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| Autor |
  Homogenen Teil einer DGL reell machen |
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kelvin
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 27.06.2003
Mitteilungen: 184
Wohnort: Niedersachsen
 |  Themenstart: 2003-09-14
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hi,
wenn ich beim homogenen teil einer inhomogenen dgl das polynom gemaess den ableitungen aufstelle, nullstellen berechne und ein (zunaechst komplexes) fundamentalsystem aufstelle, habe ich folgendes problem.
das ist das polynom :
\lambda^3-\lambda^2+\lambda-1 = 0
also die nullstellen: 1, i und -i
ergibt das kompl. f.s.: k_1*e^t + k_2*e^it + k_3*e^(-it)
nun muesste man meiner meinung nach, um ein reelles f.s. zu erhalten,
die eulersche' relation anwenden, wodurch sich die beiden sinus werte
mit den i jeweils aufheben wuerden.
es wuerde sich ergeben: c_1*e^t + c_2 2cos(t)
tut es aber nicht, laut v.l. lautet die loesung:
c_1*e^t + c_2 cos(t) + c_3 sin(t)
waere gut, wenn mir einer erklaeren kann, warum sinus statt cosinus.
danke schonmal ;)
gruß
kelvin
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pendragon302
Senior 
Dabei seit: 29.06.2002
Mitteilungen: 2003
Wohnort: Garbsen/Hannover
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-09-14
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Hi
Du schreibst, dass deine homogene Lösung
k_1*e^t+k_2*e^(i*t)+k_3*e^(-i*t)
ist. So nun gilt
e^(i*t)=cos(t)+i*sin(t)
e^(-i*t)=cos(-t)+i*sin(-t)=cos(t)-i*sin(t)
wegen der achsensymmetrie der cosinus-Funktion und der punktsymmetrie dser sinus-Funktion.
Wenn ich das in deine Lösung einsetze erhalte ich
k_1*e^t+k_2*(cos(t)+i*sin(t))+k_3*(cos(t)-i*sin(t))
=k_1*e^t+k_2*cos(t)+k_2*i*sin(t)+k_3*cos(t-k_3*i*sin(t)
=k_1*e^t+cos(t)*(k_2+k_3)+sin(t)*(k_2*i-k_3*i)
Nun setze ich
k_1=c_1
k_2+k_3=c_2
k_2*i-k_3*i=c_3
Kommst du damit klar?
Gruß
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kelvin
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 27.06.2003
Mitteilungen: 184
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2003-09-15
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vielen dank. man berechnet die i also in die konstanten mit ein und hofft nicht darauf, wie ich dachte, dass sie nach anwendung der eulerschen relation verschwinden.
waere irgendwie auch gut gewesen, wenn das in der vorlesung gesagt worden waere, oder muss man auf sowas von alleine kommen?
nochmals vielen dank
gruß
kelvin
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