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 DGL dritter Ordnung?! |
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insane
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
 |  Themenstart: 2003-10-16
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Hallo allerseits,
bei folgender Aufgabe komme ich ma wieder nicht weiter:
y'''-6y''+9y'= x*exp(3x)
habe zuerst die homogene Lösung berechnet
z_hom= c1 + c2 * exp(3x)
wie gehe ich jetzt weiter vor um die partikulärlösung zu bestimmen ???
schon mal danke
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Rodion
Senior 
Dabei seit: 29.10.2002
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2003-10-16
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Es gibt da 2 grundsätzliche Möglichkeiten:
Oft verwendet man in solchen Fällen einen speziellen Ansatz.
Das heißt, wenn die rechte Seite eine spezielle Form hat, so weiß man schon in etwa, wie eine Lösung aussieht und arbeitet damit weiter.
In deinem Fall hat man z.B. folgende Situation:
Die rechte Seite hat die Gestalt
e^(\m*x)*sum(b_i*x^i, i=0, m)
wobei \m eine r-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Dann ist der Ansatz:
y_p(x) = e^(\m*x)*x^r*sum(c_i*x^i, i=0, m)
In diesem konkreten Fall ist m=1, r=2 und \m=3, also Ansatz:
y_p(x) = e^(3*x)*x^2*(c_0 + c_1*x)
Durch Einsetzen kannst du nun c_1 und c_2 bestimmen und hast eine spezielle Lösung.
Nachteil ist natürlich, daß der Ansatz vom Himmel fällt. Zu genauen Bestimmung bei beliebigen Inhomogenitäten gibt es z.B. das Verfahren der Greenschen Funktion. Wenn du daran interessiert bist, sag noch mal Bescheid.
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
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| Beitrag No.2, eingetragen 2003-10-16
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Ich merke gerade, du hast die homogene Lösung nicht korrekt bestimmt.
Du mußt beachten, daß 3 eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Im Prinzip funktioniert der Ansatz aber genauso.
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insane
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-16
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also wäre die Lösung erstmal
c1 + c2 * exp(3x) +c3 *exp(3x) ?
aber das mit der rechten seite habe ich noch nicht ganz verstanden :(
in der Formel taucht die gar nicht auf oder?
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2003-10-16
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Hi insane,
nein, das ist nicht korrekt. Da kann man doch c2 und c3 zusammenfassen und hat dasselbe wie vorher. Wie lautet die allgemeine Lösung der homogenen DGL im Resonanzfall?
Gruß Eckard
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insane
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-16
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hmm..wie soll man das denn sonst schreiben bei einer doppelten nullstelle?
resonanzfall? nie gehört...was ist das? hört sich nach physik an aber ich kann daraus z.Z. keinen hinweis in bezug zu dieser aufgabe ableiten?!
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Eckard
Senior
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.6, eingetragen 2003-10-16
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Resonanzfall bedeutet, dass das
\m
aus Rodions Ausdruck für die rechte Seite - auch bekannt als Störglied (siehe oben), also der Faktor im Exponenten beim e^(3x), also die "3" gleichzeitig Wurzel der charakteristischen Gleichung ist, die du ja zur Berechnung der homogenen Lösung berechnen musst. Ist ja hier so. (Diese mögliche Übereinstimmung heißt in Anlehnung an die Gleichheit von Eigen- und Erregerfrequenz bei schwingenden System in der Physik auch hier Resonanz.)
Aber noch einmal zurück zur doppelten Wurzel der charakteristischen Gleichung. Wann immer das auftritt, lauten die weiteren Summanden, aus denen die homogene Lösung zusammengesetzt wird (Superpositionsprinzip!, da es sich um eine lineare DGL handelt):
e^(3x) , x*e^(3x) , x^2*e^(3x) , usw.
hier also (da zweifache Nullstelle):
e^(3x) und x*e^(3x) (und nicht mehr)
Mach dir bitte die Mühe und rechne kurz nach, dass
y_h(x)=c_1+c_2*e^(3x)+c_3*x*e^(3x)
tatsächlich die allgemeine Lösung der homogenen DGL ist.
Gruß Eckard
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insane
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Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-16
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also nochmal...
weil auf der rechten seite x*exp(3x) steht
und allgemein c1*exp(t*x) bzw, bei doppelter nullstelle
c1*exp(t*x)+c2*exp(t*x) herauskommt ist die partikuläre lösung identisch mit der homogenen? oder?
habe von der letzen gleichung die ableitungen gebildet und gerechnet
habe da jetzt x = 36/53 raus???? also habe ich mich wohl verrechnet oder?
sollte da 0 = 0 rauskommen oder ?
fragen über fragen...
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
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Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.8, eingetragen 2003-10-16
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Hi insane,
nix von alledem, aber gib nicht auf!!!
1): Nicht c1*exp(t*x)+c2*exp(t*x), sondern c1*exp(t*x)+c2*x*exp(t*x) ist die allg. Lösung der homogenen DGL. Das x als Faktor macht den Unterschied aus. Du musst genau lesen.
2): Die homogene Lösung kann niemals identisch mit der partikulären Lösung sein, denn sie weiß doch gar nichts vom Störglied (von der rechten Seite). Letzteres wird doch zwangsweise null gesetzt bei der homogenen DGL.
3): 36/53, also eine Zahl, kann ebenso niemals herauskommen. Du rechnest nur mit Funktionen! Schreib mal auf, was du gerechnet hast, dann sag ich dir die Stelle, von der ab es falsch wird ;-)
Wir klären erst das mit der homogenen Lösung, sonst geht zuviel durcheinander. Ok?
Gruß Eckard
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insane
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Dabei seit: 19.12.2002
Mitteilungen: 368
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2003-10-16
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ja das hatte ich schon verstanden habe es nur vergessen hinzuschreiben (das x in der homogenen klsung)
so damit ist die homogene lösung bestimmt...
aber die partikulärlösung..wie bestimme ich die nun
dazu muss doch irgendwie die rechte seite also das störglied mit einbezogen werden...
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Rodion
Senior
Dabei seit: 29.10.2002
Mitteilungen: 2050
| Beitrag No.10, eingetragen 2003-10-16
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So, bin auch wieder da.
Also, wie ich oben schon schrieb, es gibt Methoden, partikuläre Lösungen zu bestimmen, die allgemeingültig sind, und es gibt die Methode des speziellen Ansatzes.
In diesem Fall würde ich zu speziellem Ansatz raten. Wenn die rechte Seite eine bestimmte Form hat, und in deinem Fall ist das so, dann kann man mit ganz speziellen Funktionen eine partikuläre Lösung bestimmen.
Wie das genau funktioniert steht in dem fed-Text meines oberen Beitrags.
Die Inhomogenität ist insofern da mit eingegangen, als man nur ihretwegen solch einen Ansatz benutzen kann. Bei anderen Inhomogenitäten ist dieser Ansatz falsch und führt nicht zum Ziel.
In diesem Fall aber setzt du (siehe oebn):
y_p(t) = e^(3*x)*x^2*(d_0 + d_1*x)
Ich habe die Konstanten jetzt d genannt, damit du sie nicht mit den c-Konstanten der allgemeinen homogenen Lösung verwechselst.
Dieses y_p mußt du jetzt in die inhomogene Differentialgleichung einsetzen und daraus d_0 und d_1 bestimmen (Zahlenwerte!).
Dann hast du eine partikuläre Lösung gefunden, die du zur allgemeinen homgenen Lösung addieren kannst.
Solltest du trotzdem Interesse an allgemeinen Verfahren haben, melde dich.
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jack
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 15.10.2003
Mitteilungen: 149
 | Beitrag No.11, eingetragen 2003-10-19
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Hallo,
ich versuche grad die allgemeine Lösung der DGL zu bestimmen, indem ich das bereits gesagte nochmal zusammenfasse:
Also die Lösung der DGL setzt sich zusammen aus:
homogene Lösung + partikuläre Lösung
Die homogene Lsg lautet:
y_h(x)=c_1+c_2*e^(3x)+c_3*x*e^(3x)
Die partikuläre Lsg erhalte ich, wenn ich das resultierende aus dem speziellen Ansatz:
y_p(t) = e^(3*x)*x^2*(a + b*x)
in die inhomogene Gleichung:
y'''-6y''+9y'=x*exp(3x)
einsetze. Dieses geschieht, indem ich die jeweiligen Ableitungen (x) bilde, die Gleichungen zusammenfasse und nach a bzw. b auflöse. Bei der Kontrolle müssen die eingesetzten Werte die linke Seite, gleich der rechten Seite machen, also: x*exp(3x) (das Störglied) muss rauskommen. Letztenendes brauche ich dann nur noch meine gefundenen Werte zur homogenen Lsg addieren, fertig.
Probleme habe ich noch bei der partikulären Lösung.
Das Einsetzen läuft bei mir auf lange Terme hinaus und so richtig komme ich nicht das gesuchte heraus. Kann jemand helfen?
danke
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.12, eingetragen 2003-10-19
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habe mal alles in derive eingegeben und bekomme:
6*exp(3x)*(3*b*x+a+b)
wenns stimmt und jemand erkennt, was man für a und b einsetzen muss, das:
x*exp(3x)
rauskommt, wäre es doch gelöst?
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Eckard
Senior 
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6829
Wohnort: Magdeburg
| Beitrag No.13, eingetragen 2003-10-19
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Hi Jack,
es ist exakt so wie du schreibst. Also rechnen wir gemeinsam:
y_p(x)=x^2(a+bx)*e^(3x)=(ax^2+bx^3)*e^(3x)
y'_p(x)=[2ax+(3a+3b)x^2+3bx^3 ]*e^(3x)
y''_p(x)=[2a+(12a+6b)x+(9a+18b)x^2+9bx^3 ]*e^(3x)
y'''_p(x)=[(18a+6b)+(54a+54b)x+(27a+81b)x^2+27bx^3 ]*e^(3x)
=>
y'''_p-6y''_p+9y'_p=[(6a+6b)+18bx] *e^(3x)
Bis hierhin ist nix mit langen Termen oder so. Wichtig ist, dass du stets nach Potenzen von x sortierst und zusammenaddierst, was zusammengehört :-)
Jetzt schauen wir mal, ob Rodions Ansatz richtig war :-)
Aber man sieht es ja sogleich:
18b=1,
6a+6b=0,
=> b=1/18, a=-1/18
wenn ich mich hoffentlich (ohne DERIVE & Co.!!!) nicht verrechnet habe.
Gruß Eckard
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