die Links erneut per Copy&Paste entnehmen und ins Forum kopieren. Letztendlich gilt es einfach nachzurechnen, dass in dem Skalarprodukt \[\bpm a_1\\a_2\\a_3 \epm\cdot \bpm a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \epm=\bpm a_1\\a_2\\a_3 \epm\cdot\bpm a_2b_3 \\ a_3b_1 \\ a_1b_2 \epm-\bpm a_1\\a_2\\a_3 \epm\cdot\bpm a_3b_2\\ a_1b_3 \\ a_2b_1 \epm\] sich sämtliche Summanden gegenseitig aufheben und damit Null übrigbleibt. Und für den Vektor \(\vec{b}\) dann das gleiche. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14

Guten morgen, das heißt also, dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen und hier nochmal das Bild: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54635_WhatsApp_Image_2021-05-14_at_12.10.10.jpeg Lg Kevin


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.10, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, das ist leider völlig falsch (ich verstehe noch nicht einmal, auf was du hier hinauswillst). Schaue dir nochmal gründlich folgende Punkte an: - wie rechnet man ein Skalarprodukt aus? - wie ist das Kreuzprodukt definiert? - wie ist der Betrag eines Vektors definirt? Und mache dir klar, dass wir das mit den beiden Skalarprodukten tun, um nachzuweisen, dass das Kreuzprodukt \(\vec{a}\times\vec{b}\) orthogonal auf den beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) steht. Die Sache mit dem Betrag: das dient jedoch schon der Vorbereitung für den Nachweis, dass der Betrag des Kreuzprodukts gleich der Fläche des Parallelogramms ist, welches durch die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannt wird. Das sind also zwei paar Stiefel. Lass uns zuerst die Sache mit den Skalarprodukten klären, sonst ist es vielleicht ein bisschen viel auf einmal. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-14

Guten Abend, sorry für die späte Antwort, werde mich morgen damit mehr beschäftigen aber glaube, dass sollte hier so richtig sein. Lg Kevin https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54635_WhatsApp_Image_2021-05-14_at_22.03.31.jpeg


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-05-14 22:05 - Kuro in Beitrag No. 11) Guten Abend, sorry für die späte Antwort, werde mich morgen damit mehr beschäftigen aber glaube, dass sollte hier so richtig sein. \quoteoff Leider nein, kein bisschen. Das Skalarprodukt zweier Vektoren im \(\IR^3\) rechnet man so aus: \[\bpm a\\b\\c \epm\cdot \bpm d\\e\\f \epm=ad+be+cf\] Das hast du doch in Beitrag #3 noch hinbekommen, wieso machst du es jetzt anders und insbesondere falsch? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15

Guten morgen, meinen sie das so? und beim zusammenfassen bin ich mir auch nicht ganz sicher. Lg Kevin https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54635_WhatsApp_Image_2021-05-15_at_16.14.18.jpeg


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.14, eingetragen 2021-05-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, nein, das obige ergibt leider auch keinerlei Sinn, da weiß man wieder nicht, was das überhaupt sein soll. Ich habe so langsam das Gefühl, dass du die Grundlagen überhaupt nicht ausreichend beherrschst? Wie kommst du denn überhaupt zu dieser Aufgabe, die ist ja für die Schule schon ziemlich anspruchsvoll? Ich habe dir doch in Beitrag #12 hingeschrieben, wie ein Skalarprodukt aussieht, wenn man anstelle von Zahlen mit Variablen rechnet. Und genau das müssen wir hier tun, und zwar durchgehend. Also: mit Variablen anstelle von Zahlen rechnen. Vielleicht sind dir solche Variablenbezeichner wie \(a_1\), \(a_2\) und \(a_3\) fremd? Das ist schnell erklärt, das sind einfach drei unterschiedliche Variablen. Das kann man bspw. verwenden um auszudrücken, dass es sich um die drei Koordinaten eines Vektors \(\vec{a}\) handelt. Die kleinen Zahlen rechts unten sind also Teil des Variablennamens, sie sind nicht zum Rechnen da. Man nennt solche Zahlen Index (Mehrzahl: Indizes). Es bringt uns auch nicht weiter, wenn du jetzt nur noch solche mehr oder weniger ziellosen Versuche machst anstatt nachzufragen, wenn etwas unklar ist. Von daher nochmal meine Bitte: mache dich mit allen bisher genannten Grundlagen vertraut, so dass sie klar sind, wenn wir sie benötigen. Ich schreibe dir hier jetzt nochmal alles wichtige zum Skalarprodukt hin: \[\vec{a}\cdot\vec{b}=\bpm a_1\\a_2\\a_3 \epm\cdot\bpm b_1\\b_2\\b_3 \epm=\underbrace{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}_{\text{Berechnungsvorschrift}}=\underbrace{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\varphi}_{\text{geometrische Definition}}\] (Dabei ist \(\varphi\) der von den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) eingeschlossene Winkel.) Mit der Berechnungsvorschrift machst du dann bitte nochmal einen Versuch, die beiden Skalarprodukte aus Beitrag #4 zu berechnen. Wenn dir eine für dich bessere Benennung der Vektorkoordinaten einfällt: dann verwende deine Schreibweise, darauf kommt es nicht an. Wir sollten aber jetzt schnell zu einer Arbeitsweise kommen, wo du nicht ganz so kleinschrittig arbeitest und dafür lieber nachfragst, wenn etwas unklar ist. Denn wir sind nach wie vor am leichten Teil, dem Nachweis der Orthogonalität. Richtig anspruchsvoll wird dann der Teil mit der Parallelogrammfläche. Und da sehe ich momentan nicht so ganz, wie wir das auf diese Art und Weise stemmen können... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15

Guten Mittag, die Berechnungsvorschrift kannte ich schon, mir ist nur nicht klar was ich für a1 und b1 einsetzen soll. Aber ich gehe jetzt mal davon aus, dass sie das ganze Zeit so haben wollten. Lg Kevin https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54635_WhatsApp_Image_2021-05-15_at_17.50.08.jpeg


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.16, eingetragen 2021-05-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-05-15 17:51 - Kuro in Beitrag No. 15) die Berechnungsvorschrift kannte ich schon... \quoteoff Wie bist du dann auf deine merkwürdigen Rechnungen gekommen? Wie gesagt (und bitte nicht falsch verstehen): mit einer solchen Arbeitsweise werden wir das hier nicht schaffen. \quoteon(2021-05-15 17:51 - Kuro in Beitrag No. 15) ... mir ist nur nicht klar was ich für a1 und b1 einsetzen soll. \quoteoff Nichts. Hier muss man symbolisch rechnen, es geht um einen (allgemeingültigen) Beweis. Wenn du so willst: hier müssen wir durchgehend 'mit Buchstaben rechnen'. \quoteon(2021-05-15 17:51 - Kuro in Beitrag No. 15) Aber ich gehe jetzt mal davon aus, dass sie das ganze Zeit so haben wollten. \quoteoff Nein, leider ist auch diese Rechnung Unsinn. Ich habe dir in Beitrag #8 explizit vorgerechnet, wie man mit den Differenzen im zweiten Vektor umgeht. Warum machst du das nicht so, sondern kommst wieder mit einer derart unüberlegten Idee daher? Wie würdest du denn den Term \(a\cdot(b-c)\) ausmultiplizieren? Bzw. welche der beiden Versionen hältst du für richtig: a) \(a\cdot(b-c)=ab-c\) oder b) \(a\cdot(b-c)=ab-ac\) ??? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15

Hallo, die 2. Version (B) halte ich für richtig. Lg Kevin


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.18, eingetragen 2021-05-15

\quoteon(2021-05-15 18:15 - Kuro in Beitrag No. 17) die 2. Version (B) halte ich für richtig. \quoteoff Ja, richtig. Aber in deiner Rechnung aus Beitrag #15 bist du nach der ersten Version vorgegangen. Warum also machst du ständig Dinge, von denen du weißt, dass sie falsch sind? Ich sage es jetzt nochmal: an diese doch recht anspruchsvolle Aufgabenstellung muss man mit einer ganz anderen Gründlichkeit und Sorgfalt herangehen. Wenn wir hier jetzt schon für diese leichte Übung mehr als 15 Beiträge benötigen, dann werden wir die Sache mit dem Betrag nicht in 100 Beiträgen schaffen... Nimm dir mehr Zeit dafür, die gegebenen Informationen zu verarbeiten und prüfe jeden deiner Rechenschritte auf seinen Sinngehalt und daraufhin, ob die Rechnung mit irgendwelchen dir bekannten Gesetzen im Widerspruch steht. Schaue dir jetzt also die Beiträge #4 und #8 nochmal an, dort steht alles, was du wissen musst. Und dann mache diesmal einen ernsthaften Versuch. Du hast hier doch einen großen Vorteil: du weißt, was in beiden Fällen herauskommen muss. Nämlich Null, da das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren stets Null ergibt. Und genau das musst du hier nachrechnen. Gruß, Diophant


   Profil
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-15

Guten Abend, habe mir jetzt mehr Zeit für die Aufgabe genommen hoffe das stimmt so. Lg Kevin https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54635_WhatsApp_Image_2021-05-15_at_21.13.43.jpeg


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.20, eingetragen 2021-05-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, das ist jetzt richtig, man muss es aber noch besser notieren, und vor allem die komplette Rechnung hinschreiben. Das können wir aber besser am Ende unserer Arbeit hier nochmals aufgreifen. Bevor es jetzt mit dem Betrag weiter geht, würde ich dich (erneut!) zunächst um folgende drei Dinge bitten: - schreibe den Betrag des Kreuzprodukts als Wurzelterm auf, - recherchiere zur Sicherheit nochmals die Formel, die man für gewöhnlich als den 'Trigonometrischen Pythagoras' bezeichnet, - recherchiere ebenso die angesprochene Parallelogrammfläche und notiere sie mit Hilfe der Beträge der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), die du aber nicht als Wurzelterme sondern nur mittels Betragsklammern notierst. Wenn dir das kleine griechische \(\varphi\) ('phi') nichts sagt, verwende ein dir bekanntes Winkelsymbol, etwa \(\gamma\). Das alles postest du dann ersteinmal. Und dann sehen wir weiter - aber morgen. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


   Profil
Kuro
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.05.2021
Mitteilungen: 11
  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-16

Guten morgen, ist das die richtige Formel für die Parallelogramm Fläche? Bin mir nicht sicher, ob das mit den Betragklammern anstatt von dem Wurzelterm stimmt. Lg Kevin https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54635_WhatsApp_Image_2021-05-16_at_14.12.07.jpeg


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7688
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.22, eingetragen 2021-05-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, nein, die Formel für die Fläche ist falsch. Ebenso ist deine Schreibweise des Betrags insofern falsch, als auf der linken Seite die Betragsklammern fehlen und auf der rechten Seite wieder klar wird: du bist dir nicht einmal sicher darüber, was man unter dem Betrag eines Vektors versteht. Ich möchte in diesem Zusammenhang darauf hinweisen, dass es Wikipedia gibt. Und noch ein Hinweis: in diesem Portal hier ist Mitarbeit und Eigeninitiative gefragt, das mal zum einen. Zum anderen hast du mir bisher noch nicht verraten, wofür du das alles hier brauchst? Für mich wäre diese Information durchaus wichtig. So oder so, um das hier zu stemmen muss von dir (deutlich) mehr kommen. Fassen wir einmal zusammen, was wir haben (die Parallelogrammfläche und eine weitere Identität spendiere ich jetzt einmal, nachdem du das bisher hartnäckig überlesen hast...): Der Betrag des Kreuzprodukts ist \[\left|\bpm a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1 \epm\right|=\sqrt{\left(a_2b_3-a_3b_2\right)^2+\left(a_3b_1-a_1b_3\right)^2+\left(a_1b_2-a_2b_1\right)^2}\] Da stehen wir sozusagen. Die Fläche eines Parallelogramms, wenn man zwei angrenzende Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennt ist \[A=a\cdot b\cdot\sin\gamma=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\sin\gamma\] Dort wollen wir hin. Bzw.: dort musst du hingelangen. Dazu braucht es eine Reihe von Termumformungen, bei denen auch noch der sog. 'Trigonometrische Pythagoras' \(\sin^2x+\cos^2x=1\) eine Rolle spielt. Ich gebe dir hier jetzt noch drei Dinge mit, ich würde dich jedoch bitten, damit jetzt einen wirklich ernsthaften Versuch zu unternehmen. Ich schlage dir also folgende Umformung als Beginn vor: \[\ba \left|\bpm a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1 \epm\right|&=\sqrt{\left(a_2b_3-a_3b_2\right)^2+\left(a_3b_1-a_1b_3\right)^2+\left(a_1b_2-a_2b_1\right)^2}\\ \\ &=\sqrt{\left[(a_1b_1)^2+(a_2b_2)^2+(a_3b_3)^2\right]+\left(a_2b_3-a_3b_2\right)^2+\left(a_3b_1-a_1b_3\right)^2+\left(a_1b_2-a_2b_1\right)^2-\left[(a_1b_1)^2+(a_2b_2)^2+(a_3b_3)^2\right]} \ea\] Versichere dich zunächt, dass obiges richtig ist und warum. Um den Sinn der obigen Umformung verstehen zu können, würde ich dich weiterhin bitten, den folgenden Term auszumultiplizieren: \[(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\] Vergleiche das Resultat mit den oben hinzugefügten Termen! Und dann überlege, wie man jetzt weitermachen könnte. Und noch eine Rechercheaufgabe (und hier bitte sehr gründlich mit Hilfe von Schulbuch und/oder Internet recherchieren): wie hängen der Betrag eines Vektors und das Skalarprodukt zusammen? Was ist insbesondere der Unterschied der beiden Terme \(\left|\vec{a}\right|^2\) und \(\vec{a}^2=\vec{a}\cdot\vec{a}\)? Falls etwas unklar ist: bitte frage nach, bevor du erneut Zeit in die nächste unsinnige Rechnung investierst. Ansonsten die nächste Rückfrage bitte erst stellen, wenn du auf alle Fragen hier eine substantielle Antwort hast. Es macht sonst wirklich keinen Sinn. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


   Profil
Kuro hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kuro wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]