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 BWM 2. Aufgabe |
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chrissy
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 18.08.2003
Mitteilungen: 746
Wohnort: Trier
 |  Themenstart: 2003-09-20
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hi,
ich hatte versucht zu beweisen das bei der zweiten Aufgabe des Bundeswettbewerbs mathematik das gleichungssystem nur für x=y=z erfüllt ist.
Dieser *beweis* ( ist anscheinend keiner) wurde nicht angenomen.
Kann mir jemand sagen worin der Fehler liegt?
Lösung der Aufgabe 2
Es handelt sich bei den Gleichungen um kubische Gleichungen mit zwei Variablen. Insgesamt umfasst das Gleichungssystem 3 Gleichungen und 3 Variablen. Aufgrund der Form der Gleichungen muss aber x=y=z sein.
Erklärung:
x³ - 4x² -16x +60= y
y³ -4y² -16y +60= z
z³ -4z² -16z + 60=x
Wenn y>x ist, dann muss z automatisch größer y sein, da die kubische Gleichung für positive Werte als Ergebnis eine noch höhere Zahl wie die vorherige bekommt. Wenn z>y dann ist in der dritten Gleichung x größer als z dass kann aber nicht sein da z>y und y>x ist. Also bekommt man keine Lösungen.
Bei negativen Zahlen spielt sich das ganze im negativen Raum ab, nur dass die Zahlen sich nun verringern, anstatt sich zu vergrößern.
x=y=z
Da es sich dann um ein Polynom dritten Grades handelt hat die Gleichung nur drei Lösungen.
Lösungen für x =y=z:
Mit Hilfe des Newtonschemas kommt man auf eine der drei Nullstellen. Anschließend benutze ich die Polynomdivision und schließlich habe ich eine quadratische Gleichung und kann sie mit einer quadratischen Ergänzung lösen.
Polynomdivision:
y³-4y²-17y+60=(y-5)(y²+y-12)
-(y³-5y²)
y²-17y
-(y²-5y)
-12y+60
-(-12y+60)
0
y²+y-12=0
y²+y+1/4=12,25
(y+0,5)²=12,25
y+0,5=3,5 y+0,5=-3,5 (das viereck war ein v)
y=3 y=-4
Die Nullstellen sind 1. =>5
2. =>3
3. =>-4
Wenn x=y=z IL=[5,3,-4]
mfg
chrissy
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Fabi
Senior 
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4588
 | Beitrag No.1, eingetragen 2003-09-20
|
Hi!
Es ging sogar nur um ganzzahlige x (das ist wichtig, sonst gibt es mehr Lösungen).
Die Aussage
"Ist x positiv, so ist y > x"
stimmt nicht. Es ist z.B. f(4) = -4 < 4.
Das gilt nur in einer abgeschwächten Form, irgendwie sowas wie
" Ist x > 5 oder x < -5, so ist y > x bzw. y < x"
(kann man mit Monotonieverhalten der Funktion zeigen)
Das schränkt dann den Bereich der möglichen x ein auf alle natürlichen Zahlen zwischen -5 und 5, da kann mand ann probieren.
Gruß
Fabi
Und da greift dann deine Argumentation
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ChrisH
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.08.2003
Mitteilungen: 295
Wohnort: Potsdam
 | Beitrag No.2, eingetragen 2003-09-20
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Da der Thread schon besteht, poste ich auch mal meinen Ansatz dazu.
Auch dieser wurde mit Lückenhaft bewertet. (Einzig die Lösung zur 3.Aufgabe von mir
wurde in "ohne wesentliche Beanstandung" eingestuft)
Alle 3 Gleichungen besitzen genau die selben Koeffizienten und entsprechenden
Exponenten, wobei die Variablen x,y und z in zyklischer Reihenfolge auftreten.
Daher lässt sich dieses Gleichungssystem umschreiben zu:
f: x -> x^3 - 4x^2 - 16x + 60 mit x\el\IZ
und mit den Lösungen als Tripel ganzer Zahlen für die gilt:
y = f(x), z = f(y) und x = f(z)
Um das Gleichungssystem zu lösen reicht es aus eine Komponente (z.B. x)
des Tripels zu berechnen, da sich durch Einsetzen in die Funktion f die
restlichen Komponenten des Tripels ergeben, d.h. es gilt: f(f(f(x))) = x
Es existiert somit immer Lösung für Werte von x, für die gilt: f(x) = x
Daher ist es erforderlich die Schnittpunkte der Funktion f(x) mit der
Gerade g: x -> x zu berechnen.
Setzt man g(x) = x und f(x) = x^3 - 4x^2 - 16x + 60 gleich, erhält man durch
die Gleichung x^3 - 4x^2 -17x + 60 = 0 die Schnittpunkte -4, 3 und 5 als Werte
für x. Dadurch ergeben sich folgende Lösungstripel: (-4, -4, -4), (3, 3, 3)
und (5, 5, 5).
Durch Grenzwertbetrachtung erhält man:
lim f(x) = \inf
x -> \inf
lim f(x) = -\inf
x -> -\inf
Weitere Lösungen der Funktion f(x) mit f(f(f(x))) kann es bei x > 5
und x < -4 nicht geben, weil f(x) die Gerade g(x) bei den Werten x > 5
bzw. x < -4 nicht mehr schneidet und f(x) jeweils gegen \inf bzw. -\inf
strebt.
Somit gilt für x > 5: f(x) > x und für x < -4 gilt: f(x) < x
Es können dadurch weitere Lösungen nur im Intervall [-4,5] liegen.
Durch einsetzen dieser Werte als Argumente der Funktion f erhält man
keine weiteren Lösungen.
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Fabi
Senior
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4588
| Beitrag No.3, eingetragen 2003-09-20
|
Hi!
Ich finde es nicht einsichtig, dass eine Lösung für x > 5 automatisch einen Schnittpunkt vom Polynom mit der Geraden x impliziert. Natürlich hast du recht, aber du ebweist es nie.
Du müsstest eben wieder zeigen, dass für x > 5 f(x) > x gilt, was aber daraus folgt, dass es rechts von 5 keinen Schnittpunkit mehr gibt und die Ungleichung z.B. für x = 6 gilt (gälte sie irgendwo dann nicht, muss es nach dem Zwischenwertsatz noch eine Stelle mit
f(x) = x geben).
Aber das muss man eben mal aufschreiben.
Gruß
Fabi
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chrissy
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 18.08.2003
Mitteilungen: 746
Wohnort: Trier
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2003-09-20
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@Fabi:
danke für die antwort... dass mir das nicht aufgefallen ist ärgert mich ein wenig *g*.
@chris,
bei mir wars fast genauso gelaufen wie bei dir die erste wurde gewertet und die anderen hatten mängel( zwei mal einen vorzeichen fehler in der dritten aufgabe :-/ *ärgerlich*)
mfg
chrissy
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ChrisH
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 08.08.2003
Mitteilungen: 295
Wohnort: Potsdam
| Beitrag No.5, eingetragen 2003-09-20
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@Fabi:
Natürlich hätte ich alles mögliche noch beweisen können. Ich hätte sogar noch eine komplette Kurvendiskussion mitliefern können (ich war kurz davor ;-)). Ich muss aber auch sagen, dass ich das so, wie ich grad gepostet habe, nicht geschrieben hab. Ich hab beim rumstöbern auf
meiner Festplatte den Orginialtext dazu gefunden:
"Lösungen über x > 5 kann es nicht geben, weil die Funktion in diesen
Werten gegen unendlich strebt und oberhalb der Gerade g(x) = x liegt ,
d.h. f(x) > x für x > 5.
Auch für Werte von x < -4 kann es keine Lösungen mehr geben, weil dort
die Funktion gegen -unendlich strebt und der Graph der Funktion f
unterhalb der Geraden g(x) = x liegt, so dass hier gilt: f(x) < x für
x < -4."
Hier kommt es aber deutlich zu tage, dass f(f(f(x))) für x>5 keine Lösung mehr haben kann, weil ab dann für jedes x gilt: f(x) > x
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ChrisH
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 08.08.2003
Mitteilungen: 295
Wohnort: Potsdam
| Beitrag No.6, eingetragen 2003-09-20
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Mein Hauptproblem war, dass ich nicht wusste, wie weit ich die Beweise
führen musste. Im Nachhinein hätte ich vieles lieber ausführlicher gemacht....
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