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Analysis » Funktionentheorie » wesentliche Singularität
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Universität/Hochschule J wesentliche Singularität
maria17
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  Themenstart: 2008-08-16

Hallo! Ich habe ein Paar Fragen zu wesentlichen Singularitäten. Und zwar kann ich mit der Definition an sich irgendwie wenig anfangen... Zum einen kann ich wegen dem Satz von Casorati Weierstrass sagen, dass f jeder beliebigen komplexen Zahl beliebig nahe kommt, oder wie man bei dem Bild von sin(1/z) auch sieht. Aber wie kann ich das mathematisch überprüfen? Wie gehe ich da vor? Und die zweite Bedingung, dass eine Folge ((z_n))_n existiert, die in U ohne {c} gegen c konvergiert wobei (f(z_n))_n keinen Grenzwert besitzt in \IC\union\ \inf  was genau sagt das aus? Kann mir das jemand an einem Beispiel verdeutlichen, warum das für eine wesentiche Singularität steht??? Vielen Dank, viele Grüße Maria


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2008-08-16

\quoteon(2008-08-16 13:28 - maria17 im Themenstart) ... an einem Beispiel verdeutlichen, warum das für eine wesentiche Singularität steht? \quoteoff Hi Maria, nein, ein Beispiel ist hier nicht angebracht. Sondern nur eine Klarstellung, was hier überhaupt betrachtet wird. Es geht um isolierte Singularitäten, das heißt, Funktionen, die mindestens in einem Kreis, aus dem der Mittelpunkt a entfernt wurde, holomorph sind. Dies ist eine Voraussetzung und bedeutet eine wesentliche Einschränkung, denn es gibt noch viel schlimmere Singularitäten (Verzweigungspunkte), die durch diese Überlegungen nicht erfaßt werden. Für isolierte Singularitäten kann man die Laurentreihe betrachten, sie konvergiert in diesem Kreis, und es gibt drei Fälle: 1. Keine Glieder mit negativen Potenzexponenten --> hebbare Singularität. Also in Wirklichkeit ist es gar keine Singularität, weil die Funktion in den Ausnahmepunkt holomorph fortgesetzt werden kann. 2. Endlich viele Glieder mit negativen Exponenten, aber nicht 1. --> Pol. 3. Sonst --> wesentliche Singularität. Weil sich diese Möglichkeiten gegenseitig ausschließen und weil die Funktion im Fall 2. gegen ∞ strebt, muß bei einer Funktionswertfolge f(zn) mit zn --> a, die zwei Häufungswerte hat (möglicherweise einer von ihnen = ∞) der Fall 3. vorliegen. Gruß Buri


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Luke
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  Beitrag No.2, eingetragen 2008-08-16

hallo, \quoteon Und zwar kann ich mit der Definition an sich irgendwie wenig anfangen... \quoteoff die definition ist eigentlich ziemlich einfach: alles was kein pol oder keine holomorphie-stelle ist, ist eine wesentliche singularitaet. \quoteon Aber wie kann ich das mathematisch überprüfen? Wie gehe ich da vor? \quoteoff verstehe ich nicht. was willst du machen oder machen koennen? willst du die aussage des satzes von casorati-weierstrass fuer eine spezielle funktion nachrechnen? der satz von casorati-weierstrass ist bewiesen, deswegen stimmt seine aussage. das muss man nicht mehr fuer spezielle funktionen beweisen. man muss nur die voraussetzungen pruefen. zum zweiten (bedingung will ich es nicht nennen): \ fuer eine wesentliche singularitaet w kann lim(z->w, f(z)) nicht existieren, auch nicht im uneigentlichen sinne, d.h. lim(z->w, f(z)) = \inf. waere das so, dann ist f entweder holomorph in w oder hat einen pol in w. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [ Nachricht wurde editiert von Luke am 16.08.2008 14:30:36 ]


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maria17
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-16

Super damit habt ihr mir schonmal sehr geholfen! Ja ich wollte an einer konkreten Funktion die Bedingung von Casorati Weierstraß nachrechnen, um zu sehen wie ich da vorgehen kann, wenn ich überprüfen soll, dass eine Singularität wesentlich ist, aber ich Hebbarkeit und Pol nicht ausschließen kann... Geht das irgendwie? Vielen Dank nochmal! Maria


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Luke
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  Beitrag No.4, eingetragen 2008-08-16

hallo, \quoteon Ja ich wollte an einer konkreten Funktion die Bedingung von Casorati Weierstraß nachrechnen \quoteoff die bedingung? du sagst immer bedingung. redest du von der vorraussetzung oder der aussage (wenn die vorraussetzungen erfuellt sind)? und dann willst du mit diesem satz beweisen, dass eine singularitaet wesentlich ist? da muesstest du schon die umgekehrte aussage benutzen (falls die ueberhaupt gilt). ich will auch vorher erst mal eine konkrete funktion sehen, wo du "Hebbarkeit und Pol nicht ausschließen kann"st. hast du sowas? nur damit man besser darauf eingehen kann. [ Nachricht wurde editiert von Luke am 16.08.2008 15:07:30 ]


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maria17
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-16

Also ich habe hier eine Funktion f(z)=sin(\pi/((z^2)+1)) wo für die ich die Art der Singularität bestimmen soll. Ich weiß jetzt nicht wie ich ausschließen kann, dass die isolierte Singularität hebbare oder eine Polstelle ist... Also dachte ich ich mach das ganze mit dem Satz von Casorati Weierstrass, aber auch da komm ich nicht weiter...


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Buri
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  Beitrag No.6, eingetragen 2008-08-16

Hi Maria, für eine wesentliche Singularität gibt es verschiedene Bedingungen, die alle notwendig und hinreichend sind. 1. Deine "zweite" Bedingung, die Wertfolge hat zwei Häufungswerte. 2. Der Satz von Casorati-Weierstraß, zu jeder komplexen Zahl c gibt es eine Wertefolge f(zn) mit Häufungswert c und zn --> a. 3. Der große Satz von Picard: Die Funktion läßt in einer Umgebung außer dem Wert ∞ (den sie wegen der Isoliertheit nicht unendlich oft annehmen darf) höchstens einen weiteren Wert aus. Die schwächste Bedingung ist 1., die stärkste 3. Wenn man beweisen will, daß eine wesentliche Singularität vorliegt, dann nimmt man natürlich am besten die schwächste Bedingung, weil das am leichtesten geht. Gruß Buri


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maria17
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-16

Das heißt ich sollte eine Folge suchen...die Lösung schlägt (i*sqrt(1-(2/2n+1)))_(n\el\ \IN) vor, und wenn ich das in die Sinusfunktion einsetzte bekomm ich -1 und 1 als Grenzwert raus, also passt! Gibt es irgendwelche Tricks auf solche Folgen zu kommen? Vielen vielen Dank an euch beide!


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Buri
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  Beitrag No.8, eingetragen 2008-08-16

\quoteon(2008-08-16 15:46 - maria17 in Beitrag No. 7) Gibt es irgendwelche Tricks auf solche Folgen zu kommen? \quoteoff Hi Maria, besondere Tricks sind das nicht, es ist nur ein wenig handwerkliches Geschick, also ein bißchen Wurzelziehen und Bruchrechnen. Es ist sin((n\p)/2)=+-1 für ungerade Zahlen n und sin((n\p)/2)=0 für gerade Zahlen. Ohne Mühe kann man die Gleichung \p/(x^2+1)=(n\p)/2 nach x auflösen, es gibt zwei Lösungen, und wenn man n durch 2n+1 ersetzt, bekommt man x=+-sqrt(1-2/(2n+1))*i. Gruß Buri [ Nachricht wurde editiert von fed am 16.08.2008 16:28:10 ]


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Wally
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  Beitrag No.9, eingetragen 2008-08-16

\quoteon(2008-08-16 14:29 - Luke in Beitrag No. 2) hallo, \quoteon Und zwar kann ich mit der Definition an sich irgendwie wenig anfangen... \quoteoff die definition ist eigentlich ziemlich einfach: alles was kein pol oder keine holomorphie-stelle ist, ist eine wesentliche singularitaet. \quoteoff \ Leider ist die Welt nicht ganz so einfach, Luke: man muss auch die Isoliertheit überprüfen. 1/sin(1/z) hat bei z_0=0 eine Singularität, die nicht isoliert und daher so nicht klassifizierbar ist. Wally


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maria17
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-16

Hallo Wally! Kann ich dann immer sagen wenn ich einen Häufungspunkt von Singularitäten habe, also so wie z.B. \inf von 1/sinz, dass hier dann keine isolierte Singularität vorliegt, also kann ich dann keine Aussage über die Art der Singularität machen, oder?


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Buri
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  Beitrag No.11, eingetragen 2008-08-16

Hi Maria, zum ersten: ja, aber das ist trivial. Eine Singularität, die nicht isoliert ist, ist nicht isoliert. zum zweiten: nein, nicht unbedingt. In älteren Büchern ist durchaus davon die Rede, daß eine Häufungsstelle von Polen eine wesentliche Singularität ist. Das ist auch sachgemäß, aber man muß dann die Definition des Begriffes "wesentliche Singularität" so abändern, daß sie auch auf nicht isolierte Singularitäten anwendbar ist, zum Beispiel so, daß man voraussetzt, daß die Funktion in einer offener Menge, mit Ausnahme eines einzigen inneren Punktes, meromorph ist, statt holomorph. Gruß Buri [ Nachricht wurde editiert von Buri am 16.08.2008 18:17:39 ]


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Luke
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  Beitrag No.12, eingetragen 2008-08-16

hallo wally, ja, das stimmt, aber dass es sich um isolierte singularitaeten handelt setze ich hier vorraus, denn nach meiner wahrnehmung ist es das, was ueblicherweise in einem buch oder einer vorlesung zur "funktionentheorie (1)" behandelt wird (meistens heisst dort ein kapitel "isolierte singularitaeten").


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maria17
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-17

Jetzt hätte ich noch eine letzte Frage, weil ich immer noch nicht ganz zurecht komme... Ich habe eine Funktion f:\IC\{0}->\IC und sie ist holomorph und erfüllt f(1/n)=((-1)^n)*1/n (n=1,2,3,...) und ich soll beweisen, dass diese Funktion in 0 keine Polstelle und keine hebbare Singularität haben kann. Jetzt wenn ich aber doch mit n->\inf gehe (weil so komm ich doch auf Null) dann bekomm ich doch als Grenzwert Null oder?? Also irgenwie hab ichs noch nicht voll verstanden... Und dann soll noch eine konkrete Funktion mit der Eigenschaft angegeben werden... Danke für jede Hilfe! Maria


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Buri
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  Beitrag No.14, eingetragen 2008-08-17

\quoteon(2008-08-17 10:31 - maria17 in Beitrag No. 13) ... dann soll noch eine konkrete Funktion mit der Eigenschaft angegeben werden ... \quoteoff Hi Maria, ich beginne mit der zweiten Aufgabe. Es gilt cos(\p*n)=(-1)^n für alle n\in\IZ, also ist f(z)=z*cos(\p/z) die einfachste derartige Funktion. Wenn f : \IC\\ menge(0)->\IC holomorph ist und die Gleichung erfüllt, dann ist 0 kein Pol (warum?), und wenn sie eine hebbare Singularität hätte, kann man die Singularität nur auf eine Art beheben. Die Funktion g(z)=f(z)/z hätte dann auch eine hebbare Singularität in 0 (warum?), aber wegen g(1/n)=(-1)^n ist das unmöglich, Widerspruch. Gruß Buri [ Nachricht wurde editiert von Buri am 17.08.2008 11:07:42 ]


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maria17
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-17

Also dass die Funktion keinen Pol in 0 hat würd ich sagen liegt daran, dass der Grenzwert der Folge nicht \inf  ist. Dass auch g(z)=f(z)/z eine hebbare Singularität in 0 hätte verstehe ich nicht. Da doch, wenn ich die Ordnungsfunktionen betrachte, f(z) in 0 dann Ordnung Null hat, und z Ordnung 1, also g(z) Ordnung -1 und das ist dann doch ein Pol dachte ich...


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fru
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  Beitrag No.16, eingetragen 2008-08-17

\ Hallo Maria! Ja, wenn f eine hebbare Singularität hätte, würde der Grenzwert lim(z->0,f(z))=:L\el\IC existieren. Dann wächst aber abs(g(z)) für z->0 über alle Schranken, was in Widerspruch zu abs(g(1\/n))=1 für n\el\IN^\* steht ... \(EDIT \- s.w.u. bei Buri \ - ..., falls L!=0 ist). Liebe Grüße, Franz [ Nachricht wurde editiert von fed am 18.08.2008 21:08:09 ]


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  Beitrag No.17, eingetragen 2008-08-17

\quoteon(2008-08-17 11:39 - maria17 in Beitrag No. 15) ... Da doch ... f(z) in 0 dann Ordnung Null hat ... \quoteoff Hi Maria, nein, die Ordnung ist nicht 0. Mit anderen Worten, im vorigen Beitrag hat fru die Diskussion nur für den Fall L ≠ 0 geführt, aber dies ist genau der Fall, der nicht auftreten kann, und in diesem Fall hätte g einen Pol, also Ordnung - 1, wie du dir überlegt hast, und fru hat es auch bewiesen. Gruß Buri [Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.] [ Nachricht wurde editiert von Buri am 17.08.2008 21:52:51 ]


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maria17
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-17

A ok, das versteh ich. Das heißt ich konstruiere mir dann eine andere Funktion und schaue dann, was mit der passieren würde und leite das so zum Widerspruch... Vielen Dank! [Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


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maria17
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-17

Hallo Buri Wieso wäre die Ordnung von f(z) nicht Null? Für eine hebbare Singularität dachte ich ist die Ordnung immer Null...falsch?


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Buri
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  Beitrag No.20, eingetragen 2008-08-17

\quoteon(2008-08-17 12:38 - maria17 in Beitrag No. 19) Hallo Buri Wieso wäre die Ordnung von f(z) nicht Null? Für eine hebbare Singularität dachte ich ist die Ordnung immer Null...falsch? \quoteoff Hi Maria, ja, es ist falsch. Gruß Buri


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Wally
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  Beitrag No.21, eingetragen 2008-08-17

Hallo, Maria, das ist wirklich nicht ganz einfach. Bitte lies Buris Beitrag 14 noch mal genau durch - und du wirst (hoffentlich) erleuchtet werden. Wally


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Buri
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  Beitrag No.22, eingetragen 2008-08-17

Hi Maria, man kann jede reguläre Stelle zu einer hebbaren Singularität machen, indem man den Funktionswert an der Stelle "vergißt". Setzt man den Wert wieder ein, dann hat die Funktion eine Ordnung ≥ 0, das ist äquivalent zu holomorph (regulär). Ob die Ordnung 0 ist oder > 0, hängt von dem Funktionswert ab (wie?). In diesem Beispiel sind zwei Fragen zu klären: 1. Angenommen, 0 ist hebbar für f, wie lautet dann der der Wert f(0), der festgesetzt werden muß, um die Singularität zu beheben? 2. Welche Ordnung hat dann f im Punkt 0 mindestens? Gruß Buri


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maria17
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  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-18

Also ich habe mich jetzt mal nochmal intensiv mit der ganzen sache beschäftigt... Ist die Ordnung in einem Punkt >= 0 dann ist die Funktion auf jeden Fall mal in dem Punkt holomorph. Ich kann ja dann die Laurentenwicklung um diesen Punkt schreiben und die hat verschwindenden Hauptteil also holomorph. Ist die Ordnung > Null, dann hat die Funktion in diesem Punkt eine Nullstelle der Ordnung m. Die Taylorentwicklung beginnt dann erst bei m. Soweit alles richtig? Wäre die Funktion in 0 hebbar, dann wäre der Wert f(0) gleich dem Grenzwert lim(z->0,f(x)). Aber warum dann g auch eine hebbare Singularität hätte, leuchtet mir leider immer noch nicht ein... Vielleicht hättest du nochmal einen Tipp für mich??? Vielen vielen Dank für deine Hilfe! MAria


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  Beitrag No.24, eingetragen 2008-08-18

Hi Maria, schau doch mal in deinen eigenen Post #15 und mache dort (mit den neuen Erkenntnissen) weiter. Gruß Buri


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maria17
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  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-18

Dann ist die Ordnung von g(z) in Null >=-1, je nachdem, welche Ordnung f(z) genau in Null hat. Das heißt doch dann, dass g(z) entweder einen Pol 1.Ordnung, eine hebbare Singularität, oder eine Nullstelle in Null hätte. Und dann komm ich nicht drauf, warum g(z) eine hebbare Singularität in Null haben muss... confused


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Buri
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  Beitrag No.26, eingetragen 2008-08-18

Hi Maria, wegen f(0) = 0 ist die Ordnung von f ≥ 1, und die Ordnung von g ist ≥ 1 - 1 = 0, also liegt eine hebbare Singularität vor. Gruß Buri


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maria17
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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2008-08-18

Ach du meine Güte natürlich! Mensch da stand ich auf dem Schlauch! Vielen vielen Dank für deine GEduld!


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