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 2 Differentialgleichungen |
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Launebaer
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.09.2003
Mitteilungen: 49
 |  Themenstart: 2003-09-12
|
Hi,
ich habe nahezu keinen Plan von Differentialgleichungen, muss jedoch gleich mal zwei Aufgaben davon lösen. Das charakt. Polynom (NS) scheint man ja fast immer zu lösen, zumindest bei 2. und n-ter Ordnung. Doch welche Typen haben welches Fundamentalsysstem ?
Die Frage: Warum taucht in diesem Zusammenhang immer wieder das euler e auf stellt sich mir die ganze Zeit. Bitte keinen Beweis :-), denn den brauche ich nicht.
Könnt Ihr mir sagen, welchen Typs die beiden folgenden Aufgaben sind und was man beim Bestimmen der allgemeinen Lösung hier beachten muss ? Danke auch. Habe schon einiges zum lesen gefunden, jedoch klappt es nicht bei der Umsetzung.
1.
y'''(t)+2y''(t)+2y'(t)=t
2.
y''(t)+4y(t)=tcos2t
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PHvL
Senior 
Dabei seit: 28.08.2003
Mitteilungen: 216
Wohnort: München, Deutschland
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-09-12
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Das sind inhomogene (es kommt ein Term ohne y oder einer Abl. von y vor), lineare (y und jede Ableitung von y steht nur alleine) Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten (die Koeffizienten vor y und den Abl. von y sind Zahlen).
Deren allgemeine L"osung erh"alt man als Summe aus einer partikul"aren (einzelnen) L"osung der DGL und der allgemeinen L"osung der homogenen Gleichung, die nur Terme mit y oder Ableitungen von y enth"alt.
Die folgende Darstellung ist sehr allgemein gehalten, ich hoffe, ich schockiere dich nicht zu sehr damit:
Die allgemeine L"osung der homogenen Gleichung vom Grad n (h"ochste vorkommende Ableitung) erh"alt man mit dem Ansatz
y(t)=exp(\lambda t)
Aus diesem folgt das charakteristische Polynom, was die Verbindung mit der Exponentialfunktion erkl"art.
Als Fundamentalsystem erh"alt man die folgenden n Funktionen:
f"ur jede (unterschiedliche) Nullstelle \lambda_i des char. Polynoms
exp(t\lambda_i)
sowie, falls \lambda_i eine r-fache Nullstelle ist, zus"atzlich
t|exp(t\lambda_i)
...
t^(r-1)|exp(t\lambda_i)
Im Falle reeller Koeffizienten, treten komplexe Nullstellen immer paarweise auf:
\lambda_(+-) = \alpha +- i \beta
man kann dann auch ein reelles Fundamentalsystem verwenden, indem man f"ur die komplexen Nullstellen folgende Funktionen anstelle der obigen nimmt:
exp(\alpha t)|cos(\beta*t)
exp(\alpha t)|sin(\beta*t)
t|exp(\alpha t)|cos(\beta*t)
t|exp(\alpha t)|sin(\beta*t)
...
t^(r-1)|exp(\alpha t)|cos(\beta*t)
t^(r-1)|exp(\alpha t)|sin(\beta*t)
F"ur die partikul"are L"osung gibt es leider kein allgemeines Rezept.
Ist die Inhomogenit"at
Q(t)|exp(\gamma t)
mit einem Polynom Q vom Grad m>0 und einer k-fachen Nullstelle des char. Polynoms \gamma, hat eine partikul"are L"osung die Gestalt:
R(t)|t^k|exp(\gamma t)
mit einem Polynom R vom Grad m.
[ Nachricht wurde editiert von PHvL am 2003-09-12 11:41 ]
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