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 nichtkonstantes Polynom |
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labade
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 |  Themenstart: 2008-09-14
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Fundamentalsatz der Algebra:
Jedes nichtkonstante Polynom p (x) besitzt über der Menge \IC mindestens eine Nullstelle, d.h., die Gleichung p (x) = 0 ist über die Grundmenge \IC lösbar.
Was bedeutet nichtkonstantes Polynom?
LG, labade
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Neox
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2008-09-14
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Hallo,
weißt Du was ein konstantes Polynom ist?
Wenn ja weißt Du auch die Antwort auf diese Frage 
Gruß
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labade
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-14
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Okay....
Was ist ein konstantes Polynom? 
Lg, labade
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Neox
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| Beitrag No.3, eingetragen 2008-09-14
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Ein konstantes Polynom ist ein Polynom,welches JEDEM x aus dem Definitionsbereich DENSELBEN Polynomwert zuordnet.
Nun solltest Du wissen,was ein nicht konstantes Polynom ist 
Gruß Neox
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labade
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-14
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D.h. wenn ich folgendes Polynom habe:
3x^4-2x^3+x^2-x+5
dann kann es sein, dass das x^4 ein anderes x ist als das x^3 ?
LG, labade
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labade
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-14
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Maaaah bitte ich will nimma!
Ich hab jetzt weiter gelesen, und da steht folgendes....
p (x_1) = x_1^n+a_(n-1) x_1^(n-1)+...+a_1 x_1+a_0 = 0
p(x) = x^n+a_(n-1) x^(n-1)+...+a_1 x+a_0 = 0
p (x_1) = x_1^n+a_(n-1) x_1^(n-1)+...+a_1 x_1+a_0 = 0
p(x)-p(x_1) = (x^n-x_1^n) + a_(n-1) (x^(n-1) - x_1^(n-1)) + ... + a_1 (x-x_1)
Da gehts noch weiter mit Binome aufspalten, Faktoren herausheben, noch irgendwas aufspalten bis man schließlich zu einem Restpolynom in x vom Grad n ( r_(n-1) (x)
) kommt.
Das Restpolynom kann man dann auch noch weiter aufspalten, aber ich setz total aus...
Ich kann mir darunter genau ÜBERHAUPT nix vorstellen. Wieso sind Schulbücher immer so besch..... können die nicht einfach hinschreiben was ein Restpolynom ist???? *grummelschimpfärger*
Ok: Kann mir irgendjemand erklären (idiotensicher) was Sache ist - bin echt schon am Verzweifeln.
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Neox
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| Beitrag No.6, eingetragen 2008-09-14
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Also zunächst einmal ist dein oben angegebenes Polynom nicht konstant und es scheint als hättest Du es noch nicht so ganz verstanden.
P(x)=n mit n \el \IN ist ein konstantes Polynom, denn jedem x wird der Wert n zugeordnet. Hingegen ist kein Polynom "in dem ein x auftaucht" konstant,denn der Wert dieses Polynoms an der Stelle x hängt ja eben gerade von x ab.
Hast Du das soweit verstanden?
zu deiner anderen Frage:
Da verstehe ich den Zusammenhang nicht in welchem ein Restpolynom eingeführt wird. Mit diesen Bruchstücken kann ich leider nicht viel anfangen
Gruß Neox
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labade
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-14
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Ich hab auch nicht gemeint, dass es ein konstantes Polynom ist - egal :-)
So gehts weiter:
Aufspalten der Binome nach der Formel
....
Herausheben des gemeinsamen Faktors ( x-x_1):
p(x) - p ( x_1 ) =
=(x-x_1)[(x^(n-1) + x^(n-2) * x_1 + ... + x*x_1 ^(n-2) + x_1 ^(n-1) )+ a_(n-1)(x^(n-2)+x^(n-3) x_1 + ... + x*x_1 ^(n-3) + x_1 ^(n-2))+ ... + a_1]
Ausserdem gilt p (x1) = 0, da x1 Nullstelle des Polynoms ist. Das Polynom p (x) kann also folgendermaßen aufgespalten werden:
=(x-x_1)[(x^(n-1) + x^(n-2) * x_1 + ... + x*x_1 ^(n-2) + x_1 ^(n-1) )+ a_(n-1)(x^(n-2)+x^(n-3) x_1 + ... + x*x_1 ^(n-3) + x_1 ^(n-2))+ ... + a_1]
r_(n-1) (x)
Restpolynom in x vom Grad n-1
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Neox
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| Beitrag No.8, eingetragen 2008-09-14
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Ok, jetzt habe ich es verstanden.
Man kann jedes Polynom vom Grad n mit n-Nullstellen in n Linearfaktoren zerlegen. Genau das wird hier iterativ gemacht.
Am besten illustriert dies ein Beispiel.
p(x)= x^3+2x^2-x-2
Dann erhält man durch probieren als eine Nullstelle x=1
also muss man den Faktor (x-1) abspalten,so dass das Polynom die Form
p(x)=(x-1)*q(x)
mit einem Polynom q vom Grad n-1,dies ist also das Restpolynom.
Um dies zu bestimmen macht man einfach eine Polynomdivision
(x^3+2x^2-x-2):(x-1)= x^2+3x+2
Nun sucht man die Nullstellen dieses Restpolnoms, diese sind x=-2 und x=-1
=> x^2+3x+2=(x+1)(x+2)
Und insgesamt
p(x)=x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+2)(x+1)
Ich hoffe das hat dir ein wenig weitergeholfen?!
Gruß Neox
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labade
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2008-09-14
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Okay - ein bisschen klarer ists schon geworden, aber ich muss noch ein paar Dinge nachlesen. Vielleicht kapier ichs dann.
Vielen Dank!
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